Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

101

12

5arctg

2 2x

2x + 2

x−1

д) lim

;

е) lim

.

x→1

x + 3

x→0

2 ln(1 −

4x 2 )

3

x4 +1 − 3 x6 +1

x2

+ x −12

3.3. а) lim

;

б) lim

;

2x2 +14

2x2 −

18

x→∞

x→3

в) lim(

x

2

+ 7x − x);

г) lim

sin 8x tg 4x

;

arctg

2

8x

x→∞

x→0

x +10

x+2

5ln sin 3x

5

;

е)

lim

.

д) lim

(6x −π )2

x→∞

x − 2

x→π

6

3.4. а) lim 3x(3

x3 + 2x − x);

x→∞

в) lim

x + 4 −

2x −1

;

x→5

3x 2 −12x −15

1

x + 2

x2

+x

;

д) lim

2 −

x→0

3x

3.5. а) lim

7x2

+ 3x − 200

;

0,004x3 −100

x→∞

в) lim

3

x + 24 −

3 12x −9

;

2 x +1 − 4

x→3

2x +3

7

x2

−x−2

;

д) lim

x→2

5 + x

3.6. а) lim

4

x5 + x −

3 x9 +1

;

16x3 − x −1500

x→∞

в) lim

33 5x + 2 −9

;

1 −

x − 4

x→5

10

5x −3

x2

−x

;

д) lim

x→1

x +1

б) lim

2x2

− 2x −12

;

2x2

+ x −

6

x→−2

г) lim

cos 4x −cos 6x

;

x→0

tg15x

е)

lim

lg x −1

.

x 2

−11x +10

x→10

б) lim

x3

− x

2

− 4

;

2x2 −

4x

x→2

г) lim

sin14x

;

1 −cos 2x

x→0

е) lim

ln(1 −3x)

.

x→2

arctg24x

б) lim

x2

+ x − 20

;

x2

+ 4x −

32

x→4

г)

lim

sin 3πx

;

sin12πx

x→1

е) lim

log2 (4 −3 2 x )

.

x→0

arcsin 25x

102

3.7. а) lim

2x3 +8x +10

;

б) lim

x3

−3x + 2

;

3 x6 +

1

x2

−6x +5

x→∞

x→1

в) lim

4x − 4

;

г) lim

tg 5x

;

sin 3x

x→1

3

26 + x −3

x→π

2x

+1

2 x+1

4

1

2

4 x2

−

sin

2

3x

д) lim

;

е) lim

5

.

1 −3x

2

cos x

x→0

x→0

3.8. а) lim

(x2 +1)arctg x

;

б) lim

48 + 4x − x3

;

5x2

x→∞

x→4 2x2 +32x −160

в) lim

3

1 + 3x −1

;

г) lim

cos x −cos3x

;

5x

lg cos 2x

x→0

x→0

д) lim(7 −3x)x−2

;

е) lim ln

2

(1

+ 3x).

x

x→2

x→0

tg 2 6x

3.9. а) lim

3x3 + 2x −19

;

б) lim

2x3

+ 4x −

24

;

4x3 + 2x −

24

x2

+5x −14

x→∞

x→2

в) lim

3

1 + x − 3 1 − x

;

г) lim x ctg 2x ;

1 + x − 1 − x

x→0

x→0

	x +8			2 x+5
д)	lim			;
	x→∞ x − 4

	3.10. а) lim	18 +17x2 +9x4
		(12 −3x2 )(14 − 2x2 )
	x→∞
	в) lim	2 − x −3 ;
	x→7	x 2 + 2x − 63

е)

;

г)

lim		tg 3 −tg x		.
	ln 3x − ln x
x→3
	б) lim		x2		+ 6x +5		;
			x2 −			2x −35
		x→−5
lim		1 − cos16x			;
		1 − cos12x
x→0

	2x +	3		2 x2 +x+4
				x−1			е) lim 5x(ln(2x +1)− ln(2x −1)).
д) lim						;
	2x −	3
x→∞									x→∞
3.11. а) lim cos15x cos						1		;	б) lim	3x2 −15x +18	;
					2x	−π				x3 − 2x2 − x + 2
x→π									x→2
2

в) lim x(

+12 − x);

103

x 2

г)

lim

sin 2x −sin 6

;

x→∞

x

→3

x3 − 2x2 −8 −1

д) lim(1 + 2x2 )3ctg 2 x ;

е) lim

ln(

x 2

+ 3 −1).

x→0

x→1

arctg (x −1)

3.12. а) lim arccos

x + x5

;

б)

lim

2x 4 −8x 2 +8

;

x2

2x +

x→∞

1

x→ 2 10x3 − 20x

в) lim

6 −3

x −3 ;

г) lim

cos 6 −cos 2x

;

x→7

x 2 − 49

x→−3

x3 + 28 − x2 −8

3

1 − e

x2

д) lim(cos 2x)

;

е) lim

.

x2

1 − cos 2

x→0

x→0

x

3.13. а) lim

4 x3 +1 +18x

;

б) lim

x2 + 7x −18

;

3x( x + 7 + 4)

x

3 − 2x −

4

x→∞

x→2

в) lim

3x3 +1 −

x + 3

;

г)

lim

cos2 x + cos x − 2

;

2 x

x→1 3 2x 2 +1 − 3 x + 2

x→0

4sin

1

2

x

arctg 3x

tgx−sin x

д) lim sin

;

е) lim

.

x→π

2

x→0 ln(1 + tg 2x)

3.14. а) lim

5x

2 − 2x + 7

;

б) lim

x3 −5x 2

+ 25x −125

;

x→∞

(1 −

3x)(1 +

2x)

x→5

x 2 − 25

в) lim

x +13 − 2 x +1

;

г)

lim

8sin 3 x +1

;

3x

2

− 27

6x +π

x→3

x→−

π

6

д) lim(2 − cos x)x2 ;

е) lim

(1 −

3x)

2

.

1

x→0

x→

1

tg 3πx sin 3πx

3.15. а) lim( x

+8x − x);

3

2

б)

lim

x 2 −100

;

x

3

− 20x

2

+

100x

x→∞

x→10

в) lim

3 9 + 2x 2

− x

;

г)

lim

1 −sin

3 x

;

x 2

+ 27

cos2

x

x→3 4x − 2

x→π

2

104

д) lim(4 −3x)

5 x2 −20

log3 x − 1

;

е) lim

.

1−x2

tg πx

x→1

x

→3

3

2

3

2

2 );

3x 2 +18x + 27

3.16. а)

lim(

x

+ 2

−

x

−

б) lim

;

x

3

+

5x

2

−

18

x→∞

x

→−3

в)

lim

3

10 − x − 2

;

г) lim

cos 3x

;

5x −10

cos 5x

x→2

x→

2

π

1

cos 3

− cos 3x

д)

lim(2 − x)ln x

;

е) lim

.

2x 2 + 2 − x 2 + 3

x→1

x→1

3.17. а)

lim

5x3 + x2 +10

;

б)

lim

2x3 − 2x 2 −10x −

6

;

2 −3x3

3 − 4x2 + x +

2

x→∞

x→−1 −3x

в) lim

10 − x −

9x

;

г) lim

sin x −1

;

2x + 2 −

x→1

1 + 3x

x→

π

cos x

д)

lim(sin 3x)sin x−cos 2 x ;

2

е) lim ln(5x +10)− ln(10 −5x).

1

x→ 6

arcsin 20x

π

x→0

3.18. а)

lim

x 2

+ 4x 4 + 5

;

б)

lim

x3

+ 5x 2 +8x +

4

;

2x3

+ 3x 2 −7x −

10

x→∞ 2x 2 + 2 x 2 −1

x→−2

в)

lim

2

x 2

+ 5 − 6

;

г) lim

1 + cos 3πx

;

tg 2 5πx

x→2 2 − 2x 2 − 4

x→1

5−x2

arcsin

x

arctg

2x

д)

4 + 2x 2 x

;

е) lim

4

5

.

lim

log3 cos 2x

x→∞

2x −5

x→0

3.19. а) lim

3

x3 +1

;

б) lim

6x3 − 23x 2 +

15x

;

x2

+1

4x3 − 24x 2 +

108

x→∞ x − 3

x→3

в)

lim

3 − 3

x 2

+ 2

;

г) lim

sin 2x

−sin 6x

;

2

3

6 + x − 2

3π

(x 2 −3x)

x→−5

x→0

tg

2

			12+4 x2
	12 + 4x
					3x
д) lim						;
x→∞	4x −12
3.20. а) lim(	x2	+14x − x);
x→∞
3	x 2	+ 3 x − 2				;
в) lim	x 2	+ 4x −			5
x→1

105

			+ ln(1 + 3x)			2
							x
		1
	е) lim		1 + tg 2x			.
	x→0
	б) lim		8 + 4x −	2x3					;
			−12 + x 2 + x3
	x→2
	г) lim x		2 − 2 cos 2x ;
	x→0		3sin 2 2x

2x 3tg

π x

1

− cos 2x + tg 2 x

д)

−

6

;

е) lim

.

lim 3

x→3

3

x→0

x sin 3x

3.21. а) lim

x2

x +11x2

;

б) lim

2x3

−16x − 6

;

x5 −100

−6x 2

+ 27x −

27

x→∞ 17x − 4

x→3

в) lim

2x

2

− 4x

;

г) lim

1 + x sin x − cos 2x

;

33

4x −

sin 2

x

x→2

6

x→0

2

ctg 2 2 x

2 x − 2

д) lim 3 −

;

е) lim

.

x→0

cos 2x

x→1

ln x

3.22. а) lim cos

1

ln

x +1

;

б) lim

5(x 2 + x −6)2

;

x

x 2

− 4x

(x + 3)(3x2 + 6x −9)

x→∞

x→−3

в)

д)

3.23.а)

в)

д)

lim 3	9 + 2x −15 ;	г) lim	2 cos x − 3	;
x→8	23 x 2 −8	x→π	2sin x −1
		6

15x

−3x

2

+ x

3

4+8 x3

3x2

;

lim

17

−5x + x

3

x→∞

lim

3x

2 +1

sin

1

;

б)

7x + 6

x

x→∞ x 2 +

lim(

x 2

+1 −

x 2

+11x );

x→∞

е) lim	4 − 4x	.
x→1	3log2 x

lim	x4	+ x2	+ x −			22		;
		x2 −5x + 6
x→2
г) limsin				1 − x		tg		πx	;
								2
	x→1		2

x2 +5

12

+8x − x

3

e

cos 5 x

−e

cos 3x

3

;

е) lim

.

3

lim

10

−3x − x

arctg12x

x→∞

x→0

106

3.24. а) lim

x +1 + x

cos

2

;

б) lim

x4

+ x3 +3x

2 − 4x −1

;

x 2

−

x

x

x2 −3x + 2

x→∞

x→1

в) lim

10

x +1 −10

;

г) lim

cosπx −sin πx

;

2 3 x +1 − 2

x→0

x→

1

tg4πx

4

4x

+

7

2 x−3

2 lg x

− 2

10 x

д) lim

;

е) lim

.

5x

+

x −9 −1

x→0

7

x→10

3.25. а) lim(

x 2

+14x +15 −

x 2

− 20x −10 );

x→∞

б) lim

2x4

+ 7x2 −5x −

4

;

в)

lim

6 − 2 3 4x +15

;

3x3 +3x −6

1 + 3 3x −10

x→1

x→3

г) lim

sin 3 2x −1

;

15sin 4x

x→π

4

5lg x −5

е) lim

.

x2 −11x +10

x→10

3.26. а) lim

(

x 2

− 25 −

x 2

x→∞

в) lim 3 1 + 2x −9

;

x→4

2

x − 4

д) lim(7 − 2x)

2 x

;

x−3

x→3

6x4

2

−

2x

2

3.27. а) lim

3x

x→∞

+1

в) lim

2x +1 −3

;

x→4

x − 2 −

2

	14x + 28				3−14 x
д)					2	;
	lim
		13	+14x
	x→∞

+ 25 );

б) lim

2x3 + 2x − 20

;

x

2

−7x +10

x→2

г)

lim

2 cos2 3x

;

1 −sin 3x

x→π

6

2

1

е) lim ln 1 −

ctg

.

x

x

x→∞

; б) lim

x3 − 2x −

4

;

x2

−11x

+18

x→2

г) lim sin 3x −sin 5x ;
x→0	1 −cos12x

			x		4 x2 −2			5 ln cos 6x
д)					3 sin 2 x	;	е) lim		.
	lim cos
			2					3arcsin(3x −π)2
	x→0						x→π
							3

107

3.28. а) lim x(

x

3

+ 5x −

x

3

− 4x );

б) lim

x3 + x2 +5x −7

;

4x

3

− 2x −

2

x→∞

x 2 − 2x −3

x→1

в) lim

;

г) lim

cos 2x −cos 4x

;

2x

+10 − 2

x

+

3x sin 3x

x→3

1

x→0

2

− 4x +17

3x

e

x

− e

2

д) lim

x

;

е) lim

.

2

+ 7x −10

x→1 sin 2(x

2

−1)

x→∞ x

3.29. а) lim

10x3 + x 7 +1

;

б)

lim

x2

+ x −12

;

100 − x3

x + 4

x3 + 2x −33

x→∞

x→3

в) lim

x3

+ x − 2

;

г)

lim

1

+ cos5πx

;

3 21x − 20 − 3 6

−

sin2

3πx

x→1

5x

x→3

д) lim(10 −

3x)

1

;

е) lim x(ln(x − 2)− ln(x + 3)).

tgπx

x→3

x→∞

+ 30 );

3.30. а) lim( x 2

+17x − 42 −

x 2

x→∞

б) lim

4x2 +16x − 48

;

в)

lim

4 + x − 4 − x

;

2x3

+ 2x − 20

3x

x→2

x→0

sin x

−tgx

9x

+ 2

3+x2

г) lim

x−4

;

д) lim

;

5x3

−3

x→0

x→∞ 9x

е) lim(2x −3)(ln 2x − ln 2x +10).

x→∞

Задача 4. Дослідити функцію на неперервність і з’ясувати характер точок розриву.

