Альбом №3 (пример)

Міністерство освіти і науки України Харьківський національний автомобільно-дорожний універсітет

Кафедра мостів, конструкцій та будівельної механіки

ЗАВДАННЯ №3

з опору матеріалів "Розрахунок статично визначуваних балок

на міцність та жорсткість"

Схема

Варіант

Виконав ст. гр. Перевірив преп.

Харків 2014

		«Розрахунок деревяної балки»
		Задача №1
	I діл.	F=20 кН	q1=10кН/м	II діл.
	X	A			B
					X
	1 м		2 м		VB=21.67 кН
	VA=28.33 кН
	28.33
		18.33
	+			_
		1.67			Q, кН
					21.67
			+		M, кНм
		23.33
1) Побудова епюр Q і M
а) Визначення опорних реакцій
∑ M( B) = 0 ; V( A) ×3 - F × 2 - q ×3 ×1.5 = 0
V	= F × 2 + q ×3 ×1.5	= 20 × 2 +10 ×3 ×1.5	= 28.33кН
( A)	3	3
∑ M( A) = 0 ; V(B) ×3 - F ×1 - q ×3 ×1.5 = 0
V	= F ×1 + q ×3 ×1.5	= 20 ×1 +10 ×3 ×1.5 = 21.67 кН
(B)	3	3

b)Перевірка

∑M(C ) = 0 ;VА ×1 + q ×3 × 0.5 -VB × 2 = 0

28.33×1 +10 ×3 × 0.5 - 21.67 × 2 = 0

с) Визначення Q і M по ділянкам

I діл. (0 £ x £1м)

Q( x)

= VA - q × xx=0 = 28.33 кН x=1м = 28.33 -10 ×1 =18.33 кН

M( x)

= VA × x -

q × x2

= 0 x=1м

= 28.33 ×1 -

10 ×12

= 23.33 кНм

2 x=0

2

II діл. (0 ≤ x ≤ 2м)

Q( x)

= q × x -VB x=0 = -21.67 кН x=2 м =10 × 2 - 21.67 = -1.67 кН

M

( x)

= -

q × x2

+V × x

x=0

= 0

x=2

= -

10 × 22

+ 21.67 × 2 = 23.33 кНм

м

2

B

2

2) Підбір розмірів перерізу по максимальним нормальним напруженням

σ max

=

M max

£ [σ ];[σ ] =10 МПа; M max = 23.33 кНм

W

W =

M max

=

23.33 ×103

= 2.33 ×10

−3

3

м

[σ ]

10 ×106

3)

Прямокутний переріз

W =

I

=

b × h2

=

h3

b =

h

ymax

6

9.6

1.6

= 3

= 0.281м

h = 3 9.6 ×W

9.6 × 2.33 ×10−3

b =

0.281

= 0.176м

1.6

4)

Круглий переріз

π × d 3

W °

=

; d = 3

32 ×W

°

=

3

32 × 2.33 ×10−3

= 0.287 м

32

π

3.14

5) Перевірка по максимальним дотичним напруженням

τ

max

= k ×

Qmax

£ [τ ]; [τ ] = 2 МПа; Q

= 28.33 кН

A

max

a)

Прямокутний переріз k = 3

2

τ max =

3

×

28.33 ×103

= 0.861×106 Па = 0.861мПа £ 2мПа

2

0.281× 0.176

b)	Круглий переріз k =					4
						3
τ max = 4 × 28.33 ×103 × 4						= 0.584 ×106 Па = 0.584мПа £ 2мПа
	3 3.14 × 0.2872
6) Перевірка по нормальним напруженням
a)	Прямокутний переріз
σ max =		M max	× y	=	23.33 ×103		× 6	=10.096мПа	>10мПа
		I			0.176 × 0.2812
δ = 10.096 −10 ×100 = 0.96% < 5%
		10
b)	Прямокутний переріз
σ max =		M max	× y	=	23.33 ×103		×32	=10.054мПа >10мПа
		I			3.14 × 0.2873
δ = 10.054 −10 ×100 = 0.54% < 5%
		10
7)	Побудова епюр σ і τ в небезпечних перерізах
			0.176 м
									10.096
	м
	0.281									+	0.861
								+
								10.096	τ ,
								σ , МПа		МПа
									10.054
	0.287 м
										+	0.584
								+
								10.054 σ ,МПа	τ ,	МПа

Задача №1. Расчёт деревянной балки. h/b=1,6

Результаты расчёта

Опорные реакции Va= 28.33кн Vb= 21.67кн

|Mmax|= 23.33кнм при X= 1.00м |Qmax|= 28.33кн при X= 0.00м

Размеры сечений прямоугольного и круглого h= 0.281м b= 0.176м d= 0.287м

Максимальные напряжения для прямоугольного и круглого сечений

Smax_pr=10.096МПа Tmax_pr= 0.861МПа

Smax_cr=10.054МПа Tmax_cr= 0.584МПа

Выполнил на ПЭВМ ст.

