Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
6
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
517.37 Кб
Скачать

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 2. Закон великих чисел. Вибірка, способи представлення та числові оцінки параметрів розподілу.

Лекція 9. Закон великих чисел. Вибірка, способи представлення та числові оцінки параме-

трів розподілу

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення: із Законом великих чисел; Центральною граничною теоремою; із поняттями вибірки, способами її представлення та числовими оцінками параметрів розподілу

2. Навчити студентів застосувати подані формули для розв’язання прикладів.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри

“___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1.Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.

2.Вибірка, способи представлення.

Заключна частина.

ДОДАТКИ.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Таблиці значень функцій Лапласа та Гауса

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 127-128) та наступним текстом лек-

ції.

Вступ – в лекції розглядається Закон великих чисел, Центральна гранична теорема; вибір-

ка, способи представлення та числові оцінки параметрів розподілу

1.Закон великих чисел. Центральна гранична теорема

Під законом великих чисел в широкому розумінні слід розуміти загальний принцип, за яким сукупна дія великої кількості випадкових факторів приводить (при деяких загальних умо-

вах) до результату, який майже не залежить від випадку. Іншими словами, при великій кількості випадкових величин їхній середній результат перестає бути випадковим і його можна передбачи-

ти з великим ступенем надійності.

Законом великих чисел у вузькому розумінні називають групу теорем, у кожній з яких для тих чи інших умов встановлюється факт наближення середніх характеристик великої кількості випробувань до деяких сталих. Найбільш загальною із цих теорем є теорема Чебишева, яка так само називається законом великих чисел.

Попередньо сформулюємо нерівність Чебишева, що використовується для доказу одной-

менної теореми, а також і для розв’язання деяких прикладів.

Нерівність Чебишева. Якщо дисперсії незалежних випадкових величин X1, X2 ,..., Xn ,...

обмежені згори числом С (дисперсії рівномірно обмежені), то для будь-якого скільки завгодно ма-

лого 0 справедлива нерівність

3

 

 

 

n

 

 

 

 

Xi

 

 

 

i 1

P

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ( Xi )

i 1n

n

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

ε

1

 

.

(1)

nε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Чебишева. Якщо дисперсії незалежних випадкових величин X1, X2 ,..., Xn ,...

обмежені згори числом С (дисперсії рівномірно обмежені), то для будь-якого скільки завгодно ма-

лого 0 має місце гранична рівність

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

M(Xi

)

 

 

 

 

 

lim P

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

1,

(2)

n

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто при необмеженому збільшенні числа n середнє арифметичне випадкових величин збігається за ймовірністю до середнього арифметичного їхніх математичних очікувань,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

M ( Xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Наслідки з нерівності та теореми Чебишева

 

Нехай X1, X2 ,..., Xn ,... - послідовність незалежних випадкових величин, для кожної з яких

M Xn a ,

D(Хn) С при будь-якому n=1,2,…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді для будь-якого скільки завгодно малого ε 0 справедлива нерівність

 

 

 

 

 

 

X

1

X

2

... X

n

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

ε

1

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

nε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та має місце гранична рівність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 X 2

... X n

a

 

ε} 1

 

 

 

 

lim P{

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

a ,

тобто збігається за ймовірністю.

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Чебишева має важливе практичне значення. Наприклад, страховій компанії необ-

хідно встановити розмір страхового внеску, який повинен сплачувати застрахований; при цьому

страхова компанія зобов’язується виплатити, коли настане страховий випадок, певну страхову суму. Розглядаючи відношення частота/збитки застрахованого, коли має місце страховий ви-

4

падок, як величину випадкову і маючи статистику таких випадків, можна визначити відношення

середнього числа страхових випадків до середніх збитків при настанні страхових випадків,

яке на основі теореми Чебишева з великим ступенем надійності можна вважати величиною майже невипадковою. Тоді на основі цих даних і передбачуваної страхової суми визначається розмір

страхового внеску. Без врахування дії закону великих чисел (теореми Чебишева) можливі суттєві збитки страхової компанії (при заниженні розміру страхового внеску), або втрата привабливості страхових послуг (при завищенні розміру внеску).

