архив прош.сесий / L_6_2014_MMS_Bazova

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу “Математичні методи в соціології ”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні

Лекція 6. Функція сумісного розподілу та густина розподілу двовимірної неперервної ви-

падкової величини, умовні розподіли компонент

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1.Ознайомлення із законами розподілу двовимірної випадкової величини, заданої функцією розподілу чи густиною розподілу.

2.Засвоєння основних теорем, правил та формул шляхом розв’язання прикладів

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри

“___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1. Функція розподілу системи двох випадкових величин, дискретних та неперервних, її

властивості.

2.Густина розподілу системи двох неперервних випадкових величин та її властивості.

3.Густина умовного розподілу компоненти двовимірної випадкової величини.

4.Необхідна і достатня умова незалежності компонент двовимірної випадкової величини,

заданої функцією розподілу чи густиною розподілу.

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 123-126) та наступним текстом лек-

ції.

Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії ” із теорії ймовірностей: Функція сумісного розподілу та густина розподілу двовимірної непе-

рервної випадкової величини, густина умовного розподілу компоненти; необхідна і достатня умо-

ва незалежності компонент двовимірної випадкової величини, заданої функцією розподілу чи гус-

тиною розподілу.

1. Функція розподілу системи двох випадкових величин, дискретних та неперервних, її вла-

стивості

Розглянемо двовимірну випадкову величину (Х;Y) (дискретну чи неперервну). Нехай х, y –

пара дійсних чисел. Ймовірність події, яка полягає у тому, що компонента Х набуває значення ме-

ншого від х, і при цьому компонента Y набуде значення, меншого від y, позначимо F(x;y). Якщо х та y будуть змінюватись, то, взагалі кажучи, буде змінюватись також і величина F(x;y), тобто

F(x;y) є функцією від х та y.

3

Означення 1. Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) називають функ-

цію F(x;y), яка виражає для кожної пари чисел х і y ймовірність сумісного виконання нерівностей:

F(x; y) P ( X x;Y y) .

(1)

y

Геометрично цю формулу можна тлу- (x;y) мачити так: F(x;y) є ймовірність того, що ви-

падкова точка (Х;Y) попаде в нескінченний квадрант з вершиною (х;y), розміщений ліві-

ше і нижче цієї вершини, див заштрихований

х

квадрант на Рис.1.

Рисунок 1

Властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини (інтегральної функції)

випливають із її визначення посередньо формули (1) і їх неважко тлумачити, з огляду на Рис.1,

вони аналогічні властивостям функції розподілу одновимірної випадкової величини:

1.0 F(x;y) 1.

2.Функція розподілу F(x;y) неспадна по кожному з аргументів – якщо x2 x1 , то F(x2 ; y) F(x1; y) ;

якщо y2 y1 , то F(x; y2 ) F(x; y1) .

3.Якщо принаймні один із аргументів перетворюється в ” ”, функція розподілу F(x;y) рівна 0, тобто

F(x; ) F( ; y) F( ; ) 0 .

4. Якщо один із аргументів перетворюється в ” ”, функція розподілу F(x;y) стає рівною функції розподілу для відповідної компоненти – одновимірної випадкової величини (Х чи Y),

F(x; ) F1(x) ,

F( ; y) F ( y) ,	де F (x) P(X x),	F ( y) P(Y y) .
2	1	2

5. Якщо обидва аргументи перетворюються в ” ”, то функція розподілу рівна 1,

F( ; ) 1 .

4

Ймовірність попадання випадкової точки (Х;Y) в прямокутну область, зображену на

Рис.2:

P(α X β;δ Y γ) F(β, γ) F(β,δ) F(α, γ) F(α,δ) ,

(2)

y

γ

δ

		α		β		х
0

Рисунок 2

Формулу (2) можна отримати, якщо подати прямокутну область у вигляді різниці 2-х верти-

кальних нескінченних напівсмуг на проміжку α x β ,

(α X β; δ Y γ) ( X β; Y γ) ( X α; Y γ) ( X β; Y δ) ( X α; Y δ) ,

і застосувати формулу для ймовірності суми несумісних подій.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування компонента Х двовимір-

ної випадкової величини (Х;Y) набуде значення Х<2 і при цьому складова Y набуде значення Y<3,

якщо

відома

функція

розподілу

випадкової

величини

(Х;Y):

1

x

1

1

y

1

F(x; y)

arctg

arctg

.

π

2

2

π

3

2

Розв’язання:

▼ За визначенням функції розподілу двовимірної випадкової величини,

F(x; y) P ( X x;Y y) . Покладемо х=2, y=3. Отримаємо шукану ймовірність

P( X 2;Y 3) F(2;3) ( 1π arctg 22 12) ( 1π arctg 33 12) ( 1π 4π 21) ( π1 4π 21) 43 43 169 . ▲

5

2. Густина розподілу системи двох неперервних випадкових величин та її властивості.