		«Розрахунок сталевої двотаврової балки»
				Задача №2
F=60кН		II діл.	q1=20кН/м	M=40кНм		q2=10кН/м IV діл.
I діл.
					III діл.
C								E
	A	X		D	X	B	X
X
2	м		3 м		3 м		1.5м
	VA=116.46 кН				V =18.54 кН
						B
		56.46
		+				15
				3.54		3.54		Q, кН
_
60		60	2.82 м
		120
	_			Mmax=40.31	кНм
				40.62
				0.63		11.25
								M, кНм
	0.00598			0.00134	0.00201
								0.00222
0.01046
		0		0.0047		0	0.0032	Y,м;
0.0179								T, рад

8) Побудова епюр Q і M
а) Визначення опорних реакцій
∑M(B) = 0 ; V( A) × 6 + M - F ×8 - q1 ×3 × 4.5 + q2 ×1.5 × 0.75 = 0
V( A) =	-M + F ×8 + q1	× 3 × 4.5 - q2	×1.5 × 0.75		=	-40 + 60 ×8 + 20 × 3 × 4.5 -10 ×1.5 × 0.75		=
		6				6
= 116.46 кН
∑M( A) = 0 ; V(B) × 6 - M + F × 2 - q2 ×1.5 × 6.75 - q1 ×3 ×1.5 = 0
V(B) =	M - F × 2 + q2	×1.5 ×6.75 + q1 ×3 ×1.5			=	40 - 60 × 2 +10 ×1.5 ×6.75 + 20 ×3 ×1.5		=
		6				6
= 18.54 кН

b)Перевірка

∑M(E ) = 0 ;VА × 7.5 + M - F ×9.5 - q1 ×3 × 6 - q2 ×1.5 × 0.75 + VB ×1.5 = 0 116.46 × 7.5 + 40 - 60 ×9.5 - 20 ×3 × 6 -10 ×1.5 × 0.75 +18.54 ×1.5 = 0

с) Визначення Q і M по ділянкам

I діл. (0 £ x £ 2м)

Q( x) = -F = -60 кН

M( x) = -F × xx=0 = 0 x=2.5 м = -60 × 2 = -120 кНм II діл. (0 £ x £ 3м)

Q( x) = -F + VA - q1 × xx=0 = -60 +116.46 = 56.46 кН

x=3	м = -60 +116.46 - 20 ×3 = -3.54 кН
			q × x2
M	(x) = -F × (x + 2) +VA × x -		1		= -60 × 2 = -120 кНм
				2 x=0
x=3	м -60 ×5 +116.46 ×3 -	20 ×32		= -40.62 кНм

2

III діл. (0 £ x £ 3м)

Q( x) = -VB + q2 ×1.5 = -18.54 +10 ×1.5 = -3.54 кН

M(x) = VB × x - q2 ×1.5 ×( x + 0.75)x=0 = -10 ×1.5 × 0.75 = -11.25 кНм x=3 м =18.54 ×3 -10 ×1.5 ×3.75 = -0.63 кНм

IV діл. (0 £ x £1.5м)
Q( x) = q2 × xx=0		= 0x=1.5 м =10 ×1.5 =15 кН
	q × x2			10 ×1.52
M(x) = -	2		= 0x=1.5 м = -			= -11.25 кНм
				2
2			x=0

d) Екстремум

dM = 0 ; dM = 0 ; Qxm = 0 dx dQ

-F +V

A

- q × x

м

= 0 ; x

м

= −F + VA = −60 + 116.46 = 2.82м

1

q1

20

M max = -F ×

(xм + 2) + VA × xм -

q × x

м

2

= -60 × 4.82 +116.46 × 2.82 -

20 × 2.822

=

1

2

2

= −40.31 кНм

xм =2.82 м

9) Підбір двотаврового перерізу по нормальним напруженням

σ max

=

M max

£ [σ ] ;[σ ] =160 МПа; M max = −120 кНм

W

W =

M max

=

120 ×103

=

0.75 ×10

−3

3

3

м =

750 см

[σ ]

160 ×106

Обераємо із сортаменту найближчий номер двотавру №36, W * = 743 см3

z

Перевірка по перенапруженням

σ

=

M max

=

120 ×103

=161.51 МПа> 160 Мпа

max

W

0.743

×10−3

δ% =

σ max - [σ ]

×100% =

161.51 -160

×100 = 0.94% < 5%

[σ ]

160

По перенапруженням двотавр №36 проходить.

h= 0.36м; b = 0.145м; d = 0.0075м; t = 0.0123м; J z =13380см4 ; Sz = 423см3

10)Перевірка по максимальним дотичним напруженням

	τ	=			Qmax		× Sz	£ [τ ]; [τ ] =100 МПа; Q = −60 кН
	max				d × I				max
	τ max	=	60 ×103 × 4.23 ×10−4						= 25.29 МПа< 100 МПа
			0.0075 ×13.380 ×10−5