4.1.	f (x)=	1				.
		4x − x 2 −3
		1
4.3.	f (x)= e			.
			x+5
4.5.	f (x)=	10x			.
		x 2 −1

1

4.2. f (x)= 2 sin x .

1

4.4. f (x)= 2 3−x .

4.6. f (x)= x 2 . x 2 −5x + 6

108

4.7. f (x)= xx2 +−54 .

4.9.f (x)= (x +1)2 − (x −1)2 .

x2 − x

4.11.	f (x)=							1														.
						ln(3 − x)
4.13.	f (x)=										x										.
						ln(1 + x)
								1
4.15.	f (x)= 4−														.
											x−3
4.17.	f (x)= x +													x + 2										.
														x + 2
4.19.	f (x)=							3									.
						2 x −									1
4.21.	f (x)= 3							4							+ 2 .
							5−x
4.23.	f (x)=							x 2											.
						x		2 −							4
4.25.	f (x)=							1						.
						lg				x
4.27.	f (x)=					sin x										.
								x
4.29.	f (x)=				arcsin x															.
											x

4.8.	f (x)= 5					2 x				.
						1−x
4.10.	f (x)= e						3x+5
							2 x+2				.
4.12.	f (x)=									x + 5						.
					x		2
										+ x −				12
4.14.	f (x)=								sin x					.
						x(x + 2)
4.16.	f (x)=									4					.
					x 2					− 2x +1
4.18.	f (x)= lg								x −3				.
4.20.	f (x)=									12							.
			x 2							− 6x + 5
4.22.	f (x)=									x + 2						.
					x 2					− 6x +8

4.24. f (x)= arctg 1x .

1

4.26. f (x)= 5 x +3 .

4.28. f (x)= tgxx .

4.30. f (x)= 1 + 4x + x 2 . sin x

109

4 Диференціальне числення функцій однієї змінної

Теоретичні питання

1.Задачі, які приводять до поняття похідної.

2.Означення похідної. Механічний та геометричний зміст похідної.

3.Правила диференціювання .

4.Похідна степеневої, показникової, тригонометричних, та логарифмічної функцій.

5.Похідна складеної функції та оберненої функцій. Похідні Обернених тригонометричних функцій.

6.Гіперболічні функції та їхні похідні.

7.Похідні функцій, заданих неявно та параметрично.

8.Логарифмічне диференціювання. Похідна показниковостепеневої функції.

9.Диференційованість функції. Диференціал функції та його геометричний і механічний зміст. Властивості диференціала, інваріантність форми диференціала. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

10.Похідні вищих порядків, формула Лейбніца.

11.Похідні вищих порядків параметрично заданої функції.

12.Диференціали вищих порядків.

13.Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші.

14.Правило Лопіталя.

15.Формула Тейлора. Розклад за формулою Тейлора функцій

e x , sin x , cos x , ln(1 + x), (1 + x)α .

16.Дослідження монотонності функції за допомогою похідних. Локальний екстремум функції, необхідна та достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкненому відрізку.

17.Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.

18.Асимптоти графіка функції.

19.Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка.

110

Розрахункові завдання

Задача 1. Знайти похідні функцій.
1.1. а)	y =	3x − 4	; б) y =	2 arctg	x	+	1 ln x −1		;
		x3 +3x − 2		3	2		6	x +1
в)	y = (ln(x2 + 2x +3))sin3 x ;			г) y sin x −cos(x − y)= 0.

1.2.а)

в)

1.3.а)

в)

1.4.а)

б)

в)

1.5.а)

б)

г)

1.6.а)

в)

		1						1	+
	y =		3 (1 + x3 )8	− 1	3 (1 + x3 )5 ;	б)	y = ln			sin x ;
	8			5				1	−
										sin x

y = (arctg(x2 +1))2cos x

;

г)

x sin y − cos y +tg2 y = 0.

y =

x(x2 +1)

;

б) y =

x arcsin x

+ ln 1 − x

2

;

3 (x −1)2

1 − x2

y = (arctg 2x)ex

г)

y = xy + x2 y.

y =

(2x2 −1) 1 + x

2

3x3

;

1

1 arctg

2x −1;

y =

ln(x2 − x +1)+

6

3

3

y = (sin x)cos x ;

2

2

= x2 y + 2.

г)

x

3

+ y

3

y =

2(3x3 + 4x2 − x − 2)

;

15 1 + x

y =

3

x2 +1

+

1

arctg x;

y = (sin(2x +1))

ex 2

ln

в)

;

4

x2 −1

2

sin(xy)+ cos(xy)

= tg(x + y).

y =

2x2 − x −1

;

б)

y = arctg ln

1

+ 2cos x ;

3

2 + 4x

x

y = (x +3)x2 +2 x+3 ;

г)

y = x cos y + y2tgx.