Означення 2. Двовимірна випадкова величина (Х;Y) називається неперервною, якщо її фун-

кція розподілу F(x;y) – неперервна функція, диференційовна по кожному зі своїх аргументів, і іс-

нує друга змішана похідна F (x; y) .

xy

Аналогічно одновимірному випадку ймовірність пари окремо взятих значень (ізольова-

них, тобто дискретних значень) двовимірної неперервної випадкової величини рівна 0, тобто

P(X=xi;Y=yj)=0, а закон її розподілу можна задавати не лише функцією F(x;y) розподілу (як для дискретної двовимірної випадкової величини), але також і двовимірною густиною розподілу (ди-

ференціальною функцією).

Означення 3. Густиною сумісного розподілу неперервної випадкової величини (Х;Y)

вається друга змішана частинна похідна від її функції розподілу, тобто

f (x; y) 2 F(x; y) F (x; y) .

x y xy

нази-

(3)

Ймовірнісний зміст функції f(x,у) як густини розподілу (питомої ймовірності) випли-

ває із визначення (3) і формули (2) для ймовірності попадання випадкової точки (Х;Y) в прямо-

кутну область ( S x у ): β α x ; γ δ y та двократного послідовного застосування

теореми Лагранжа про скінченний приріст функції за умови x 0 при фіксованому у та			умови
y 0 при фіксованому х, а саме,
P{( X ;Y ) S} P{x X x x; y Y y y} F (x; y) x y f (x; y) S ,			(4)
	xy
звідки маємо:
f (x; y) lim	P{( X ;Y ) S}	,	(5)
d 0	S

де d – діаметр області ( S ) (відстань між найбільш віддаленими точками області), яка має своєю мірою величину S площі. Із формули (5) випливає наближена рівність для імовірності події – потрапляння випадкової величини (Х;Y) в елементарну область ( S) ( x y) , виділену в околі точки (x;y)

P{( X ;Y ) ( x y)} f (x; y) ( x y) .

(6)

Подібно до того, як для одномірної величини X з густиною f(x) розподілу вводилось понят-

тя „елемент ймовірності”, рівний f(x) dx, для двовимірної випадкової величини (Х;Y) вводиться

6

також поняття „елемент ймовірності”, рівний f(x;y)dxdy. З ймовірнісного змісту функції f(x,у) як

густини розподілу (5) двовимірної випадкової величини випливає, що імовірність події – потрап-

ляння випадкової величини (Х;Y) в елементарну область є „елемент ймовірності”, рівний

f(x;y)dxdy.

Імовірність потрапляння випадкової точки (Х;Y) в довільну область D дорівнює подвійно-

му інтегралу по цій області від густини розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y):

P x, y D f x, y dxdy ,	(7)
D

це випливає із визначення подвійного інтеграла посередньо інтегральної суми та формули (6) для

ймовірності попадання випадкової точки (Х;Y) в елементарну область dxdy.

Функція розподілу системи двох випадкових величин виражається через густину сумісного розподілу:

x	y
F x, y		f x, y dxdy ,	(8)

це випливає із визначення функції розподілу F(x;y) посередньо формули (1) та знаходження ймо-

вірності попадання випадкової точки (Х;Y) в область D нескінченного квадранта з вершиною (х;y),

із застосуванням формули (7).

Густина f(x;y) розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) являє собою поверхню розподілу в просторі OXYZ. Пояснимо це, вдавшись до аналогії.

Про одновимірну випадкову величину X кажуть, що вона розподілена з густиною f(x) на деякому проміжку осі абсцис. Графік густини розподілу випадкової величини називають кривою розподілу. Якщо маємо криву густини розподілу f(x) одновимірної випадкової величини X, то конкретне значення густини її розподілу в даній точці х визначається геометрично ординатою y відповідної точки кривої y=f(x). Якщо маємо поверхню густини розподілу f(x;y) двовимірної випадкової величини (Х;Y), то конкретне значення густини її розподілу в даній точці (x;y) визначається геометрично аплікатою z відповідної точки на поверхні z=f(x;y). В цьому випадку конкретне значення густини f1(x) одновимірної компоненти X в даній точці x визначається геометрично площею перерізу поверхні z=f(x;y) площиною X=x паралельною координатній площині OYZ, що відтинає на осі OX відрізок х. Аналогічно конкретне значення густини f2(y) одновимірної компоненти Y в даній точці y є величина площі перерізу поверхні z=f(x;y) площиною Y=y, паралельною координатній площині OXZ, що відтинає на осі OY відрізок y.

