Временные ряды (теория)

Модуль 3. Временные ряды

При построении эконометрических моделей используются два типа данных: пространственные и временные.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1)факторы, формирующие тенденцию ряда;

2)факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3)случайные факторы.

Одним из методов анализа временных рядов является метод декомпозиции. Суть его состоит в выявлении составляющих исследуемого показателя, изучении закономерностей изменения каждой из составляющих и последующей трансформации свойств каждой из них в свойства всего ряда.

Для временных рядов принято рассматривать его уровни как смесь четырех компонент - тренда, циклической, сезонной и случайной составляющих,

которые не могут быть измерены непосредственно.

yt F Tt ,Ct , St , t ,

Простейшими моделями являются мультипликативная модель yt Tt Ct St t и аддитивная модель yt Tt Ct St t .

где Tt – тренд, основная тенденция развития исследуемого процесса во времени, которую можно представить в виде более или менее гладкой кривой. В экономических задачах тренд отображает либо постоянный рост, либо постоянный спад, либо чередование роста и спада в изучаемом процессе.

St – сезонная компонента,. отражает периодические колебания с периодом 12 месяцев. В отличие от циклических колебаний, сезонные более четко выражены. Сумма всех сезонных компонент равна нулю.

Ct – циклическая	компонента,	отражает	периодические колебания,
которым подвержена рыночная экономика в течение длительных периодов;
Примеры циклических колебаний:
1) Экономический	цикл (подъем,	спад,	свертывание и оживление

экономической деятельности). Длительность экономического цикла - от одного до 12 лет. Средней продолжительностью цикла считается четырехлетний период.

2)Строительный цикл имеет период 15-20 лет.

3)Деловой цикл - обращаемость деловых бумаг. Его длительность обычно составляет 1- 4 года.

1

t – случайная компонента, отражает нерегулярные колебания,

вызванные случайными факторами. Математическое ожидание случайной составляющей равно нулю.

Заметим, что компоненты Tt , St , Ct являются закономерными,

неслучайными.

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Важнейшей задачей при исследовании временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Основные этапы анализа временных рядов:

1.Графическое представление и описание поведения временного ряда (EXCEL: Вставка/ Диаграмма);

2.Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда.

Используется метод скользящих средних.

3.Выделение неслучайных компонент временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих).

4.Исследование случайной компоненты временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания. Используется

критерий Дарбина-Уотсона.

5.Прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда.

3.1Метод скользящих средних

Метод скользящих средних – один из методов выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайных компонент. Он основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд.

Пример 1. Провести сглаживание временного ряда							yt методом скользящих
средних с интервалом сглаживания m 3 года.
	Год, t	1	2	3	4	5		6	7
	Спрос, yt	21	17	29	30	31		36	35

2

Решение. Сглаженный ряд:

1

2

3

4

5

6

7

(21+17+29)/3

(17+29+30)/3

(29+30+31)/3

(30+31+36)/3

(31+36+35)/3

yt*

-

= 22,33

= 25,33

= 30,00

= 32,33

= 34,00

-

По данным сглаженного ряда находят тренд Tt , который может

описываться с помощью уравнения регрессии (например, Tt

a bt )

или

уравнения авторегрессии (например,

yt a byt ).

Для нахождения уравнения регрессии используется МНК, где значения

сглаженного ряда

y* рассматриваются как зависимая переменная, а время t

– как

t

объясняющая (EXCEL: Сервис/ Анализ данных/ Регрессия; EXCEL: Диаграмма/

Добавить линию тренда; уравнение регрессии, R2 ).

Критерием

отбора наилучшей формы

тренда является наибольшее

значение скорректированного коэффициента детерминации

2 .

R

По данным исходного и сглаженного ряда находят сезонную компоненту

St ,

которая описывается с помощью таблицы значений (число значений в таблице

совпадает с числом сезонов p).

Для нахождения

S

t

необходимо определить отклонения

y y* и их средние

t

t

значения по сезонам S*,

j 1, p (пример 3.1, стр. 48), а затем скорректированные

j

p

S*j

сезонные компоненты: S

j

S*

j 1

, j 1, p .

j

p

Заметим, что сумма скорректированных сезонных компонент равна нулю,

p

т.е. S j 0 .

j1

3.2Автокорреляция возмущений (остатков, ошибок).

Одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения t (t 1,2,...,n) – независимые случайные величины со средним

значением (математическим ожиданием) равным нулю.

Если вид функции тренда выбран неудачно, то может нарушиться эта предпосылка. Т.е. может возникнуть автокорреляция возмущений – корреляционная зависимость между значениями возмущений за текущий и предыдущие моменты времени.

Автокорреляция наблюдается при заметной концентрации положительных и отрицательных возмущений.

3

в) г)

Наиболее простым и достаточно надежным критерием определения автокорреляции возмущений является критерий Дарбина-Уотсона.

Алгоритм критерия Дарбина-Уотсона.

1.	Определить возмущения	(остатки) t	ˆ	(t 1,2,..., n) , т.е.
			yt yt
отклонения фактических значений yt		от теоретических yˆt .

2.Найти значение статистики Дарбина-Уотсона по формуле:

n

( t t 1)2

dw	t 2		,	0 d 4 .
		n
		t2

t1

3.Задать уровень значимости и по таблице критических значений статистики Дарбина-Уотсона, дод. 4 (по числу наблюдений n и числу объясняющих переменных k ) находим верхнее и нижнее значения dн и dв , а

также вычисляем 4 dн и 4 dв . Заметим, что

0 dн dв 2 4 dн 4 dв 4 .

4.Если фактическое значение d:

а) dв dw 4 dв , то автокорреляция отсутствует.

б) dн dw dв или 4 dв dw 4 dн , то вопрос об автокорреляции остается открытым (область неопределенности).

0 dw dн , то имеет место положительная автокорреляция.

4 dн dw 4, то имеет место отрицательная автокорреляция.

Пример 2.

По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия у (млн. грн.) от цен на сырье х1 (тыс. грн. за т) и производительности труда х2 (ед. продукции на 1 работника):

	1,5x1	4x2 .
y 200

При анализе остатков были использованы значения, приведенные в табл.:

	№	у		Х1						Х2
	1	210		800					300
	2	720		1000					500
	3	300		1500					600
		…		…						…
и следующие вычисленные значения : t2					10500, t t 1 2 40000
Требуется:
1. По трем позициям рассчитать					,		,		2	,					2
			y ,			t 1			t		t			t 1	.
			t t

2. Рассчитать критерий Дарбина-Уотсона.

4

3.Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

4.Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

Решение.

1. Результаты вычислений оформим в виде таблицы:

	№						2	2
		yt	yt	t	t 1	t	t 1	t
	1	210	200	10	-		-	100
	2	720	700	20	10		100	400
	3	300	350	-50	20		4900	2500
						40000		10500

2. Критерий Дарбина-Уотсона рассчитаем по формуле

	n
	( t t 1)2		40000	3,81.
dw	t 2
	n

t2 10500

t1

3.Фактическое значение dw сравниваем с табличным значением при 5%

уровне значимости	( 0,05).	При n 18 месяцев	и k 2	нижнее значение
dн 1,05 , а верхнее	dв 1,53.	Так как фактическое	значение	dw близко к 4,

можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину:

4 dw 4 3,81 0,19,

что значительно меньше, чем dн . Это означает наличие в остатках автокорреляции.

4. Уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна, а может быть, в рядах динамики имеется общая тенденция.

Вслучае выявления автокорреляции возмущений целесообразно вернуться

кпроблеме выбора функции тренда, например, изменить вид уравнения регрессии или попытаться использовать авторегрессионную модель, учитывающую влияние предыдущих уровней ряда.

5

3.3 Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше 4n.

Авторегрессионная модель.

Авторегрессионная модель p-го порядка имеет вид:

		yt a b1 yt 1 b2 yt 2 ... bp yt p t ,
				t 1, n ,
где yt	( 1, p ) – уровень ряда с лагом .

Для построения уравнения авторегрессии используют автокорреляционную функцию временного ряда, т.е. последовательность коэффициентов автокорреляции уровней временного ряда: r1, r2 , ...,rp .

	Коэффициент		автокорреляции r1			находят	как коэффициент		корреляции
(EXCEL: КОРРЕЛ …,…) между значениями:
	yt	y1		y2	y3	y4	…	yn 1	yn
	yt 1	---		y1	y2	y3	…	yn 2	yn 1
	Коэффициент автокорреляции r2 :
	yt	y1		y2	y3	y4	…	yn 1	yn
	yt 2	---		---	y1	y2	…	yn 3	yn 2

и т.д.

Порядок коэффициента автокорреляции с наибольшим абсолютным значением определяет величину лага уровня ряда, включаемого в авторегрессионную модель.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1 Характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например,

6

параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2 По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Пример 3.

