ВЫЧ.МАТ. Лекции и задания / ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ12
.docЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
,
где . Однако, во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств.
Данную функцию на рассмотренном отрезке заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида (например, полином), а затем приближенно полагают
.
Функция должна быть такова, чтобы вычислялся непосредственно. Если функция задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности формулы (2). Рассмотрим применение в качестве интерполяционного полинома Лагранжа.
, (1)
где - ошибка квадратурной формулы (1) или остаточный член
Выбрав шаг разобьем отрезок с помощью равноотстоящих точек , , на n равных частей, и пусть . Заменяя функцию y соответствующим интерполирующим полиномом Лагранжа
,
получим приближенную квадратурную формулу:
, (2)
- некоторые постоянные коэффициенты. Найдём явные выражения для коэффициентов формулы (2).
(3)
Коэффициенты полинома Лагранжа имеют вид:
, (4)
где , причем .
Введя обозначения : и будем иметь
,
или,
т.к. , , , то, сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:
.
Т.к. , то обычно полагают , где - постоянные, называемые коэффициентами Котеса.
Квадратурная формула (2) принимает вид:
(5)
:
Такие формулы называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса
Справедливы соотношения: 1. ; 2. .
Формула трапеций и ее остаточный член
При n=1 получим
, :
отсюда (7)
Мы получили формулу трапеций Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (7). Полагая и обозначая через значения подынтегральной функции в точках xi будем иметь: , или
. (8)
Геометрически формула (1) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.
Если подынтегральная функция дважды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы (7) равен:
где . (9)
Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке по всем промежуткам
.
Очевидно, заключается между наименьшим m2 и наибольшим M2 значениями второй производной на отрезке , т.е. .
В силу непрерывности на отрезке , она принимает все значения от m2 до M2. Значит существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формулы (9) получим
(10)
Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл
по методу трапеций с тремя десятичными знаками. В Маткаде числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005 Для достижения заданной точностирешим неравенство
Ф ормула Симпсона и ее остаточный член
при n=2
.
.
.
Остаточный член: .
Общая формула Симпсона и ее остаточный член
Пусть n=2m есть четное число и - значения функции для равноотстоящих точек с шагом . Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h, будем иметь . Следовательно, . Отсюда получаем общую формулу Симпсона:
.
Введя обозначения , формулу можно записать в более простом виде:
.
Если функция непрерывно дифференцируема до четвертого порядка, то ошибка формулы Симпсона на каждом удвоенном промежутке дается формулой:
, где .
Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде:
.
непрерывна на отрезке , поэтому найдется точка такая, что . Следовательно (1),
где .
Если задана предельная допустимая погрешность , то, обозначив , будем иметь для определения шага h неравенство:
,
отсюда , т.е. h имеет порядок . Говорят, что степень точности метода Симпсона равна четырем
Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2h и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла.
Предполагая, что на отрезке производная меняется медленно, в силу формулы (1) получаем приближенное выражение для искомой ошибки , где коэффициент M будем считать постоянным. Пусть и - приближенные значения интеграла , полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом h и H=2h. Имеем: и . Отсюда
.
За приближенное значение интеграла целесообразно принять исправленное значение
.
Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл методом Симпсона для n=8. Оценить остаточный член.
Формулы Ньютона-Котеса высших порядков:
Производя соответствующие вычисления при n=3, получим из квадратурную формулу Ньютона:
(правило ).
Остаточный член формулы равен , где , т.е. при одинаковом шаге формула Ньютона, вообще говоря, менее точна, чем формула Симпсона.
Квадратурная формула Чебышева
Рассмотрим квадратурную формулу
, (1)
где - постоянные коэффициенты. Чебышев предположил выбрать абсциссы таким образом, чтобы:
-
коэффициенты были равны между собой;
-
квадратурная формула (1) является точной для всех полиномов до степени n включительно.
Покажем, как могут быть найдены в этом случае величины и , полагая и учитывая, что при будем иметь , отсюда получаем . Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид:
. (2)
Для определения абсцисс заметим, что формула (2) согласно условию2 должна быть точной для функции вида . Подставляя эти функции в формулу (2), получим систему уравнений:
, (3)
из которой могут быть определены неизвестные . Заметим, что система (3) при n=8 и n10 не имеет действительных решений.
Формула Чебышева с тремя ординатами (n=3)
Для определения абсцисс имеем систему уравнений:
(1)
Рассмотрим симметрические функции корней:
Из системы (1) имеем:
Отсюда заключаем, что есть корни вспомогательного уравнения или . Следовательно, можно принять: .
Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид .
Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида , следует преобразовать его с помощью подстановки:
,
переводящей отрезок в отрезок . Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева, будем иметь
,
где и - корни системы.
В таблице приведены значения корней ti системы (3) для n=1,2…,7
Значения абсцисс ti в формуле Чебышева
n |
i |
ti |
2 |
2;1 |
±0.577350 |
3 |
3;1 2 |
±0.707107 0 |
4 |
4;1 3;2 |
±0.794654 ±0.187592 |
5 |
5;1 4;2 3 |
±0.832498 ±0.374541 0 |
6 |
6;1 5;2 4;3 |
±0.866247 ±0.422519 ±0.266635 |
7 |
7;1 6;2 5;3 4 |
±0.883862 ±0.529657 ±0.323912 0 |
Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл по формуле Чебышева для четырех и для пяти точек
Квадратурная формула Гаусса
Полиномы вида называются полиномами Лежандра.
Свойства этих полиномов:
-
, ;
-
, где - любой полином степени k, меньшей n;
-
полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале .
Первые пять полиномов Лежандра:
Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(1)
была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Т.к. в нашем распоряжении имеется 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае равна N=2n-1.
Для обеспечения равенства (1) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь .
Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений:
(3)
Система (3) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности.
Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (3) для них должны быть справедлива формула (1) и .
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства:
при ,
поэтому
(4).
Равенства (4) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (1) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства (3), эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда: и, следовательно, определяются однозначно.
Формула (1), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (3), называется квадратурной формулой Гаусса.
Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим:
, (5)
где , - нули полинома Лежандра , т.е. .
Остаточный член формулы Гаусса (5) с n узлами выражается следующим образом:
.
Отсюда получаем:
,
,
,
,
.
Квадратурная формула Гаусса для случая трех ординат
Полином Лежандра третьей степени есть . Приравнивая этот полином нулю, находим: , , .
Для определения коэффициентов в силу системы (3) имеем:
Отсюда: , .
Следовательно, .
Элементы формулы Гаусса
n |
t |
ti |
Ai |
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1;2 |
±0.57735027 |
1 |
3 |
1;3 2 |
±0.77459667 0 |
0.55555556 0.88888889 |
4 |
4;1 3;2 |
±0.86113631 ±0.33998104 |
0.34785484 0.65214516 |
5 |
5;1 4;2 3 |
±0.90617985 ±0.53846931 0 |
0.23692688 0.47862868 0.56888889 |
6 |
6;1 5;2 4;3 |
±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 |
0.17132450 0.36076158 0.46791394 |
7 |
7;1 6;2 5;3 4 |
±0.94910791 ±0.74153119 ±0.40584515 0 |
0.12948496 0.27970540 0.38183006 0.41795918 |
Пример выполнения в Маткаде Вычислить интеграл по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек.