Инжинерная графика,начертательная геометрия, лекции / Аксонометрия

9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Суть аксонометрического проецирования.

Для получения наглядного «объемного» изображения предмета с трех сторон на одной плоскости проекций применяют аксонометрию. (с греческого аксонометрия – «измерение по осям»). Суть аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет вместе с осями системы прямоугольных координат (образующих плоскости π1, π2, π3) к которым этот предмет отнесен в пространстве, проецируют параллельно на плоскость аксонометрических проекций.

Т.о., аксонометрическая проекция – это наглядное изображение предмета с трех сторон на плоскости вместе с осями прямоугольных координат, к которым предмет отнесен в пространстве, полученное параллельным проецированием (прямоугольным или косоугольным) на некоторую плоскость аксонометрических проекций. Направление проецирования не должно быть параллельным какой либо из осей X, Y, Z.

На рис. 9.1 дана аксонометрическая проекция т. А: А!. Аксонометрическая проекция ортогональной проекции (А1!) называется вторичной.

π!	Z						При аксонометрическом проецировании предмета его
						A!	размеры искажаются. Если на каждой из трех осей
							прямоугольной системы координат отложить отрезок длиной l ,
	lZ						то на плоскость аксонометрических проекций π! он
							спроецируется вместе с соответствующими осями как lХ, lY, lZ
							(рис. 9.1). Значения lХ, lY, lZ зависят от угла проецирования и
lX						lY	положения системы ортогональных осей по отношению к π!.
							Отношение аксонометрической проекции отрезка (lХ, lY, lZ),
X						Y	лежащей на аксонометрической проекции ортогональной оси к
				А1!			истинной длине этого отрезка называется коэффициентом
							искажения для данной оси в аксонометрии (X, Y, Z).

Рис. 9.1

kX = llX , kY = llY , kZ = llZ - коэффициенты искажения в аксонометрии по осям X, Y, Z.

Согласно основной теореме аксонометрии, три произвольно выбранные отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную аксонометрическую проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, отложенных на осях прямоугольной системы координат.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть трех видов: изометрическая, когда все коэффициенты искажения равны между собой; диметрическая, когда два коэффициента искажения равны между собой; триметрическая, когда все коэффициенты искажения различны.

Аксонометрия может быть косоугольной – когда проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости аксонометрических проекций, а также прямоугольной – когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости аксонометрических проекций.

Плоскость аксонометрических проекций при прямоугольном проецировании не параллельна π1, π2 или π3, а при косоугольном проецировании может быть параллельна любой из этих плоскостей проекций.

Стандартные аксонометрические проекции.

В практике для построения аксонометрических проекций применяют наиболее удобные комбинации направлений аксонометрических осей и, соответствующих им коэффициентов искажения, принятые как стандартные. В практике наибольшее распространение получили прямоугольная изометрия и прямоугольная диметрия.

		z				Прямоугольная изометрия (рис. 9.2): оси расположены под углом
						120º относительно друг друга. Коэффициенты искажения по всем осям
						составляет k ≈ 0,82, однако для	удобства принято использовать
						приведенные коэффициенты искажения. Для получения приведенных
		0		0		коэффициентов искажения больший из коэффициентов увеличивают до
	12			12		1, а остальные пропорционально.	Т.о для прямоугольной изометрии
						вместо kX = kY = kZ ≈ 0,82 используют kX = kY = kZ =1.
x		120			y		z
						Рис. 9.2

					'	4
						1
В прямоугольной диметрии оси расположены следующим				0
			1			2
образом: ось х – под углом 7º10 ' по отношению к горизонту, ось y -
						5'
под углом 41º25' по отношению к горизонту. Коэффициенты		7
искажения по осям: по x и z - kx = kz ≈ 0,94, по	y - ky ≈ 0,47;	x
значения приведенных коэффициентов искажения	соответственно:
kx = kz = 1, ky = 0,5 (рис. 9.3).
					Рис. 9.3	y

Построения в прямоугольной изометрии и диметрии.

Существует ряд способов построения геометрических фигур в аксонометрии. На рис. 9.4 приведен пример построения окружности в изометрии. Для построения эллипса необходимо построить две взаимноперпендикулярные прямые и из этого центра - оси изометрии, расположенные под углом 1200 относительно друг друга. В центре пересечения осей строим окружность заданного диаметра D. К окружности проводим касательные, параллельные осям х и у, которые при пересечении друг с другом образуют ромб. Из вершины тупого угла, образованного касательными, радиусом R описываем дугу от точки пересечения оси у с одной стороной ромба до точки пересечения оси х с другой стороной ромба. Далее из точек О и О1 радиусом R1 описываем малые дуги. Эллипс построен.

			z
	R	1	R
D
		О	О
			1
	х		у
	Рис. 9.4		D

На рис. 9.5 приведен еще один способ построения эллипса. Этот способом универсален и применим к любой аксонометрической проекции с учетом коэффициентов искажения по осям.

	7
	e			7
		6
d	5			6	5
			e
					4

x	c		4			3
				d			2
			3
	b				c
				х		a	1
					b
			2				y
		a
			1	y	Рис. 9.5

Этот способ построения заключается в следующем: заданную окружность на комплексном чертеже (рис. 9.5 слева) делим на некоторое число частей ( в нашем случае на 12) 1, a, b, c, d, e, 7… Из каждой точки деления, кроме 1 и 7, проводим отрезки параллельно оси х до пересечения с окружностью в симмеричных точках деления. Эти отрезки пересекли ось у в точках2, 3, 4, 5, 6. Далее переходим к построению эллипса – проекции данной окружности в прямоугольной изометрии в плоскости осей ху. Для этого строим изометрические оси под углом 1200 (рис. 9.5 справа) относительно друг друга и по оси у откладываем точки 1…7. Из точек 2, 3, 4, 5,6 проводим прямые параллельные оси х. На каждой прямой необходимо отложить соответствующие отрезки: 2a, 3b, 4c, 5d, 6e по обе стороны от оси у. Полученные точки, включая точки 1 и 7 необходимо соединить плавной кривой с помощью лекала.

z

x

x

y	x
	z

x

x

Таким методом можно строить окружность,

например, в диметрии с учетом коэффициентов искажения

по осям.

z

Имеет

смысл

рассмотреть

примеры построения

геометрических тел в аксонометрии (рис.

9.6). В

качестве

примера рассмотрены призмы с шестиугольным и

четырехугольным

основаниями.

Соответствующими

y

засечками

показаны

отрезки, которые

измеряются на

комплексном чертеже, а после откладывают на

аксонометрических осях. Следует обратить внимание на то,

что, если в основании геометрического тела лежит квадрат

или ромб, используют диметрические оси, т.к. в этом случае

наглядность будет наилучшей. В нашем примере призма с

y

квадратом

в

основании построена

в диметрии с

учетом

z

коэффициентов искажения по осям.

y

y Рис. 9.6

Штриховка разрезов в аксонометрии

На вырезах в аксонометрии штриховые линии должны быть параллельны диагоналям вписанных в плоскости π1, π2, π3. квадратов. Т.о. направление штриховых линий зависит от вида аксонометрической проекции (рис. 9.7). Т.е. линии штриховки разрезов и сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей, вписанных в плоскости XY, YZ, XZ квадратов. Стороны этих квадратов отложены на осях с учетом коэффициентов искажения.

Прямоугольная изометрия

Прямоугольная диметрия

Рис. 9.7

Направление штриховки разрезов в изометрической проекции показано на рис. 9.8

Рис. 9.8

Направление штриховки разрезов в диметрической проекции показано на рис. 9.9.

Рис. 9.9