Динамика цен на товар А по кварталам характеризуется следующими данными:

t	1	2	3	4	5	…	20	21	22	23	24
yt	4	3	5	6	4	…	16	12	14	13	14

Рассчитаны коэффициенти автокорреляции уровней временного ряда:

r1 0,88022;

r2 0,73574;

r3 0,75723;

r4 0,85216;

r5 0,78790;

r6 0,62733;

ri – коеффициенты автокорреляции i-го порядка.

1.Построить два наилучших уравнения авторегрессии (первого и второго порядка). Для оценки параметров регрессии используйте МНК.

2.Построить прогноз на 25-й квартал с помощью уравнения авторегрессии второго порядка.

В расчетах необходимо использовать следующие данные:

для n 24,	yt 216,		yt2	1986;
для лага ( t 4),		n 20,	yt yt 1 1728,		yt	yt 4 1375,	yt 1 yt 4	1298,
			yt2 1	1696,	yt2 4	1238.

Решение.

1. Так как значения всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокие, ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение

имеет коэффициент автокорреляции первого порядка	r1 0,88022; , ряд содержит
периодические колебания, цикл этих колебаний равен 1.
Найдем уравнение авторегрессии первого порядка:	yt a byt 1 .

Коэффициенты уравнения найдем с помощью МНК, по следующим формулам:

7

b r				yt			; a y		b y
											t1
	yt yt 1				y			t
					t 1
Выполним дополнительные расчеты:
	yt =			6,86					a=	1,049
yt 1 =				6,43					b=	0,905
	yt2 =			85,65

yt2 1 = 77,83

yt = 6,2

yt 1 = 6,03

Кроме того, возможно построение множественного уравнения

авторегрессии

yt a b1 yt 1 b2 yt 4 , (т.к.

коэффициенты .

r1 0,88022; r4 0,85216

наибольшие).

Коэффициенты уравнения найдем с помощью МНК, решив следующую

систему уравнений:

a b1 yt 1 b2 yt 4

yt ;

a 6,8 b1 5,45 b2

7,2;

a y

6,8 a 84,8 b 64,9 b 86,4;

t 1

b y2

b

y

t 1

y

t 4

y

y

t 1

;

1 t 1

2

t

1

2

b1 61,9 b2 68,75.

2

yt yt 4 .

5,45 a 64,9

a yt 4 b1 yt 1 yt 4 b2 yt 4

Решим систему уравнений методом Крамера. Вычислим определители.

∆=466,47

∆1=227,07

∆2=383,92

∆3=95,58

Уравнение авторегрессии второго порядка имеет вид: yt 0,487 0,823 yt1 0,205 yt4

2. С помощью уравнения авторегрессии второго порядка найдем прогноз на 25-й квартал:

y25 a b1 y24 b2 y21 0,487 0,823 14 0,205 12 14,47. .

3.4 Моделирование тенденции временного ряда

Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

линейный тренд: yt a bt ;

гипербола: yt a bt ;

8

и yt 1

 экспоненциальный тренд: yt ea bt (или yt a bt );

степенная функция: yt a tb ;

полиномы различных степеней: yt a b1t b2t 2 ... bmt m .

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t 1, 2, ..., n,

а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt .

Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда.

Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt

тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого

порядка уровней исходного ряда должен быть высоким.

Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

Модели временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим один экономический показатель за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения

тенденции используются следующие методы.
Метод	отклонений от тренда	предполагает вычисление трендовых
значений для	каждого временного ряда	модели, например yt	и	xt , и расчет

9

отклонений от трендов dy yt yt	и dx xt xt . Для дальнейшего анализа

используются не исходные данные, а отклонения от тренда. Данная модель имеет вид

dy f dx

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

t yt yt 1 b t t 1 ; если параболический тренд – вторыми разностями:

2t	t t 1 2b t 2 t 1 t 2

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид yt a b1 x1 b2 t t .

Параметры этой модели определяются обычным МНК.

Пример 4. Пример 3.3, стр. 50.

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расход на товар А:

	Показатель	1985 г.	1986 г.	1987 г.	1988 г.	1998 г.	1990 г.
	Расход на товар А,	30	35	39	44	50	53
	грн.
	Доход на одного члена	100	103	105	109	115	118
	семьи, % к1985 г.

Требуется:

1.Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2.Перечислить основные пути устранения тренда для построения модели спроса на товар А в зависимости от дохода.

3.Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов. Пояснить экономический смысл коэффициентов регрессии.

4.Построить линейную модель спроса на товар А, включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение.

1. Обозначим расходы на товар А через у, а доходы на одного члена семьи через х. Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам

yt yt yt 1 , xt xt xt 1 . Расчеты можно оформить в виде таблицы:

10