Інший приклад – із теорії вимірювань. Якщо потрібно виміряти деяку величину, точне значення якої рівне а, проводять n незалежних вимірювань цієї величини. Нехай результат кожно-

го вимірювання – випадкова величина Xi (i 1, 2,..., n) . За умови відсутності систематичних похи-

бок вимірювань (що спотворюють результат вимірювання в один і той самий бік), природньо при-

пустити, що M (Xi ) a для будь-яких і. Тоді на основі теореми Чебишева середнє арифметичне

 

n

 

 

X i

 

результатів n вимірювань,

i 1

, збігається за ймовірністю до істинного значення а вимірюва-

n

 

 

ної величини.

Зауважимо: якщо всі вимірювання проводяться з однаковою точністю, що характеризується дисперсією D( Xi ) σ2 , то враховуючи властивості дисперсії незалежних випадкових величин,

для їхнього середнього арифметичного значення отримаємо:

 

n

 

 

 

 

Xi

 

1

D

i 1

 

 

 

n2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

1

n

1

 

σ2

D

Xi

 

 

 

D( Xi )

 

 

(nσ2 )

 

,

n

2

n

2

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

n

отже, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного значення всіх вимірювань ста-

новить величину σ . Отримане відношення, відоме під назвою „правило кореня з n, яке ствер-

n

джує, що середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного із n вимірювань в n

разів менше від величини середнього квадратичного відхилення кожного виміру. Таким чином,

збільшуючи кількість вимірювань, можна як завгодно зменшувати вплив випадкових похибок (але не систематичних), тобто збільшувати точність визначення істинного значення а.

Закони великих чисел стверджують, що середнє арифметичне із випадкових величин при збільшенні їхнього числа має властивість статистичної стійкості, тобто збігається за ймовірніс-

тю до невипадкової величини – середнього арифметичного із математичних очікувань цих випад-

кових величин. Практичне застосування законів великих чисел полягає у тому, що середнє ариф-

5

метичне, обчислене для достатньо великої кількості результатів вимірювань будь-якої величини,

буде скільки завгодно близьким до величини, що вимірюється.

Приклад 1. Скільки треба провести вимірювань даної величини, щоб з імовірністю не меншою 0,95 гарантувати відхилення середньої арифметичної цих вимірювань від істинного зна-

чення величини не більше, ніж на 1 (за абсолютною величиною), якщо середнє квадратичне відхи-

лення кожного з вимірювань не перевищує 5?

▼ Нехай X i - результат і-го вимірювання (і=1,2,..,n), а істинне значення а вимірюваної ве-

личини

невідоме.

Отже, M X i

a при

будь-якому

і. Необхідно знайти n, при якому

 

 

1

 

2

... n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

1

0, 95 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За наслідком з теореми Чебишева, (3), вказана нерівність буде виконуватися, якщо

 

 

 

 

1

 

C

1

52

 

0, 95

, звідси

25

 

0.05 і

n

 

25

500 , тобто потрібно провести

 

 

 

 

nε2

n 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

0.05

більш ніж 500 вимірювань. ▲

Статистична стійкість відносної частоти появи успіху в серії незалежних випробувань до-

водиться в теоремі Бернуллі.

Теорема Бернуллі. Якщо імовірність успіху в кожному з n незалежних випробувань пос-

тійна та рівна p, то для довільного скільки завгодно малого ε 0 справедлива гранична рівність:

 

 

 

m

 

 

 

 

m

Р

 

 

 

 

 

 

lim P

 

 

 

p

 

ε

1, або

 

p ,

(5)

 

 

 

 

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де m - число успіхів в серії з n випробувань.

Історично теорема Бернуллі була доведена набагато раніше ніж більш загальна теорема Чебишева. Вона дає теоретичне обґрунтування заміни невідомої ймовірності події її частотою,

або статистичною ймовірністю, отриманою в n повторних незалежних випробуваннях, що про-

водяться в однакових умовах.

