Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Институт нефти и газа

Методические указания и задания к практическим

занятиям по “Теории автоматического управления”

на тему: “Построение фазовых траекторий” для студентов специальности АТП и УИТС очной и заочной форм обучения

Тюмень 2004

Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: к.т.н., доцент Макарова Л.Н., к.т.н. Макаров А.В.,

аспирант Фомин В.В.

Ответственный редактор: к.т.н., доцент Макарова Л.Н.

@ Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования “ Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Тюмень 2004

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Институт нефти и газа

Методические указания и задания к практическим

занятиям по “Теории автоматического управления”

на тему “ Метод припасовывания граничных условий” для студентов специальностей АТП и УИТС очной и заочной форм обучения

Председатель РИС Проректор

Перевощиков С.И. “ ” 200 г.

Рассмотрено на заседании

Подписи авторов Ученого совета ИНиГ

Протокол № от 200 г.

Подпись

Председатель совета

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

Протокол № от 200 г

Подпись

Председатель метод. комиссии

Тюмень 2004

1. Основные теоретические сведения

Система автоматического управления (САУ) называется нелинейной, если хотя бы одно звено системы описывается нелинейным уравнением (обладает нелинейной характеристикой). Если нелинейность играет в системе существенную роль, то она не подлежит линеаризации, и для исследования САУ применяют теорию нелинейных систем.

В нелинейных САУ различают статические и динамические нелинейности. Статические нелинейности — это нелинейности статических характеристик.

Рассмотрим нелинейное звено:

Рис.1.

Его статические характеристики могут быть однозначными. Однозначные характеристики подразделяются на: непрерывные, как, например характеристики с насыщением (Рис.2)

а)	б)
Рис.2. Непрерывные статические характеристики:
а – реальная, б – идеальная

и релейные, то есть имеющим точки разрыва (Рис.3)

а)	б)
Рис.3. Релейные статические характеристики:
а – идеальная релейная б – релейная с зоной нечувствительности

Характеристики нелинейных элементов могут быть и неодноз-начными. К ним относятся, например гистерезисные (Рис.4а) и релейные (Рис.4 б, в):

а)		б)
в)
Рис.4. Неоднозначные статические характеристики:
а – с насыщением и гистерезисом, б – релейная с гистерезисом,
в – релейная с гистерезисом и зоной нечувствительности

Динамические нелинейности — нелинейности дифференциального уравнения динамики звена. Так, если рассмотреть апериодическое звено

то постоянная времени является нелинейной функцией входного сигнала.

Необходимо отметить, что нелинейности в САУ могут быть естественно присущими реальной системе (трение, люфт, гистерезис, зона нечувствительности, насыщение) и часто вредными, могут и специально вводиться в систему для придания ей требуемых свойств. Так оптимизация САУ в большинстве случаев связана с введением специальных нелинейностей в контур управления.

2. Фазовая плоскость

Движение системы может быть описано нормальной системой дифференциальных уравнений:

Графическое изображение решения этой системы y(x), записанного в параметрической форме x(t); y(t), называется фазовой траекторией, а x(t) и y(t) – фазовыми координатами (рис.5).

Error: Reference source not found

Рис.5. Фазовая траектория

Переменные x и y могут иметь разный физический смысл, в теории автоматического управления чаще встречается использование переменной x в качестве основной координаты, а y имеет смысл скорости изменения переменной x : ;

тогда несут информацию о самой координате и о скорости её изменения, т.е. отражают фазы движения.

Плоскость с координатами () называют фазовой плоскостью.

Система уравнений имеет вид:

Систему можно привести к одному уравнению, если разделить второе уравнение на первое:

Это уравнение называется фазовым уравнением.

График решения фазового уравнения называется интегральной кривой. Интегральная кривая может совпадать с фазовой траекторией или состоять из нескольких фазовых траекторий.

Интегральную кривую называют фазовым портретом.

Фазовый портрет имеет следующие особенности:

1. Если выполняются условия теоремы Коши (т.е. f(x;y) определена в некоторой открытой области R и имеет непрерывные частные производные по своим аргументам), то через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, в которых y=0 и f(x;y)=0 (они имеют смысл точек состояния равновесия), проходит единственная интегральная кривая; если нарушаются условия теоремы Коши, то интегральная кривая состоит из нескольких фазовых листов, для каждого из которых выполняется условия единственности.

2. Так как у имеет смысл производной от x , а увеличению x соответствует положительное значение производной, то в верхней фазовой полуплоскости движение точки осуществляется слева направо, а в нижней фазовой полуплоскости справа налево.

3. В точках (y=0; f(x;y)≠0), т.е. неособых точках оси абсцисс, фазовые траектории пересекают ось Ox под прямым углом сверху вниз в правой полуплоскости и снизу вверх в левой полуплоскости.

4. Точки с координатами (y=0; f(x;y)=0) соответствуют остановке движения. Решение этих уравнений дают значение абсцисс точек равновесия системы. Среди этих решений может быть тривиальное x=0; y=0. Кроме тривиального решения f(x;y)=0 может иметь одно или несколько решений, таким образом, для нелинейных систем нельзя однозначно говорить об устойчивости или неустойчивости, как это имело место для линейных систем, а можно лишь говорить об устойчивости её состояния (движения или равновесия).

5. Фазовые траектории не пересекаются между собой за исключением случаев пересечения в особых точках. Фазовые траектории могут иметь асимптоты. В целом фазовые траектории принимают спиралевидную форму, что соответствует затухающим колебательным процессам. Колебательный процесс может затухать не до нуля, а до некоторого значения внутри интервала, определяемого зоной нечувствительности. Таким образом, вместо особой точки система может иметь особый отрезок равновесных состояний, при этом начальные условия определяют фазовую траекторию, по которой пойдет переходный процесс.

Существуют следующие особые линии для нелинейных систем (Рис.6):

Рис.6. Виды особых линий

На рисунках 6 (а) и (б) имеются особые замкнутые линии, называемые предельным циклом. На рис.6 (а) —устойчивый предельный цикл, на рис.6 (б) —неустойчивый. На рис.6 (а) система неустойчива в малом, и устойчива в большом. На рис.6 (б) в малом система устойчива, но неустойчива в большом. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям в системе.

На фазовой плоскости рис.6 (в) два предельных цикла: внешний — устойчивый, а внутренний — неустойчивый.

На рис.6 (г) при малых отклонениях имеют место предельные циклы. При больших отклонениях имеют место особые точки — седла и система становится неустойчивой. Особая линия проходящая через точки С₁ и С₂ — сепаратрисса.

На фазовой плоскости рис.6 (д) особые точки превратились в особый отрезок. Такой фазовый портрет соответствует системам с зоной нечувствительности.