Часть II Математическая статистика введение

Математическая статистика является одной из составных частей курса «Математика».

Объект, с которым работают в математической статистике, это данные эксперимента. Чаще всего результаты эксперимента выражаются случайными величинами. В задачах теории вероятностей исходят из того, что вероятностное пространство задано. Это означает, что задано множество элементарных исходов и вероятность любого события. Имея эти данные, можно предсказать поведение любой случайной величин, связанной со случайным экспериментом. В математической статистике известны только реализовавшиеся значения случайной величины, по которым реконструируется вероятностное пространство. Говорят, что по экспериментальным данным строится вероятностная модель явления, соответствующая этим данным.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

Первой задачей математической статистики является разработка методов сбора и группировки статистических данных, полученных в результате наблюдений за случайными процессами.

Вторая задача состоит в разработке методов анализа полученных статистических данных.

§ 1. Задачи статистики. Понятие выборки

Математическая статистика – раздел математики, посвященный анализу данных. Теория вероятностей является базовым курсом для математической статистики.

Изучается некоторое явление или большой набор элементов. Мы получаем множество данных, которые отражают качественный или количественный характер объекта наблюдения. Данные являются значениями некоторой случайной величины Х. В задачах теории вероятностей нам известен закон распределения этой случайной величины Х (то есть известно все о случайной величине Х). Напротив, в задачах математической статистики почти ничего не известно о случайной величине Х, т.е. по полученным данным требуется восстановить случайную величину Х (узнать о ней как можно больше).

Под генеральной совокупностью понимается весь мыслимый набор данных, описывающих некоторое явление. Т.е. наблюдение за этим явлением происходит бесконечное число раз.

Результат наблюдения за явлением – значение некоторой случайной величины Х, ее еще называют генеральной случайной величиной.

Выборка объема п – это результаты п независимых наблюдений за генеральной случайной величиной. Если задана выборка объема п случайной величины Х, то мы имеем п числовых значений полученных в результате п наблюдений. Но если мы проведем еще п наблюдений, то получим другую последовательность значений. Таким образом, проводя п независимых наблюдений, получаем значения случайного вектора где компоненты являются независимыми случайными величинами и распределение каждой компоненты совпадает с распределением случайной величины Х. Случайная выборка – это последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой из которой совпадает с распределением генеральной случайной величины.

Функция от случайной выборки называется статистикой. Тогда статистика является случайной величиной. Если нам дана выборка то имеем значение статистики (числовое значение), его еще называют наблюдаемым значением:

Изучение распределения статистик приводит к выводам о распределении генеральной случайной величины Х.