Зауваження 1. Було би помилковим на основі теоремі Бернуллі вважати, що зі збільшен-

ням кількості дослідів в серії відносна частота успіхів неухильно прямує до ймовірності p успіху в

m

p . В теоремі йде мова ли-

досліді. Тобто, із теореми Бернуллі (5) не випливає рівність lim

 

 

 

n

n

 

ше про ймовірність того, що при достатньо великій кількості дослідів відносна частота успіхів

буде скільки завгодно мало відрізнятися від постійної величини ймовірності появи успіху в од-

ному досліді. Збіжність відносної частоти за ймовірністю до ймовірності p відрізняється від

6

збіжності в трактуванні звичайного математичного аналізу – адже якщо m прямує за ймовірніс- n

тю до p при n , то при цьому для деяких значень n нерівність

m

p

ε

може все таки не

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

виконуватися.

 

 

 

 

 

 

Нерівність Чебишева (3) для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:

 

P(

 

W ( A) p

 

ε) 1

pq

, де q 1 p .

(6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nε2

 

Як Теорема Бернуллі, (5), так і нерівність (6 ) для неї, випливають із наслідків (3), (4) не-

рівності та теореми Чебишева, якщо мати на увазі , що кожна із випадкових величин Хі (і=1,2,… n)

має один і такий самий закон розподілу, тобто набуває значення 1 із ймовірністю успіху в і-тому досліді, рівною p, або набуває значення 0 із ймовірністю протилежної події – неуспіху, рівною

(1-p). Тоді матимемо: М(Хі)=1 p+0 (1-p )=p; D(Хі)=М(Хі2)-М2(Хі)=(12 p+02 (1-p))-p2=p-p2=p (1-p). В

цьому випадку в нерівності (2) середнє арифметичне значення із n випадкових величин Хі дорів-

нюватиме відносній частоті появи успіху в n дослідах, а=М(Хn)=p, С=D(Хn)=p (1-p).

Безпосереднім узагальненням теореми Бернуллі є теорема Пуассона, коли ймовірності по-

дії у кожному випробуванні різні.

Теорема Пуасона. Частота події в n повторних випробуваннях, у кожному з яких подія може відбутись відповідно з імовірностями p1, p2 ,..., pn , при необмеженому збільшенні числа n збігається за імовірністю до середньої арифметичної ймовірностей події в окремих випробуван-

нях:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

m

 

p p ... p

 

 

 

 

m

Р

pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

lim P

 

 

 

1 2

n

 

ε

1

або

 

 

 

.

(7)

 

 

 

n

n

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Центральна гранична теорема. Теорема Ляпунова.

Розглянутий закон великих чисел встановлює факт наближення середньої арифметичної із великої кількості випадкових величин до певної сталої величини. Але цим не обмежуються зако-

номірності, які виникають в результаті сумарної дії випадкових величин. Виявляється, що при де-

яких умовах сукупна дія випадкових величин приводить до певного, а саме – до нормального закону розподілу.

Центральна гранична теорема

Нехай X1, X2 ,..., Xn ,... - послідовність незалежних випадкових величин, кожна з яких має

скінченні математичне сподівання і дисперсію:

M X

k

a ,

D X

k

b 2 .

 

 

k

 

k

Введемо позначення:

 

 

 

 

 

 

7

 

n

 

n

 

k

 

n

n

k

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

X

 

,

A

 

a

,

B2

b2.

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

k 1

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

Позначимо функцію розподілу нормованої суми

Sn An

через

 

Bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fn

(x)

P

Sn

x

.

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bn

 

 

 

 

Говорять, що до послідовності

X1, X2 ,..., Xn ,... застосовна Центральна гранична теоре-

ма, якщо при довільному х функція (8) розподілу нормованої суми при n прямує до нормальної функції розподілу:

 

 

 

An

 

 

1

 

x

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

Sn

x

 

 

e

 

2 dt,

(8)

 

 

 

 

 

 

 

Bn

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто граничним розподілом для нормованої суми є нормальний закон розподілу з нульовим математичним очікуванням і одиничною дисперсією.

