Дифференциальные уравнения 1

Поэтому

1

x = Cy2ey + y2.

Объединяя оба случая, получаем все решения исходного дифференциального уравнения:

1

x = Cy2ey + y2, y = 0.

Замечание 8.1. Отметим, что для решения линейного дифференциального уравнения (8.1) можно также использовать метод Бернулли, состоящий в замене y(x) = u(x)v(x).

31

§ 9. Уравнение Бернулли.
Дифференциальное уравнение вида
y′ + p(x)y = q(x)ym,	(9.1)

где p(x) и q(x) есть заданные непрерывные функции на (a, b), m есть некоторое вещественное число, отличное от нуля и единицы, будем называть уравнением Бернулли.

Нетрудно видеть, что при m > 0 имеет частное решение y = 0.

Если y ≠ 0, то, разделив дифференциальное уравнение (9.1) на ym и введя новую неизвестную функцию z = y1−m, получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции z (У–9):

z′ + (1 − m)p(x)z = (1 − m)q(x).

Пример 9.1. Решите дифференциальное уравнение

(x6 − y4)dy = 3x5ydx

и найдите интегральную кривую данного уравнения, проходящего через точку (1, 1).

Решение. Непосредственным образом проверяем, что y = 0 является решением исходного дифференциального уравнения, а x = 0 решением не является. При y ≠ 0 рассматриваемое дифференциальное уравнение заменяем эквивалентным

dx	−	x	= −	y3
					,
dy		3y		3x5

которое является уравнением Бернулли относительно x. Выполнив в данном дифференциальном уравнении замену z = x6, получаем линейное дифференциальное уравнение

z′ − 2yz = −2y3.

32

Линейное однородное дифференциальное уравнение

z′ − 2yz = 0

имеет общее решение z = Cy2. Далее в исходном линейном неоднородном дифференциальном уравнении выполняем замену z = C(y)y2. После данной замены получаем, что C′(y) = −2y, откуда C(y) = −y2 + C1. Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

имеет вид

z = Cy2 − y4.

Поэтому формулы

x6 = Cy2 − y4, y = 0

задают все решения исходного дифференциального уравнения.

Подставляя во вторую формулу x = y = 1, получаем C = 2. Поэтому интегральная кривая, проходящая через точку (1, 1),

задается формулой

x6 = 2y2 − y4.

Замечание 9.1. Отметим, что для решения дифференциального уравнения (9.1) можно также использовать метод Бернулли, состоящий в замене y(x) = u(x)v(x).

33

§ 10. Уравнение Риккати.

Дифференциальное уравнение вида

y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x),

(10.1)

где p(x), q(x) и r(x) есть функции, непрерывные на (a, b), будем называть уравнением Риккати.

В отличие от ранее рассмотренных дифференциальных уравнений, уравнение Риккати разрешимо в квадратурах лишь в исключительных случаях. Данный факт,установленный впервые Ж. Лиувиллем в 1841 г., показывает, что уже сравнительно простые по форме нелинейные дифференциальные уравнения могут задавать сложные функции с разнообразной аналитической структурой.

Теорема 10.1. Если известно одно решение уравнения Риккати (10.1), то данное дифференциальное уравнение разрешимо в квадратурах.

Доказательство. пусть y = φ(x) есть решение уравнения Риккати (10.1). С помощью замены y = z + φ от уравнения Риккати (10.1) переходим к уравнению Бернулли

z′ = {2p(x)φ(x) + q(x)}z + p(x)z2,

которое разрешимо в квадратурах. Поэтому исходное уравнение Риккати также разрешимо в квадратурах.

Пример 10.1. Решите дифференциальное уравнение

y′ = y2 − 2exy + e2x + ex.

Решение. Непосредственными вычислениями убеждаемся, что y = z + ex есть решение исходного дифференциального уравнения. С помощью замены y = z + ex от рассматриваемого дифференциального уравнения переходим к дифференциальному уравнению z′ = z2. Оно имеет общее решение

34

z = −x +1 C , z = 0. Поэтому все решения исходного дифференциального уравнения имеют вид:

y = −x +1 C + ex, y = ex.

35

§ 11. Уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме

	P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,				(11.1)
	где функции P (x, y), Q(x, y),	∂P (x, y)	и	∂Q(x, y)	непрерыв-
		∂y		∂x

ны на некоторой области G плоскости R2 и область G не содержит особых точек дифференциального уравнения (11.1).

Определение 11.1. Дифференциальное уравнение (11.1)

будем называть уравнением в полных дифференциалах, если существует такая однозначная непрерывно дифференцируемая на области G функция u(x, y), что на этой области

du = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y) G.

Пусть дифференциальное уравнение (11.1) является уравнением в полных дифференциалах. Если x = φ(t), y = ψ(t), t I, есть некоторое параметрическое решение этого дифференциального уравнения, то

du[φ(t), ψ(t)] = P [φ(t), ψ(t)]dφ(t)+

+Q[φ(t), ψ(t)]dψ(t) = 0, t I.

