§ 2. Расчет погрешности при прямых измерениях
Проведя серию из прямых измерений некоторой величины X, мы получаем набор значений X1, Х2,…Хп. Наиболее точно истинное значение величины X характеризуется средним арифметическим <Х> результата измерений:
.
Истинная погрешность измерения при этом равна:
.
Поскольку истинное значение величины X измерить невозможно, то и определить тоже нельзя. На практике используют различные приближенные методы определения погрешности.
Предположим сначала, что погрешность измерения определяется полностью случайной погрешностью . Для оценки случайной погрешностиделаются следующие предположения:
Случайные погрешности отдельных измерений могут принимать непрерывный ряд значений.
Погрешности равной величины, но противоположного знака встречаются одинаково часто.
Случайная погрешность обращается в нуль при бесконечно большом числе измерений.
Поскольку на практике число измерений ограничено, то случайная погрешность не равна нулю. Наиболее точное истинное значение погрешности измерений характеризует абсолютная погрешность , которая учитывает случайную и приборную погрешности и может быть рассчитана по формуле:
.
Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность измерения , определяемая по формуле:
.
Приведем алгоритм обработки результатов при прямых измерениях.
1. Измерить раз некоторую величинуX, получив значения X1, Х2,…Хn.
2. Вычислить среднее значение результатов измерений:
.
3. Определить отклонение от среднего каждого результата измерений:
.
4.Рассчитать среднеквадратичную погрешность по формуле:
.
5. Выбрать значение надежности измерений .
Надежностью результата называется вероятность того, что истинное значение X измеряемой величины попадает в интервал , где- абсолютная погрешность,
которая будет вычислена после обработки результатов измерений.
По таблице 1 найти значение коэффициента Стьюдента .
7. Оценить приборную погрешность
8. Вычислить абсолютную погрешность:
где .
Таблица 1.
Значения коэффициентов Стьюдента .
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,99 | |
2 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
4,3 |
636,6 |
3 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
3,2 |
31,6 |
4 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
2,8 |
12,9 |
5 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,6 |
8,6 |
6 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,4 |
6,9 |
7 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
6,0 |
8 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
5,4 |
9 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
5,0 |
10 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
4,8 |
9. Найти относительную погрешность измерения:
Записать результат измерений в виде:
Прежде чем записать результат измерений необходимо: произвести округление абсолютной и относительной погрешностей и среднего значения <Х>. При округлении погрешностей необходимо знать, что погрешности округляются всегда в сторону большего и никогда не включают в себя больше двух значащих цифр. Значащими цифрами называются все цифры кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
а) когда он стоит между значащими цифрами;
б)когда он стоит в конце числа и известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется.
Если первая значащая цифра в погрешности больше 4, то все остальные цифры округляются. Так, например, если при вычислении погрешностей получилось, что ,, то после округления в том и другом случае должна остаться только первая значащая цифра, причем округление ведется в сторону большего. Тогда получаем после округления:.
Если первая значащая цифра в погрешности меньше 5, то округление ведется до двух первых значащих цифр. Например, если при вычислении погрешностей получилось, что , , то после округления должны остаться только две первые значащие цифры с учетом округления в большую сторону: , .
После округления абсолютной погрешности необходимо округлить и среднее значение измеряемой величины. Округление ведется до сомнительной цифры. Сомнительной в среднем значении <Х> называется цифра в том разряде, в котором начинается абсолютная погрешность. Если погрешность содержит в себе десятки, то число десятков в среднем значении <Х> будет сомнительным. Например, в серии измерений получено <Х>=5873 м, ΔХ=32 м. Сомнительным является разряд десятков, поэтому после округления до сомнительного разряда получаем <Х>=5870 м, ΔХ = 32 м и окончательный результат можно записать в виде:
X = (5870±32) м.