На основі формул (6) – (8) нескладно дістати властивості функції f(x,у) густини розподілу

та функції F(x;y) розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y), аналогічні їхнім властиво-

стям для одновимірної випадкової величини, а саме:

–f x, y 0;

–подвійний невласний інтеграл з нескінченними межами від функції f(x,у) щільності ймо-

вірностей випадкової величини дорівнює одиниці,

		f x, y dxdy 1
			(9)

7

(отже, повний об’єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу та площиною Оху, дорівнює 1);

– функції розподілу F1(x) і F2(y) кожної з компонент системи (Х;Y) випадкових величин та густúни f1(x) і f2(y) розподілу кожної обчислюється через густину розподілу двовимірної випадко-

вої величини за формулами

x		y
F1(x) F (x; )	f (x; y)dxdy ,	F2 ( y) F( ; y)	f (x; y)dxdy ,	(10)
f1(x) F1 (x) f (x; y)dy,		f2 ( y) F2 ( y)	f (x; y)dx ;	(11)

3. Густина умовного розподілу компоненти двовимірної випадкової величини Означення 4. Умовним законом розподілу випадкової величини Х, яка належить системі

(Х;Y) неперервних випадкових величин, називається закон розподілу величини Х, знайдений за умови, що інша випадкова величина Y набуває значення у (потрапляє в деякий окіл у її певного значення у, при у 0).

Оскільки ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них і умовної ймовірності іншої та на підставі ймовірнісного змісту густини розподілу двовимірної ви-

падкової величини і густин розподілу та умовного розподілу кожної з її компонент, для густини умовного розподілу кожної з компонент двовимірної неперервної випадкової величини неважко отримати формули (аналогічні відповідним формулам у випадку дискретних величин):

f х, y		f x, y		f x, y	;	f х, y	f x, y		f x, y	,	(12)
1 y		f2 y				2 x	f1 x
				f x, y dx					f x, y dy
де f(x,у) – густина сумісного розподілу системи;
f1(x) та f1у(x,y)	– густина розподілу та густина умовного розподілу компоненти X;
f2(y) та f2х(x,y)	– густина розподілу та густина умовного розподілу компоненти Y.

4. Необхідна і достатня умова незалежності компонент двовимірної випадкової величини, зада-

ної функцією розподілу чи густиною розподілу

Означення 5. Випадкові величини, які входять до системи, незалежні, якщо умовні закони розподілу для них збігаються з безумовними, тобто

f1y х, y f1 x ;

f2 x х, y f2 y ,

(13)

З цього визначення та з формул (12) випливає необхідна і достатня умова незалежності

компонент системи випадкових величин:
f x, y f1 x f2 x х, y f2 y f1y x, у f1 x f2 y	,

8

f x, y f1 x f2 y .

(14)

Отже, необхідна і достатня умова незалежності компонент системи випадкових вели-

чин: густина сумісного розподілу системи (Х;Y) дорівнює добутку густин розподілу кожної з її компонент. Ця умова рівносильна твердженню: якщо густина f(x,у) розподілу системи величин

(або функція F(x,у) сумісного розподілу) подається як добуток функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної, то випадкові величини, які входять до системи, незалежні.

Приклад 2. Система випадкових величин X ,Y із невід’ємними складовими має функцію

розподілу	F x, y 1 e x e y e x y 0, 0 .	Знайти	f x, y i
P 1 X 2;	2 Y 3 . Дослідити, чи будуть незалежними величини	X i Y , які входять до систе-
ми.

Розв’язання:

▼ Обчислимо ймовірність за допомогою функції розподілу за формулою (2):

P 1 X 2; 2 Y 3 F 2,3 F 1,3 F 2,2 F 1,2 1 e 2

e 3 e 2 3 1 e e 3 e 3 1 e 2 e 2 e 2 21 e e 2 e 2 e 2 3 e 3 e 2 2 e 2

e 3 e 1 e 2 e 1 1 e 1 e e 2 .

Для дослідження незалежності X i Y знайдемо густину розподілу системи

f x, y 2 F x, y :

x y

F x, y e x e x y ; f x, y e x y e x e y .

x

Густину розподілу системи подано як добуток двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної. Отже, величини, що утворюють систему, незалежні. ▲

Заключна частина

В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ” із теорії ймовірностей: Функція сумісного розподілу та густина розподілу двовимірної неперервної випад-

кової величини, густина умовного розподілу компоненти; необхідна і достатня умова незалежнос-

ті компонент двовимірної випадкової величини, заданої функцією чи густиною розподілу.

Канд. фіз-мат. н., доцент

(О. Б. Омецінська)