Нагадаємо, що нормальна функція розподілу виражається через функцію Лапласа Ф(х) у

такий спосіб:

 

1

 

x

t2

1

0

t2

 

 

 

1

 

x

t2

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

dt

 

e

 

dt

 

 

e

 

dt 0,5 (х)

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Ляпунова. Якщо X1 , X 2 ,...., X n - незалежні випадкові величини, для кожної з яких

існує математичне очікування M X

i

 

a ,

дисперсія D X

σ 2 ,

абсолютний центральний мо-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

мент

третього

порядку

 

M

X

i

a

i

 

3

m

 

 

та

має

місце

гранична

рівність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

, то закон розподілу суми

Yn X1 X 2 ... X n

при n необме-

 

m

 

 

 

 

i 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σi2

 

3/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

жено наближається до нормального з математичним очікуванням

ai

і дисперсією

σi2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i 1

(незалежно від виду закону розподілу кожної з випадкових величин X i ).

Окремий випадок Теореми Ляпунова.

Зокрема, якщо випадкові величини X1, X2 ,..., Xn ,... мають однаковий розподіл, то до цієї послідовності застосовна Центральна гранична теорема, якщо дисперсії всіх величин скінченні

та відмінні від нуля.

8

n

Суть умови теореми Ляпунова полягає в тому, щоб в сумі Yn X i не було доданків,

i 1

вплив яких на розсіювання величини Yn надто великий порівняно з впливом всіх інших, а також не повинно бути надто великої кількості випадкових доданків, вплив яких надто малий порівняно з сумарним впливом решти. Таким чином, питома вага кожного окремого доданку прямує до нуля при збільшенні кількості доданків.

Наприклад, споживання електроенергії для побутових потреб можна подати у вигляді п рі-

зних випадкових величин. Якщо споживання електроенергії в кожній квартирі за своїм значенням різко не виділяється серед інших, то на підставі теореми Ляпунова можна вважати, що споживання електроенергії всього будинку, тобто сума п незалежних випадкових величин, буде випадковою величиною, яка наближено підлягає нормальному закону розподілу. Якщо, наприклад, в одному з приміщень будинку розміститься обчислювальний центр, у якого рівень споживання електроенер-

гії незрівнянно вищий, ніж у кожній квартирі для побутових потреб, то висновок про нормальний розподіл споживання електроенергії всього будинку буде неправомірним, оскільки порушена умо-

ва теореми Ляпунова, оскільки споживання електроенергії обчислювальним центром відігравати-

ме головну роль в утворенні всієї суми споживання.

Інший приклад. При стійкому і налагодженому режимі роботи верстатів, однорідності об-

роблюваного матеріалу тощо, варіювання якості продукції набуває форми нормального закону розподілу внаслідок того, що виробнича похибка є результатом сумарної дії великої кількості ви-

падкових величин: похибки верстата, інструменту, робітника тощо.

У загальному випадку випадкові величини X1, X2 ,..., Xn , що розглядаються в центральній

граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу. Якщо X i є дискретними і мають лише

два значення: P(X

i

1) p, P(X

i

0) q 1 p ,

М(Хі)=1 p+0 (1-p )=p; D(Хі)=М(Хі2)-

 

 

 

 

М2(Хі)=(12 p+02 (1-p))-p2=p-p2=p (1-p)=p q. то приходимо до теореми Муавра-Лапласа, яка є най-

простішим випадком центральної граничної теореми.

Теорема Муавра-Лапласа. Якщо здійснюється n незалежних експериментів, у кожному з яких ймовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює р, то справедлива рів-

ність:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

np

 

 

 

 

m1

np

 

 

 

Pn m1, m2

 

 

 

 

 

 

 

.

