- •Пусть дано уравнение
- •Графический метод отделения корней
- •Из графика видно, что .
- •Метод половинного деления
- •Число ξ, которое является общим пределом последовательностей {an} и {bn}, это точный корень уравнения (1). Оценим погрешность решения на n-м шаге:
- •Предельное значение является единственным корнем уравнения на отрезке при .
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Отделение корней уравнений
-
Пусть дано уравнение
. (1)
Точным корнем уравнения (1) на конечном или бесконечном отрезке для непрерывной функции назовем такое значение , при котором . Так как уравнение может быть достаточно сложным, редко удается найти его точные корни, и задача состоит в том, чтобы найти его приближенные корни и оценить степень их точности.
Процесс решения трансцендентного уравнения общего вида f(x) = 0 проводится в два этапа:
1. Отделение корней, т.е. установление возможно малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения(1);
2. Уточнение приближенных корней, т.е. нахождение их с заданной точностью ε.
Теорема 1: Если непрерывная функция принимает значения противоположных знаков на концах , т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число ξ, такое, что .
Корень [ ]заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала , т.е. (или ) при .
Аналитический метод отделения корней
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках и области ее существования. Затем определяются знаки функции в ряде промежуточных точек , выбор которых учитывает особенности функции . (Имеются в виду точки, где функция имеет экстремум или разрыв) Если окажется, что , то в силу теоремы в интервале существует корень уравнения . Можно сузить полученные промежутки методом простой подстановки значений в уравнение.
Пример1. Отделить корни уравнения
Найдем корни производной
,
x1=1 x2=0.75 x3=1
Составим таблицу. В первой строке поместим в порядке возрастания концы интервала и точки экстремумов, во второй знаки функции в этих точках.
х |
-∞ |
-1 |
0.75 |
1 |
∞ |
Sign f(x) |
+ |
- |
- |
- |
+ |
Уравнение имеет два корня. , . Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:
х |
-∞ |
-2 |
-1 |
0.75 |
1 |
2 |
∞ |
Sign f(x) |
+ |
+ |
- |
- |
- |
+ |
+ |
Следовательно, , .
-
Графический метод отделения корней
Действительные корни уравнения f(x)=0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох. Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом корни легко определяются. На практике часто удобно тождественно преобразовать уравнение к виду , где и - более простые функции, чем функция . Тогда, построив графики и , искомые корни получаются как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример2.
Отделить графически корни уравнения x·ln(x)-1=0. Преобразуем его к виду 1/x=ln(x) и построим графики.