Лекция 6

11

из теоремы 1 и критерия Коши для числовых последовательностей заключаем, что для

существования предела последовательности n o

x(k) необходимо и достаточно, чтобы эта

последовательность была фундаментальной.

Таким образом критерий Коши справедлив и в Rn; n > 1.

Определение 5. Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке, которая принадлежит этому пространству.

Таким образом, согласно определению 5 и критерию Коши существования предела последовательности точек пространства Rn, следует, что Rn полное.

Пример	1. Множество X =	Rnf0g не
является	полным пространством,	поскольку

фундаментальная последовательность xn = n1 , n = 1; 2; : : : его точек сходится к 0 не содержащемся в X.

12

§4. Предел и непрерывность отображения

Rn в Rm

1. Предел отображения.

Определение 1. Отображением из Rn в Rm будем называть отображение вида f : X ! Rm, X ½ Rn. При этом каждой точке x =

(x1; x2; : : : ; xn) 2 X ставится в соответствие единственная точка y = (y1; y2; : : : ; ym) 2 Rm.

Возможны случаи:

²Если m = n = 1, то f функция одной переменной;

²Если m = 1; n > 1, то f функция многих переменных;

²Если m > 1; n = 1, то f вектор функция;

²Если m > 1; n > 1, то f отображение.

Задание отображения f : X ! Rm равносиль-

но	заданию			m функций	fi(x) : X	! R,
	=		.	Функции yi	= fi(x), i
i		1; m				= 1; m

от n переменных называют координатными

функциями отображения f = (f1; f2; : : : ; fm). Расстояния в метрических пространствах

13

Rn и Rm,

будем

обозначать

соответственно:

a) =

n (x

a )2; ½

(y; b) =

½n

(x;

q

k=1

k ¡

kn

m

m

m

P

¡ bk)P2; где x; a

!

½

k=1(yk

2

R , y; b 2 R .

Rn

qОтображение f

: X

Rm, X

называется ограниченным на множестве X, если множество f(X) ½ Rm ограниченно в Rm.

Пусть f : X ! Rm, X ½ Rn, a предельная точка множества X.

Определение 2. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f при x ! a( в точке a), если для любого " > 0 существует ± > 0 такое, что для любого x 2 X удовлетворяющего неравенству 0 ³< ½n(x;´ a) < ± выполняется

неравенство ½m f(x); b < ". При этом пишут

lim f(x) = b.

x!a

Обозначим через VX(a) = V (a)\X окрестность

точки a в множестве X, V_X(a) = V_ (a) \ X– проколотая окрестность точки a в множестве X.

Определение 3. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой окрестности U(b)точки b существует

14

проколотая окрестность V_ (a) точки a такая, что для любого x 2 V_X(a) имеет место включение f(x) 2 U(b).

Если a = 1, то lim f(x) = b ,

³ x!1

8" > 0 9B(O; r) : 8x 2 RnnB(O; r) )

³ ´ ´

½m f(x); b < " .

Приведенные определения являются определениями предела отображения по Коши. Сформулируем определение предела по Гейне.

Определение	4. Точка		b	2 Rm называется
пределом отображения			f	в точке a, если
для любой	последовательности				x(k)	2
Xnfag, k =	1; 2; : : : сходящейся				к точке	a,
последовательность		f	x(k)	сходится к точке
b.	n	³		´o

Эквивалентность определений 1 и 2 доказывается аналогично случаю функции одной переменной.

Теорема 1. Точка b = (b1; : : : ; bm) является пределом отображения f = (f1; f2; : : : ; fm) ½

15

Rm, X ½ Rn тогда и только тогда, когда

		lim f (x) = b					;
								i = 1; m:
	x!a			i		i
Доказательство. Справедливость
следует	из		неравенств					jfi(x) ¡
f(x); b		6	p			max
				m
½m³	´					16j6m jfj(x) ¡bjj;

и определения предела отображения.

(1)

теоремы bij 6 i = 1; m

Теорема 2. (критерий Коши) Отображение f : X ! Rm, X ½ Rn имеет предел в точке a

тогда и только тогда, когда 8" > 0	_
	9V (a) :
8x0; x00 2 V_X(a) ) ½m³f(x0); f(x00)´ < ":
Доказательство теоремы дословно	повторяет

доказательство критерия Коши для функции

одной переменной, если вместо jf(x0) ¡ f(x00)j

³ ´

писать ½m f(x0); f(x00) .

Теорема 3. Если отображение f : X ! Rm, где X ½ Rn имеет предел в точке a, то:

1)этот предел единственный;

2)отображение f ограниченно в некоторой проколотой окрестности V_X(a) точки a в множестве X.

16

Доказательство проводится аналогично случаю функции одной переменной.

Теорема 4. Пусть f :				X ! R, g : X ! R,
X ½ Rn, и существуют пределы xlima f(x)								=
A, lim g(x)							!
	=	B. Тогда существуют пределы
x!a
суммы f + g, произведения f ¢ g, а если B 6= 0,
то и частного		f	, причем
		g
lim f(x)	§	g(x) = A			§	B	,
1) x!a³			´
2) xlima f(x)g(x) = A ¢ B,
!
3) lim f(x) = A.
x!a g(x)	B
Доказательство. Докажем						для примера		3),

доказательство же 1), 2) проводится аналогично. Пусть x(k) 2 Xnfag, k = 1; 2; : : : – произвольная последовательность, сходящаяся к точке a. Тогда согласно определению 4 получим, что

lim	f(x(k)) = A,	lim g(x(k)) = B. Используя
k!1	k!1		числовых
свойства предела		произведения
последовательностей, имеем:
lim	f(x(k))g(x(k)) = lim f(x(k)) lim		g(x(k)) =

k!1

k!1

k!1

17

lim f(x) ¢ lim g(x) = A ¢ B. Таким образом,

x!a x!a

lim f(x(k))g(x(k)) существует и равен A ¢ B,

k!1

следовательно, он равен пределу функции f ¢ g в точке a.

Если рассматривать f + g, как сумму, а f ¢ g, как скалярное произведение векторов евклидова пространства Rm, то свойства 1), 2) имеют место и при m > 1.

Теорема 5. Пусть f	: X ! Y , X ½
Rn, Y ½ Rm , g :	Y ! Rs,a и b–

предельные точки соответственно множеств

X, f(X). Если существуют пределы lim f(x) =
b, lim g(y)	_	x!a
	и существует V (a)	такая, что
y!b	_
f(x) 6= b,8x 2 VX(a), то композиция g±f : X !
Rs отображений f и g имеет предел в точке a,
причем lim g(f(x)) = lim g(y).
x!a	y!b

Доказательство проводится аналогично случаю функции одной переменной.

Теорема 6. Пусть функции f, g, h,определены в некоторой окрестности V (a) ½ Rn точки a

18

за исключением, быть может, самой точки a и для любого x 2 V_ (a) выполняется неравенство

		f(x) 6 g(x) 6 h(x):				(2)
Тогда	если	lim f(x)	=	lim h(x) =	b,	то
		x!a		x!a
lim g(x) = b:
x!a			x(k) 2 Xnfag,
Доказательство. Пусть					k	=
1; 2; : : :	–	произвольная		последовательность,

сходящаяся к точке a. Тогда согласно

определению 4 получим, что lim f(x(k)) =

k!1

lim h(x(k)) = b. В силу (2) имеем:

k!1

f(x(k)) 6 g(x(k)) 6 h(x(k)); k = 1; 2; : : : :

По свойству предельного перехода в неравенстве,

содержащем	числовые	последовательности,
получим, что	lim g(x(k))	= b, а значит,
lim g(x) = b:	k!1
x!a

Замечание 1. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной

19

переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.