Metodicheskie_ukazania Макарова / Алгебраические критерии устойчивости / algebraic
.pdfМинистерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение профессионального высшего образования « Тюменский государственный нефтегазовый университет »
Ямальский нефтегазовый институт.
Методическое указание к лабораторной работе № 4 «Алгебраические критерии устойчивости»
по дисциплине «Теория управления» для студентов специальности АТП и УИТС очной и заочной форм обучения
Новый Уренгой 200_
Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение профессионального высшего образования « Тюменский государственный нефтегазовый университет »
Ямальский нефтегазовый институт.
Методическое указание к лабораторной работе № 4 «Алгебраические критерии устойчивости»
по дисциплине «Теория управления» для студентов специальности АТП и УИТС очной и заочной форм обучения
Председатель РИС |
Проректор_________________ |
_______ (Перевощиков С. И.) |
«____» ______________200_ г. |
|
Рассмотрено на |
|
заседании Учёного |
|
Совета ОНГИ |
|
Протокол № ____от___200 _г. |
|
Подпись _________________ |
|
( Председатель Совета ) |
|
Рассмотрено на |
|
Заседании методической |
|
комиссии института |
|
ЯНГИ |
|
Протокол № ____от___200 _г. |
|
Подпись _________________ |
|
( Председатель метод. комиссии) |
Новый Уренгой 200_
Утверждено редакционно – судательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: к.т.н., доцент Макарова Л.Н. к.т.н., ст. преп. Макаров А.В.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» Ямальский нефтегазовый институт
2002
1. Критерий Вышнеградского |
|
|
||
1.1. |
Критерий Вышнеградского применяется для исследования на |
|
||
устойчивость систем, |
если дифференциальное уравнение имеет порядок не |
|||
выше третьего. |
|
|
|
|
Система устойчива, если коэффициенты характеристического уравнения |
|
|||
a0 p3 + a1 p 2 + a2 p + a3 = 0 |
положительны |
( a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0 ) |
и |
|
a1a2 > a0 a3 .
Замечание1. Характеристическое уравнение можно построить по операторным уравнениям разомкнутой системы вида:
A( p) X вых ( p) = B( p) X вх ( p) + C( p)Z ( p),
где Z(p) – изображение функции помех;
Xвых – изображение выходной характеристики;
Xвх - изображение входной характеристики.т Оно равно :
A( p) + B( p) = 0
1.2. Проверить устойчивость системы, если её дифференциальное уравнение имеет вид:
[(T0 p + 1)(T1 p + 1)(T2 p + 1) + k0 k p ]x = (T1 p + 1)(T2 p + 1)Z (x), где T0 = 0,02c;T1 = 0,01c;T2 = 0,05c; k0 = 20; k p = 0,2.
1.3. Определить устойчивость системы по её характеристическому уравнению:
a0 p3 + a1 p 2 + a2 p + a3 = 0
a) a0 = 0,02; a1 = 0,4; a2 = 1,3; a3 = 25 б) a0 = 0,02; a1 = 0,4; a2 = 1,3; a3 = 30 в) a0 = 0,02; a1 = 0,2; a2 = 1,5; a3 = 60
2. Критерий Гурвица.
Для определения устойчивости по критерию Гурвица нужно построить определитель, в первой строке которого пишутся нечётные коэффициенты, начиная a1 , во второй строке чётные коэффициенты , начиная с a1 до an. Индексы коэффициентов убывает в каждом столбце, начиная с первой строки до последней. Коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.
Система устойчива, если все коэффициенты положительны, а также положительны и все определители, начиная со второго порядка, построенные от верхнего левого угла.
a1 a3 a5 ...
a0 a2 a4 ...
0 a1 a3 ...
0 a2 a4 ...
... |
... |
... |
... |
= |
... ... ... an
3
3. Критерий Рауса.
Система устойчива, если в первом столбце таблицы Рауса все коэффициенты положительны (табл.1)
Таблица1.