По максимальним дотичним напруженням двотавр №36 проходить

11)Перевірка по головним напруженням по IV теорії міцності

σэквIV = σ оп2 + 3 ×τ оп2 £ [σ ]

а) визначаємо небезпечний переріз

M оп = −120 кНм; Qоп = −60 кН

б) обчислюємо нормальні σ і дотичні τ напруження в характерних точках перерізу

σ ( y) =

M оп

× y ; τ ( y ) =

Qоп × S( y )

b( y ) × Iz

Iz

σ (1) =

M

оп

×

h

= -

120 ×103 × 0.36

= -161.4 МПа

2

13.380 ×10

−5

× 2

I z

σ (оп) = σ (

2) = σ

M

h

120 ×103

0.36

(2')

=

оп

×

- t

= -

−5

×

2

-

0.0123

= -150.4 МПа

σ (3) = 0

I z

2

13.380 ×10

τ (1)

= 0

τ (2)

=

Q

×b ×t ×(h - t )

= -

60 ×103 × 0.145 × 0.0123 ×(0.36 - 0.0123)

= -0.958 МПа

оп

b × I z

× 2

0.145 ×13.380 ×10−5 × 2

τ (оп) =τ (2') = Qоп ×b ×t ×(h - t ) =τ (2)

× b = -0.958 × 0.145 = -18.54 МПа

b × I z

× 2

d

0.0075

τ (3)

=

Q

× S

z

= -

60 ×103 × 4.23 ×10−4

= -25.29 МПа

оп

0.0075

×13.380 ×10−5

d × I z

в) визначаємо σ эквIV

σ эквIV

=

σ оп2

+ 3 ×τ оп2

=

150.42 + 3 ×18.542

=153.79 ;

σ эквIV £ [σ ]

Отже, двотавр №36 проходить по допустимим напруженням

г) будуємо епюри σ і τ

1

161.4

0

18.54

2=(2')

-

150.4

0.958

м

-

0.36

3

0

25.29

0.0075м

150.4

+

м

161.4

0.958

18.54

0.145

м

0.0123

0

τ , МПа

σ ,

МПа

12) Визначення прогину і кутів повороту методом початкових параметрів

а) універсальне рівняння пружної лінії балки

F ×( x - b )3

( x - c )4

EIy

= EIy

+ EIθ

× x + ∑

M

×( x - a )2

q ×

0

i

i

+ ∑ i

i

+ ∑ i

i

( x)

0

2

3!

4!

EIθ( x) = EIy'( x)

б) записуємо вирази EIy(x) і EIθ(x)

по ділянкам

F ×

(x - 0)3

q ×(x - 2)4

V

A

×(x - 2)3

EIy

= EIy

+ EIθ

× x -

-

1

+

+

0

0

(x)

6

24

6

I

II

0≤x≤2 м

2≤x≤5 м

+

q ×

(x - 5)4

+

M ×(x - 5)2

-

q ×(x - 8)4

+

V ×(x - 8)3

1

2

B

24

2

III

24

6

IV

5≤x≤8 м

8≤x≤9.5 м

EIθ(x) = EIθ0

-

F ×(x - 0)2

-

q ×(x - 2)3

+

V

A

×(x - 2)2

+

1

2

6

2

I

II

0≤x≤2 м

2≤x≤5 м

+

q ×

(x - 5)3

+ M ×(x - 5)

-

q ×(x - 8)3

+

V ×(x - 8)2

1

2

B

6

6

2

III

IV

5≤x≤8 м

8≤x≤9.5 м

в) Визначення початкових параметрів

Точка А.

yA = 0; xA = 2м

EIy = EIy0 + EIθ0

× 2 -

60 × 23

= 0

6

Точка B; yB = 0; xB = 8м

EIy

= EIy

+ EIθ

×8 -

60 ×83

-

20 × 64

+

116.46 × 63

+

20 ×34

+

40 ×32

= 0

B

0

0

6

24

6

24

2

EIy

0

+ EIθ

0

× 2 = 80

EIy0 + EIθ0 ×8 =1759.94

EIθ0 × 6 =1679.94

EIθ0 = 280 кНм2;

EIy = -EIθ

0

×8 +1759.94 = -280 ×8 +1759.94 = -480 кНм3

0

г) визначення прогину і кута повороту протилежного від початку координат кінця консолі

Точка E; xE = 9.5м

EIyE = -480 + 280 ×9.5 -

60 ×9.53

-

20 × 7.54

+

116.46

× 7.53

+

20 × 4.54

+

40 × 4.52

-

6

24

6

24

2

-

10 ×1.54

+

18.54 ×1.53

= -85.63кНм3;

24

6

yE =

EIyE

= -

85.63 ×103

= -0.0032м

EI

2 ×1011 ×13.380 ×10−5

EIθE = 280 -

60 ×9.52

-

20 × 7.53

+

116.46 × 7.52

+

20 × 4.53

+ 40 × 4.5 -

10 ×1.53

+

2

6

2

6

6