1. Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають в парк приймання, є випадкова величина X, яка розподілена за законом:

X	1	0	2
Р	0,5	?	0,1

Знайти P₂ та D(X).

Розв’язання:

Оскільки ∑ P(X)=1, тоді Р₂=1-(Р₁+Р₃)

Р₂=1-(0,5+0,1)=0,4

Знайдемо дисперсію:

D(X)=M(X²)-(M(X))²

M(X)=X₁*P₁+X₂*P₂+……+X_n*P_n

M(X)=1*0,5+0*0,4+2*0,1=0,7

M(X²)=

M(X²)=1*0,5+0+4*0.1=0,9

D(X)=0,9-0,7²=0,41

Відповідь: Р₂ = 0,4; D(X)=0,41

2. Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають в парк приймання, є випадкова величина X, яка розподілена за законом:

X	1	3	4
Р	0,3	0,5	?

Знайти P₃ та D(X).

Розв’язок:

Оскільки ∑ P(X)=1, тоді Р₃=1-(Р₁+Р₂)

Р₃=1-(0,3+0,5)=0,2

Знайдемо дисперсію:

D(X)=M(X²)-(M(X))²

M(X)=X₁*P₁+X₂*P₂+……+X_n*P_n

M(X)=1*0,3+3*0,5+4*0,2=2,6

M(X²)=

M(X²)=1*0,3+9*0,5+16*0,2=8

D(X)=8-2,6²=1,24

Відповідь: Р₃ = 0,2; D(X)=1,24

3 Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають в парк приймання, є випадкова величина X, яка розподілена за законом:

X	1	2	3
Р	?	0,6	0,3

Знайти P₁ та D(X).

Розв’язок:

Оскільки ∑ P(X)=1, тоді Р₁=1-(Р₂+Р₃)

Р₁=1-(0,6+0,3)=0,1

Знайдемо дисперсію:

D(X)=M(X²)-(M(X))²

M(X)=X₁*P₁+X₂*P₂+……+X_n*P_n

M(X)=1*0,1+2*0,6+3*0,3=2,2

M(X²)=

M(X²)=1*0,1+4*0,6+9*0,3=5,2

D(X)=5,2-2,2²=0,36

Відповідь: Р₁ = 0,1; D(X)=0,36

4 Щільність розподілу неперервної випадкової величини Х має вигляд:

f (x) =

Знайти параметри b та математичне очікування МХ.

Розв’язок:

За властивістю щільності розподілу маємо:

=dx == (3⁴ – 2⁴)=

=1

b =

Щільність розподілу має вигляд:

f(x)=

Математичне сподівання знаходиться за формулою:

M(X)=;

M(X)= =

Відповідь: b = ; М(Х)=2,6

5 Визначення однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Знайти розв’язок задачі Коші.

y″- 3y′+2y=0, y(0)=0, y′(0)=1

Розв’язок:

Складемо характеристичне рівняння:

k² - 3k+2=0

(k-2)(k-1)=0, отже рівняння має два корені:

k₁=2; k₂=1

Загальне рішення диференціального рівняння записується у вигляді:

y=

y=

Для знаходження коефіцієнтів С₁ і С₂ знайдемо y′ і підставимо початкові умови:

y′=

y(0)=

C₁+C₂=0

y′(0)=1

2C₁+C₂=1

Складемо систему рівнянь:

Отже, частне рішення:

y=

Відповідь: y=

6 Щільність розподілу неперервної величини Х має вигляд:

f(x)=, 0

Знайти параметри b та математичне очікування МХ.

Розв’язок:

За властивістю щільності розподілу маємо:

=b=b=

= ((2+1)³ - (0+1)³) = ·(27-1)=

=1; b=

Щільність розподілу має вигляд:

f(x)= , 0

Математичне сподівання знаходиться за формулою:

M(X)=;

М(Х)=²∙dx==³+2x²+x)∙dx=

=+=

=

Відповідь: b=; М(Х)=

7 Щільність розподілу неперервної величини Х має вигляд:

f(x)=, 1

Знайти параметри b та математичне очікування МХ.

Розв’язок:

За властивістю щільності розподілу маємо:

==

=

;

Щільність розподілу має вигляд:

f(x)= , 1

Математичне сподівання знаходиться за формулою:

M(X)=;

М(Х)=

=

Відповідь: ; М(Х)=

8 Визначення однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Знайти розв’язок задачі Коші.

y″+9y′=0, y(0)=0, y′(0)= -2

Розв’язок:

Складемо характеристичне рівняння:

k²+9k=0

k·(k+9)=0, отже рівняння має два корені:

k₁=0; k₂= -9

Загальне рішення диференціального рівняння записується у вигляді:

y=

y=

Для знаходження коефіцієнтів С₁ і С₂ знайдемо y’ і підставимо початкові умови:

y′=

y(0)=C₁+C₂=0

y’(0)=-9C₂= -2

Складемо систему рівнянь:

Отже, частинне рішення:

y = =

Відповідь: y =

9 У подачі порожніх вагонів з ймовірністю Р=0,2 кожний з них вимагає очищення. Знайти ймовірність того, що в подачі з 4-х вагонів очищення вимагатимуть менше двох вагонів.

Рішення:

Застосовуємо формулу Бернуллі:

q=1-P;

q=1-0,2=0,8

Очищення вимагатимуть менше двох вагонів, тобто або 0 або 1 вагон:

Відповідь:

10 У подачі порожніх вагонів з ймовірністю Р=0,2 кожний з них вимагає очищення. Знайти ймовірність того, що в подачі з 4-х вагонів очищення вимагатимуть більше двох вагонів.

Розв’язок:

Застосовуємо формулу Бернуллі:

q=1-P;

q=1-0.2=0.8

Очищення вимагатимуть ,більше двох вагонів, тобто або 3 або 4 вагона:

Відповідь:

11. У вокзальному приміщенні знаходиться каса, яка продає квитки на транзитні поїзди за годину до відправлення поїзду. При відсутності квитків каса зачинена. Матриця перехідних ймовірностей марківського процесу в такій обслуговуючій системі має вигляд:

Побудувати графік станів і знайти матрицю ймовірностей за два кроки.

Рішення:

Побудуємо для матриці перехідних ймовірностей граф станів:

Матриця ймовірностей через 2 кроки матиме вигляд:

Перевіримо правильність розрахунків:

Відповідь: Р(2)=

12. Ймовірність появи в поїзді вагонів: на вантажний двір Р₁=0,5; на контейнерну площадку Р₂=0,4; на під’їзну колію Р₃=0,1. Визначити ймовірність появи в поїзді вагонів на два пункти.

Рішення:

1. Введемо позначення: А₁ – поява вагонів на вантажний двір, А₂ – поява вагонів на контейнерну площадку, А₃ – поява вагонів на під’їзну колію.

2. За умовою задачі маємо:

Р₁=Р(А₁)=0,5 тоді q₁=Р()=0,5;

Р₂=Р(А₂)=0,4 тоді q₂=Р()=0,6;

Р₃=Р(А₃)=0,1 тоді q₃=Р()=0,9.

3. Подія В – поява в поїзді вагонів на два пункти.

Відповідь: Р(В)=0,23

13. Ймовірність появи в поїзді вагонів: на вантажний двір Р₁=0,5; на контейнерну площадку Р₂=0,4; на під’їзну колію Р₃=0,1. Визначити ймовірність появи в поїзді вагонів на один пункт.

Рішення:

1) Введемо позначення: А₁ – поява вагонів на вантажний двір, А₂ – поява вагонів на контейнерну площадку, А₃ – поява вагонів на під’їзну колію.

2) За умовою задачі маємо:

Р₁=Р(А₁)=0,5 тоді q₁=Р()=0,5;

Р₂=Р(А₂)=0,4 тоді q₂=Р()=0,6;

Р₃=Р(А₃)=0,1 тоді q₃=Р()=0,9.

3) Подія В – поява в поїзді вагонів на два пункти.

Відповідь: Р(В)=0,48

14. У парку приймання 3 колії. Ймовірність зайнятості кожної з них поїздами, які прибувають, р=0,8. Знайти розподіл числа колій, зайнятих поїздами, які прибувають.

Рішення:

Для того, щоб знайти закон розподілу випадкової величини (числа колій), треба знайти всі ймовірності при к=0, 1, 2, 3.

Застосуємо формулу Бернуллі:

За умовою р=0,8; q=1-р=0,2.

k=0

k =1

k =2

k =3

Отже, закон розподілу числа колій, зайнятих поїздами:

K	0	1	2	3
р	0,008	0,096	0,384	0,512

15. Знайти екстремум функції.

Рішення:

1. Знаходимо критичні точки функції у(х):

х² – 4х+3=0

х₁=3

х₂=1

2. Знаходимо у^′′:

у^′′=(3·x² – 12·x +9)′=6·x-12

3. Визначаємо знак у^′′ в критичних точках:

Отже при х=1 функція має максимум.

Отже при х=3 функція має мінімум.

4) Знаходимо значення у(х) в цих точках:

y _min =y(3)=3³ – 6·3²+9·3 – 7= -7

y _max =y(1)=1 – 6+9 – 7= -3

Відповідь: y _min=-7 при х=3; y _max= -3 при х=1

16. Знайти екстремум функції.

Рішення:

1) Знаходимо критичні точки функції у(х):

y′=(x³ - 3·x² - 9·x+5)′=3х² – 6х – 9

y′=0

х₁= 3, х₂= -1

2) Знаходимо у^′′:

у^′′=(3х² – 6х – 9)′=6х – 6

3) Визначаємо знак у^′′в критичних точках:

y″(3)=6·3 – 6=12>0

Отже при х=3 функція має min

y″(-1)=6·(-1) – 6= -12<0

Отже при х= -1 функція має max

4) Знаходимо значення у(х) в цих точках:

y _min =y(3)=3³ – 3·3²+9·3+5= -22

y _max =y(-1)= -1-3+9 +5= 10

Відповідь: y _min=-22 при х=3; y _max= 10 при х= -1

17. Тенденція випуску із ремонту піввагонів на вагоноремонтному заводі описується диференціальним рівнянням: yy′ = 3x²+1. Розв’язати це рівняння.

Розв’язання:

Задано диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

Відповідь:

18. Марковський ланцюг задано генератором . Побудувати граф станів і знайти фінальний розподіл ймовірностей станів.