§ З.Расчет погрешностей при косвенных измерениях

При косвенных измерениях для вычисления погрешности воспользуемся методом дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина , где- непосредственно измеряемая величина. Пусть при измерении величины допущена погрешность, поэтому искомая величина вычисляется тоже не точно, с некоторой погрешностью. Для того чтобы рассчитать, запишем тождество, затем умножим и разделим его правую часть на :

.

Для малых значений справедливо соотношение:

,

следовательно,

(1)

Таким образом, абсолютная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции по этому аргументу.

Если искомая величина является функцией нескольких переменных , где- непосредственно измеряемые величины и их погрешности равныто при вычислении абсолютной погрешности нужно учесть погрешности, вносимые всеми этими величинами . Погрешность, обусловленная неточностью измерения величиныбудет равна, согласно формуле (1):

обусловленная неточностью измерения и т д.

В выражении берется частная производная, потому что в данном случае учитывается зависимость величины только от конкретной величины, все остальные аргументы считаются постоянными величинами.

Рассчитав абсолютную погрешность измерения можно вычислить по формуле:

.

Подставив в это выражение значения , получаем:

(2)

Относительная погрешность косвенных измерений вычисляется по формуле:

, (3)

где - значение функции, полученное после подстановки в нее среднихзначений аргументов . Подставляя в (3) выражение (2),получаем:

Учитывая, что получаем:

.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях.

1. Обработать результаты прямых измерений каждой из непосредственно измеряемых величин согласно пунктам параграф 2.

2. Вычислить величину , подставив в расчетную формулу среднее значение непосредственно измеряемых величин.

3. Вывести формулу для расчета или согласно уравнениям (2) или (4).

4. Вычислить абсолютную и относительную погрешности результата и.

5. Провести округление результатов расчета.

6. Записать результат измерений в виде:

При проведении округления пользуются теми же правилами, что и при обработке результатов прямых измерений. Следует учитывать, что ес­ли в расчетную формулу входят величины, которые в процессе экспери­мента не измеряются и для них не указана величина погрешности, то обычно считается, что эта погрешность составляет ± 0,5 единицы наи­меньшего разряда, представленного в числе. Например, дана масса , погрешность следует принять равной ± 0,05г. Если в расчетную формулу входят числовые постоянные (и т.д.), то за погрешностиэтих величин принимаются погрешности округления.

§ 4. Вычисление погрешностей при косвенных измерениях, когда контролируемые условия не воспроизводимы

При невоспроизводимых измерениях невозможно найти средние значения измеряемых величин , поэтому методика расчета погрешностей, изложенная в предыдущем параграфе, неприемлема. В этом случае при обработке результатов следует придерживаться следующего порядка:

1 .Измерить величины раз, где- номер измеряемой величины,приписываемый параметрам, от которых зависит ,-номер измерения величины .

2.Рассчитать n раз значения , получив величины, где.

3.Найти среднее значение по формуле:

.

4. Вычислить отклонение от среднего :

.

5.Определить среднеквадратичную погрешность измерений :

6. Задать значение надежности и по таблице 1 найти коэффициент Стьюдента .

7. Рассчитать случайную погрешность: .

8.Вычислить средние значения :

9.Определить приборные погрешности

10.Вывести формулу для нахождения приборной погрешности :

11. Рассчитать , подставив в полученное выражение средниезначения и величины приборных погрешностей .

12. Вычислить погрешность измерений:

.

13.Найти относительную погрешность:

14.Записать полученный результат в виде: