ЛЕКЦ_Я 13. Власн_ незгасаюч_ коливання_

3

ЛЕКЦІЯ 13

Власні незгасаючі коливання

1. Коливання та їх типи

Коливання – це рух, або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі.

Вільні коливання (власне коливання) – це коливання, що здійснюються за рахунок власної енергії при наступній відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. тобто систему. яка здійснює коливання.

За характером фізичних процесів розрізняють механічні, електромагнітні та інші типи коливань.

Гармонічні коливання. Гармонічні коливання величини описуються рівнянням такого типу

,або ,

де – амплітуда коливань; – початкова фаза в момент ; – фаза коливань в момент часу .

Фаза коливань визначає значення величини, що коливається, в даний момент часу.

Визначимо поняття періоду і частоти коливань.

Період гармонічного коливання – це проміжок часу Т, протягом якого фаза коливань отримує приріст , тобто

.

Звідси

.

Частота коливань – це число повних коливань, які здійснюються за одиницю часу

.

Одиниця частоти – 1Гц. 1Гц (герц) – це частота періодичного процесу, за якого за 1 с здійснюється один цикл процесу.

2. Механічні вільні гармонічні коливання, їх диференціальне рівняння

та розв'язок

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги, яке приймемо за початок координат. Тоді залежність координати х від часу визначається рівнянням:

.

Визначимо швидкість та прискорення точки, що коливається.

;

.

З наведених формул видно, що амплітуда швидкості та прискорення дорівнють і . При цьому фаза швидкості відрізняється від фази на , а фаза прискорення – на . В моменти часу, коли х = 0, приймає своє найбільше значення; якщо х досягає свого найбільшого від'ємного значення, то досягає найбільшого додатного значення (див. рис. 13.1).

З виразу для випливає таке диференціальне рівняння гармонічних коливань:

Розв'язок цього рівняння .

Рис. 13.1

Сила, що діє на матеріальну точку, що коливається,

пропорційна зміщенню матеріальної точки і направлена в протилежну сторону (до положення рівноваги).

3. Енергія гармонічних коливань

Розглянемо енергію гармонічних коливань.

Кінетична енергія

.

Потенціальна енергія

.

Повна енергія

.

4. Електричний коливальний контур. Диференціальне рівняння власних електричних коливань та його розв'язок

Вільні коливання в коливальному контурі, що ідеалізується

Коливальний контур – це коло, що складається з ввімкнених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором . Такий контур застосовується для збудження і підтримки електромагнітних коливань (періодичних процесів перетворення енергії електричного поля в енергію магнітного поля і навпаки). В ідеалізованому контурі опор = 0.

Послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі і аналогія між електромагнітними і механічними коливаннями наведені на рис. 13.2.

Рис. 13.2

Оскільки R 0, то згідно з законом збереження, повна енергія

.

За відсутності втрат енергії в контурі здійснювались би періодичні незгасаючі коливання, тобто періодично змінювались (коливались) заряд на обкладаннях конденсатора, напруга на конденсаторі і сила струму , що протікає через котушку індуктивності. Отже, в контурі виникають електричні коливання, причому коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричного і магнітного полів.

Диференціальне рівнянні електромагнітних коливань для ідеалізованого контура.

Для ідеалізованого контура (R 0) згідно з другим правилом Кірхгофа

U_С =

де U_С = – напруга на конденсаторі; – е.р.с. самоіндукції, яка виникає в котушці у разі протікання в ній змінного струму. Підставивши ці вирази в U_С =і врахувавши, що і , отримаємо диференціальне рівняння коливань заряду в контурі:

коливання вільні (в контурі відсутні зовнішні е. р. с. ) гармонічні (R 0)). Заряд на обкладаннях конденсатора змінюється по гармонічному закону

,

де – амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою , яка називається власною частотою контура

і періодом

– формула Томсона.

Сила струму в коливальному контурі

.

Напруга на конденсаторі

.

З двох останніх виразів випливає, що коливання струму І випереджають по фазі коливання заряду на /2, тобто якщо струм досягає максимального значення, то заряд (і напруга) перетворюються в нуль, і навпаки.

Згідно з законом збереження енергії

.