Поэтому u[φ(t), ψ(t)] = C, t I. Очевидно и обратное: если u[φ(t), ψ(t)] = C, t I, то соотношение x = φ(t), y = ψ(t), t I, задает параметрическое решение дифференциального уравнения (11.1).

Итак, мы получили, что соотношение

u(x, y) = C,

36

где C есть произвольная постоянная, содержит все решения уравнения в полных дифференциалах. При этом интегральная кривая уравнения в полных дифференциалах, проходящая через точку (x0, y0), единственным образом определяется формулой

u(x, y) = u(x0, y0).

Поставим теперь задачу: как по коэффициентам P (x, y) и Q(x, y) установить, является ли дифференциальное уравнение (11.1) уравнением в полных дифференциалах. Пусть u(x, y) есть дважды непрерывно дифференцируемая на области G функция. Тогда если дифференциальное уравнение (11.1) есть уравнение в полных дифференциалах, то на этой

области

∂u(x, y)

∂u(x, y)

P (x, y) =

, Q(x, y) =

, (x, y) G. (11.2)

∂x

∂y

Поэтому имеют место тождества

∂P (x, y)

∂2u(x, y) ∂Q(x, y)

∂2u(x, y)

, (x, y) G.

=

,

=

∂y

∂y∂x

∂x

∂x∂y

Далее в силу равенства смешанных частных производных дважды непрерывно дифференцируемых функций получаем необходимое условие того, что дифференциальное уравнение (11.1) является уравнением в полных дифференциалах:

∂P (x, y)	=	∂Q(x, y)	, (x, y) G.	(11.3)
∂y		∂x

Если область G является односвязной, то в курсе математического анализа доказывается, что условие (11.3) является и достаточным. При этом функция u(x, y) находится из системы уравнений (11.2) или с помощью криволинейных интегралов второго рода.

37

Замечание 11.1. Тот факт, что дифференциальное уравнение (11.1) является уравнением в полных дифференциалах, означает, что векторное поле (P (x, y), Q(x, y)) является потенциальным на области G, а функция u(x, y) является потенциалом этого векторного поля. Поэтому функцию u(x, y) называют потенциалом дифференциального уравнения (11.1).

Пример 11.1. Решите дифференциальное уравнение

2xy3dx + 3(x2y2 + y2 − 1)dy = 0.

Решение. В данном случае P (x, y) = 2xy3, Q(x, y) = 3(x2y2 +y2 −1) есть непрерывно дифференцируемые функции на всей плоскости R2, являющейся односвязной областью. Поэтому можно использовать достаточное условие (11.3). Вычисляя соответствующие частные производные, получаем, что

∂P (x, y)	= 6xy2 =	∂Q(x, y)	, (x, y) G.
∂y		∂x

Значит, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его потенциал u(x, y) находим из системы дифференциальных уравнений

∂u∂x = 2xy3, ∂u∂y = 3(x2y2 + y2 − 1).

Из первого дифференциального уравнения получаем, что

u(x, y) = x2y3 + φ(y),

где φ(y) есть произвольная непрерывно дифференцируемая функция на оси y. Ее находим подстановкой найденного выражения для u(x, y) во второе дифференциальное уравнение:

3x2y2 + φ′(y) = 3(x2y2 + y2 − 1).

38

Отсюда

φ′(y) = 3(y2 − 1),

и поэтому

φ(y) = y3 − 3y + C.

В итоге получаем, что все решения исходного дифференциального уравнения определяются формулой

x2y3 + y3 − 3y = C,

где C есть произвольная постоянная.

39

§12. Интегрирующий множитель.

Впрошлом параграфе установлено, что всякое уравнение в полных дифференциалах интегрируемо в квадратурах. Рассмотрим вопрос: можно ли произвольное дифференциальное уравнение в симметрической форме (11.1) свести к уравнению

вполных дифференциалах путем домножения его на некоторую функцию µ(x, y)?

Рассмотрим дифференциальное уравнение (11.1), для кото-

рого на области G R2 выполняется неравенство: ∂P∂y ≠ ∂Q∂x .

Определение 12.1. Непрерывно дифференцируемую и не обращающуюся в нуль на области G функцию µ(x, y) будем называть интегрирующим множителем дифференциального уравнения (11.1), если дифференциальное уравнение

µ(x, y)(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = 0

является уравнением в полных дифференциалах на этой области.

Если для дифференциального уравнения (11.1) существует интегрирующий множитель µ(x, y), то в силу (11.3) он дол-

жен удовлетворять соотношению
∂(µP ) ∂(µQ)
∂y	≡	∂x .	(12.1)

Оно дает для функции µ дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

Q(x, y)	∂µ	− P (x, y)	∂µ	= (	∂P (x, y)	−	∂Q(x, y)	)µ. (12.2)
	∂x		∂y		∂y		∂x

Интегрирование данного уравнения не проще, чем интегрирование исходного дифференциального уравнения (11.1). Однако нас будет интересовать лишь какое-либо одно решение

40