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

np

 

 

 

 

 

 

1 p

 

np 1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічними міркуваннями для схеми n незалежних експериментів, у кожному з яких ймовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює р, неважко довести набли-

жену формулу:

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

p

 

 

 

 

(11)

 

 

 

2

 

 

,

 

 

n

 

 

 

 

 

 

p 1 p

 

 

 

 

 

 

де m — частота події А в n випробуваннях.

2. Вибірка, способи представлення. Полігон і гістограма та числові оцінки параметрів розподілу

Генеральною сукупністю в математичній статистиці називається множина однотипних об’єктів, кількісна чи якісна ознака яких підлягає вивченню. Підмножина об’єктів, дібраних у від-

повідний спосіб із генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю. Вважаємо, що ознака, яка вивчається, є випадковою величиною Х із функцією розподілу F x . Результати вибір-

ки розглядатимемо як послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин

X1, X 2 ,...,X n.

Закон розподілу для всіх X i визначається функцією F x . Результати вибірки — ре-

алізації випадкових величин — позначатимемо відповідно через x1, x2 , ...,xn.

Розмістивши ці числа

в порядку зростання і записавши

частоти ni , з якими

зустрічаються ці

значення, дістанемо

варіаційний, або статистичний, ряд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

x1

 

x2

 

 

xk

 

 

 

Ча-

 

 

n1

 

n2

 

 

nk

 

 

 

стоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

підставі такого ряду

можна

побудувати

статистичну

функцію

розподілу

Fn x

n xi

. Якщо n , то

статистична функція

розподілу збігається до

теоретичної

 

xi X

n

 

 

 

 

 

 

 

 

функції розподілу.

Статистичний ряд графічно подається полігоном розподілу. Щоб побудувати його, на осі абсцис відкладають значення реалізацій, а на осі ординат — відповідні їм частоти (відносні часто-

ти). Здобуті точки сполучають відрізками прямих.

У разі, коли Х — неперервна величина і обсяг вибірки великий, результати вибірки пода-

ють інтервальним рядом. Для цього область реалізацій розбивають на k інтервалів і для кожного інтервалу визначають частоти. Кількість інтервалів k 5lg n , а їхню довжину xi найчастіше бе-

руть однаковою. Здобутий ряд геометрично подається гістограмою. Для побудови її на осі абсцис відкладають інтервали, а на них як на основах будують прямокутники, висота яких пропорційна до

10

частоти (відносної частоти) інтервалу. Гістограма дає певне уявлення про графік щільності розподілу.

Для вибіркової сукупності обчислюють числові характеристики — вибіркові випадкові функції: вибіркову середню X , вибіркову дисперсію S 2 , статистичні моменти розподілу тощо.

Реалізації цих вибіркових функцій знаходять за формулами, вигляд яких залежить від того, в якій

формі подано вибіркові дані. Якщо вибіркові дані не згруповано, то x

1

n

, s 2

1

 

n

xi

x 2 .

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

n i 1

 

 

 

1

k

 

 

1

 

k

 

 

 

 

 

 

Якщо вибіркові дані зведено у статистичний ряд, то x

xi ni

,

s 2

xi

x 2 ni .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

 

n i 1

 

 

 

 

 

 

Якщо дані подаються інтервальним рядом, то перехід до статистичного ряду виконують,

обчислюючи для кожного інтервалу його середину.

Початкові і центральні статистичні моменти розподілу обчислюють відповідно за такими формулами

r

 

1 X ir

і r

 

1 X i

X 2 .

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n i 1

 

 

n i 1

 

 

 

Формули, за якими центральні статистичні моменти подаються через початкові, аналогічні тим, які виконуються для теоретичних моментів розподілу.

Заключна частина

В лекції викладено: Закон великих чисел; вибірка, способи представлення та числові оцін-

ки параметрів статистичного розподілу

Канд. фіз-мат. н., доцент

(О. Б. Омецінська)

Соседние файлы в папке архив прош.сесий