Таблица для расчёта коэффициентов Рауса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
a0 |
a2 |
a4 |
a6 |
|||||||
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
a7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
= |
|
|
a0 |
|
|
|
c13 = a2 − r0 a3 |
c23 = a4 − r0 a5 |
c33 = a6 − r0 a7 |
c43 = a8 − r0 a9 |
|
a1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r1 |
= |
|
a1 |
|
|
c14 = a3 − r1с23 |
c24 = a5 − r1с33 |
c34 = a7 − r1с43 |
c44 = a9 − r1с53 |
||
c13 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
r2 |
= |
с13 |
|
c15 = с23 − r2 с24 |
c25 = с33 − r2 с34 |
c35 = с43 − r2 с44 |
c45 = с53 − r2 с54 |
||||
c14 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
………… |
………….. |
………… |
…………….. |
……………. |
|||||||
Замечание. Если среди ri есть отрицательные, то система неустойчива, характеристическое уравнение имеет правые корни, при этом их число равно числу перемен знака в столбце ri.
4.Определить устойчивость системы по её характеристическому уравнению методом Гурвица и методом Рауса.
4.1.a0 p 4 + a1 p3 + a2 p 2 + a3 p + a4 = 0,
a0 = 2 10−9 ; a1 = 2 10−5 ; a2 = 3 10−2 ; a3 = 1,3 10−1 ; a4 = 100
4.2.a0 p 4 + a1 p3 + a2 p 2 + a3 p + a4 = 0,
a0 |
= 0,001; a1 |
= 0,05; a2 = 0,4; a3 |
= 1; a4 |
= 20 |
|
|||||||||||||||||||||||
4.3 |
. |
|
|
a |
0 |
p 4 + a p3 |
+ a |
2 |
p 2 |
+ a |
3 |
p + a |
4 |
= 0, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a0 |
= 0,001; a1 |
= 0,05; a2 |
|
= 0,4; a3 |
= 1; a4 = 100 |
|
||||||||||||||||||||||
4.4. |
a |
0 |
p5 + a p 4 + a |
2 |
p3 + a |
3 |
p 2 |
+ a |
4 |
p + a |
5 |
= 0, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a0 |
= 0,001; a1 |
= 0,03; a2 |
|
= 0,25; a3 = 1; a4 |
|
= 10; a5 |
= 60 |
|||||||||||||||||||||
4.5. a |
0 |
p5 |
+ a p 4 + a |
2 |
p3 |
+ a |
3 |
p 2 + a |
4 |
p + a |
5 |
|
= 0, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a0 = 0,001; a1 = 0,05; a2 |
= 0,25; a3 |
= 1; a4 |
= 10; a5 |
= 40 |
||||||||||||||||||||||||
4
Литература.
1.1Теория автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. –
М.: В.Ш. – 1986, –307 с.
1.2Сборник задач по теории автоматического управления / Под ред. В. А. Бесекерского. – М.: Физматгиз. – 1963. – 407 с.
1.3Куропаткин П. В. Теория автоматического управления. – М.: В.Ш.
– 1973. – 527 с.
1.4Теория автоматического управления. (ч.1) / Под ред. А. В.
Нетушила. – М.: В.Ш. – 1968. – 424 с.
5
1. |
Критерий Вышнеградского |
Содержание. |
3 |
2. |
Критерий Гурвица |
|
3 |
3. |
Критерий Рауса |
|
4 |
4. |
Определить устойчивость |
системы по её характе - |
|
ристическому уравнению методом Гурвица и методом Рауса |
4 |
||
5. |
Литература |
|
5 |
6
Методическое указание к лабораторной работе № 4 «Алгебраические критерии устойчивости» по дисциплине «Теория управления» для студентов специальности АТП и УИТС очной и заочной форм обучения.
Составители: к.т.н., доцент Макарова Л.Н. к.т.н., ст. преп. Макаров А.В.
Подписано к печати |
Уч. изд. листов |
Заказ№ |
Уч. печ. листов |
Формат |
Тираж |
Ротапринт ТюмГНГУ , 626718 |
|
Новый Уренгой микрорайон «Студенческий» |
|
7
8