Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Институт нефти и газа

Методические указания и задания к практическим

занятиям по “Теории автоматического управления”

на тему “Метод гармонического баланса” для студентов специальностей АТП и УИТС очной и заочной форм обучения

Тюмень 2004

Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители: к.т.н., доцент Макарова Л.Н., к.т.н. Макаров А.В.,

аспирант Фомин В.В.

Ответственный редактор: к.т.н., доцент Макарова Л.Н.

@ Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования “ Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Тюмень 2004

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тюменский государственный нефтегазовый университет”

Институт нефти и газа

Методические указания и задания к практическим

занятиям по “Теории автоматического управления”

на тему “Метод гармонического баланса” для студентов специальностей АТП и УИТС очной и заочной форм обучения

Председатель РИС Проректор

Перевощиков С.И. “ ” 200 г.

Рассмотрено на заседании

Подписи авторов Ученого совета ИНиГ

Протокол № от 200 г.

Подпись

Председатель совета

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

Протокол № от 200 г

Подпись

Председатель метод. комиссии

Тюмень 2004

1. Основные сведения

Метод гармонического баланса основывается на следующих рассуждениях. Нелинейная система может быть представлена в виде двух составляющих: линейной части и нелинейного элемента (Рис.1).

Рис.1. Стандартное преобразование нелинейной системы

Если U(t)=0, то ее удобнее представить как на (Рис.2):

Рис.2. Структурная схема нелинейной системы при нулевом управляющем воздействии

При размыкании системы перед входом в нелинейный элемент и при условии, что автоколебания в системе есть, выполняются следующие соотношения между сигналами:

y = x∙W_н.э. =>

z = –y∙W_л.ч. =>

z = – x ∙ W_н.э. ∙W_л.ч.

т.е. x = – x ∙ W_н.э. ∙W_л.ч., что справедливо для всех значений времени t, то есть:

x ∙ (1+ W_н.э. ∙W_л.ч.) = 0 или 1+ W_н.э. ∙W_л.ч. =0.

Принимая гипотезу фильтра, т.е. считая, что все гармоники, кроме первой имеют незначительные амплитуды, считаем, что

x = A∙sinωt,

y = A(gsinωt + bcosωt),

или в комплексной форме

x̃ = Ae^jωt; ỹ = A(g + jb)∙e^jωt = x̃ ∙ (g + jb); z̃ = -W_л.ч.(jω)(g + jb)x̃; т.к.

g + jb = W_н.э.(А), то z̃ = - W_л.ч.(jω) W_н.э.(А)∙x̃, т.е

1+ W_н.э(А)∙W_л.ч.(jω) = 0

или

(1)

или

(2)

Первое равенство было предложено Л.С. Гольдфарбом (СССР), второе, немного позднее, Р. Коченбургером (США). Эти равенства позволяют найти графоаналитические решения задачи определения условий автоколебаний в нелинейной системе.

Для этого строят графики функций по (1) W_л.ч.(jω) - амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части и G_н.э. — кривая гармонического коэффициента передачи (по американской терминологии), или описывающую функцию G(jω) и W_н.э.(A), находят точки пересечения этих кривых, определяют для этих точек значение частоты и амплитуды.

Замечание. Для этого при построении кривых нужно отмечать в точках значения частоты и на второй кривой – значения амплитуды. Значения частоты и амплитуды в точках пересечения получают интерполяцией соседних точек.

2. Пример

Линейная часть состоит из двигателя постоянного тока и безынерционного усилителя. Ее передаточная функция имеет вид:

,где

k — общий коэффициент усиления линейной части;

T₁ — электромеханическая постоянная времени;

T₂ — электромагнитная постоянная времени.

Нелинейный элемент представляет собой поляризованное реле с зоной нечувствительности. Реле срабатывает мгновенно. Его статическая характеристика

, где М — постоянная.

Вычисляется обратная амплитудная фазочастотная характеристика

Годограф пересекает действительную ось, когда мнимая часть равна нулю, т.е.

и

Эта частота является порождающей частотой. Отрезок, отсекаемый от действительной оси годографом, вычислим, подставив в ω действительную часть G(jω).

Выходная величина y(t) может быть представлена первыми членами ряда Фурье:

,где

, где φ=ωt

При симметричных нелинейных характеристиках y = 0, т.к. f(x)- однозначная, то y(t) совпадает по фазе с x(t), т.е. косинусоидальные составляющие равные нулю, т.е. b = 0.

,

где α находится из соотношения

, тогда , тогда

Меняя A, получаем g(A) , график имеет вид отрезка на действительной оси (Рис.3).

Рис.3. Функции G(jω) и g(A)

Тогда приравнивая x(ω) и g(A), найдем значение A:

,

,

.

Замечание 1. Точка пересечения G(jω) и g(A) одна, но ей соответствуют два значения амплитуды, первое значение получается при движении вдоль оси при увеличении A (движение вправо), затем при дальнейшем увеличении A g(A) начинает двигаться справа налево и пересечет G(jω) второй раз.

Замечание 2. Если , то пересечения характеристик не произойдет, и автоколебаний в системе нет.