16

Пам’ятка з елементарної математики

Розв’язки задач та завдання для самостійної роботи. Методична розробка / Укладачі: Онищенко В.В., Омецінська О.Б., Сергієнко І.-В. О, 2014.

1. Класифікація дійсних чисел Дійсні числа, r

Раціональні числа, Q	Ірраціональні числа, R \ Q
Число, що є відношенням pq двох цілих чисел. Можна подати у вигляді скінченного або періодичного десяткового дробу, наприклад –35 = – 0,6; 83 = 2,333…= 2,(3) Множина раціональних чисел містить в собі підмножину Z цілих чисел …-3, -2, -1, 0, 1, 2 … , тобто ZQ. Множина Z цілих чисел містить в собі підмножину N натуральних чисел 1, 2 … ,тобто NZ.	Всі дійсні числа R за винятком раціональних чисел Q. Можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. Поділяються на алгебраїчні числа, наприклад, =1,4142…, татрансценден- тні, наприклад, =3,14159…, ^3, , е=2,7182818…, е^2. Алгебраїчні ірраціональні числа є нераціональними коренямими алгебраїчних рівнянь з цілочисленними коефіцієнтами, наприклад,

2. Протилежні та обернені числа

Два числа протилежні, якщо їх сума дорівнює нулеві. Тобто, числа а, -а є протилежними, оскільки а+ (-а) = 0 .

Операцію віднімання можна звести до операції додавання за допомогою протилежного числа

,

тому вираз a ± b називається алгебраїчною сумою.

При множенні числа на -1 його знак змінюється на протилежний, тобто отримується протилежне число. Тому має місце формула

Два числа обернені, якщо їх добуток дорівнює одиниці. Тобто, числа а, 1/а є обернені.

Наприклад, числа 4 та 1/4 = 0,25 є оберненими.

Операцію ділення можна звести до операції множення за допомогою оберненого числа

3. Властивості операцій додавання та множення

3.1 Переставний (комутативний) закон: а + в = в + а; а  в = в  а

2. Сполучний (асоціативний) закон: а+ (в+с) = ( а+в)+ с = а + в + с; а  (в с) = ( а в)  с = а в  с

3.3 Розподільний (дистрибутивний) закон а  (в+с) = а  в + а  с

3.4 При множенні (діленні) добутку із кількох співмножників на число достатньо лише один із співмножників помножити (розділити) на це число

Правило внесення множника в дужки (розкриття дужок) та винесення множника за дужки

Тобто, при внесенні множника в дужки кожний доданок в дужках домножується на цей множник. При винесенні множника за дужки кожний доданок в дужках ділиться на цей множник.

Формули скороченого множення:

4. Дії над звичайними дробами

4.1 Основна властивість дробу: величина дробу не зміниться, якщо його чисельник та знаменник помножити (або розділити) на одне і те саме число

Звідси випливає правило скорочення дробу на спільний множник с чисельника та знаменника.

4.2 При множенні дробів множаться окремо їхні чисельники та знаменники

4.3 При діленні дробу на дріб перший дріб множиться на обернений до другого

Перший окремий випадок

,

тобто при діленні дробу на число його знаменник множиться на це число.

Другий окремий випадок

,

тобто при діленні числа на дріб це число множиться на обернений дріб.

4.4 При додаванні (відніманні) дробів з однаковими знаменниками додаються (віднімаються) лише їхні чисельники, а знаменник залишається незмінним

Звідси, з урахуванням основної властивості дробу (п.4.1), випливає правило додавання (віднімання) дробів на основі зведення їх до спільного знаменника

Приклади до розділу 4. Записати відповідь у вигляді простого дробу:

Розв’язання