Вопросы

Вопросы к госэкзамену Вопросы к госэкзамену

1. Вариационные методы

1.1. Метод наименьших квадратов.

МНК в геологических задачах очень важно с самого начала ориентировать на использование различной информации. По этой причине используется модификация метода, ориентированная на аппроксимацию линейных функционалов. Используется 4 вида функционалов: значение функции в точке, значение первой производной (вточке), значение второй производной (в точке), значение интеграла от функции по подобласти или по всей области определения функции. В качестве значений можно использовать результаты измерений или знания специалиста.

Учитывая огромные объемы информации полезно использовать сеточные функции. В одномерном случае на интервал определения функции набрасываетс сетка с постоянным шагом h. Если область определения есть интервал [a,b], то линейное преобразование x’=(x-a)/(b-a) переводит данные в модельную область, а разделив координаты на шаг h получим расстояние между узлами сетки, равное 1. Эти простые преобразования позволяют максимально упростить все последующие операции.

Важное значение имеет выбор базисных функций, которые связываются с узлами сетки. Это могут быть линейные функции полиномы разных степеней, тригонометрические полиномы и тому подобное. Наибольшее распространение получили В-сплайны. С каждым узлом сетки связывается базисная функция. Определенная на 4 интервалах. На каждом интервале это полином третьей степени. Полиномы взаимно увязаны так, что в узлах сетки значения смежных полиномов и двух первых производных совпадают (непрерывность функции и производных. значение функции в точке находится как линейная комбинация базисных функций При этом в любой точке области определения равна 1. Интеграл от базисной функции также равен 1.

Если все коэффициенты равны некоторой константе, то гафик функции f(x) – горизонтальная прямая на всем интервале [a,b]. На заданно интервале можно получит график любой однозначной функции. Каждой из них соответствует свой набор коэффициентов. Чем сложнее конфигурация кривой тем меньше должен быть шаг сетки, тем больше коэффициентов.

Задача ставится как поиск такой комбинации коэффициентов, которая минимизирует норму А – матрица, каждая строка которой состоит из значений линейных функционалов от базисных функций, f – вектор неизвестных коэффициентов функции, u – результаты наблюдений. Минимум находится решением системы линейных алгебраических уравнений

1.2. Вариационная задача.

Если наблюдений мало, то может сложиться ситуация, когда система уравнений недоопределена, задача не имеет однозначного решения. Выход заключается в привлечении дополнительной информации. Такой информацией могут стать свойства кривой, которые представляются в виде нормы Минимум нормы достигается при такой функции f, при которой выполняется равенство Df=0. D – оператор дифференцирования. Равенство Df=0 накладывает ограничение на свойства кривой. Возможны 3 варианта: минимум самой функции или ее первых двух производных. Df=0 может быть любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Эти условия накладывают ограничения на функцию и ее производные во всех узлах области определения. Теперь нет никаких проблем с разрешимостью системы уравнений. Система принимает вид Элемент матрицы Q Это означает, что теперь наблюдения есть во всех узлах сетки.

Если известно, что имеет место равенство вместо Df=0 имеем . Система уравнений