архив прош.сесий / L_2_2014_MMS_Bazova

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу – предмет, метод та мета курсу “Математичні методи в соціології”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні.

Лекція 2. Базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: Опис закону розподілу неперервної випадкової величини диференціальною функцією – густиною розподілу (питомою ймовірністю).

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення із заданням закону розподілу неперервної випадкової величини диференціальною функцією.

2. Навчити студентів прийомів розрахунку ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри

“___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості.

2. Обчислення ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Конспект лекції в електронному вигляді

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 84-89) та наступним текстом лекції.

Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії ”із теорії ймовірностей: опис закону розподілу неперервної випадкової величини диференціа-

льною функцією – густиною розподілу (питомою ймовірністю). Виведено формули для обчислен-

ня ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.

1. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості.

Задання закону розподілу випадкової величини у вигляді функції f(x) густини її розподілу

(диференціальної функції) можна застосовувати тільки до неперервних випадкових величин.

Розглянемо довільну об’ємну фігуру. Ймовірність влучення дротиком у деяку точку цієї фігури рівна нулю, тому що об’єм цієї точки практично дорівнює нулю (відповідно до геометрич-

ного визначення ймовірності події). Якби йшлося про масу речовини, неперервно і нерівномірно розподіленої в цьому об’ємі, то густина речовини (питома маса) у довільній точці об’єму виража-

ється конкретним числовим значенням (гранична величина відношення маси елементарного об’єму, виділеного в околі цієї точки, до величини цього об’єму, за умови, що максимальний діа-

метр елементарного об’єму прямує до нуля). Аналогічно, ймовірність набуття неперервною випад-

ковою величиною окремого (точкового) значення практично рівна нулю, а ось густина ймовірнос-

ті в окремій точці (питома ймовірність) може виражатись ненульовим числовим значенням.

3

Якщо розглянути ймовірність попадання неперервної випадкової величини X на проміжок

[х; х+ х], то гранична величина відношення значення цієї ймовірності до розміру х проміжку при його необмеженому звуженні, буде значенням функції f(x) питомої ймовірності (густини ймовір-

ності) неперервної випадкової величини X в точці х. Застосувавши формулу обчислення ймовір-

ності попадання неперервної випадкової величини на проміжок [х; х+ х] через приріст на цьому проміжку її функції F (x) розподілу, дістанемо:

	f (x) lim	P{x X x x}		lim	F (x x) F (x)	F (x) ,	(1)
		x			x
	x 0			x 0

згідно з поняттям похідної від функції.

Отже, функція F (x) розподілу випадкової величини X є первісною для функції f(x) питомої

ймовірності. Відповідно ці функції носять назви: F (x) – інтегральна функція розподілу випадкової величини; f(x) – диференціальна функція. Кажуть, що випадкова величина X розподілена з густи-

ною f(x) на деякому проміжку осі абсцис.
Властивості щільності розподілу випливають із формули (1) для її визначення.
1). Щільність розподілу є функція невід’ємна ( f (x) 0 ).
2). За формулою (1) f (x) lim	P{x X x x}	, звідки дістанемо:
x 0	x
P{x X x x} f (x) x .			(2)

Отже, ймовірність попадання випадкової величини X в малий проміжок х в околі точки х, Рис.1, наближено дорівнює добутку значення в точці х густини f(x) розподілу випадкової ве-

личини на величину х проміжку.

3). Згідно з формулою (1) функція роз-

поділу ймовірностей F (x) є первісною для фун-

кції f(x) щільності розподілу. Тому на основі

Рис.1. P{X x} f (x) x формули обчислення ймовірності попадання неперервної випадкової величини на проміжок

[ ; ] через приріст її функції розподілу F (x) на цьому проміжку (див попередню лекцію) та фор-

мули Ньютона – Лейбніца обчислення визначеного інтеграла дістанемо формулу для розрахунку

ймовірності попадання випадкової величини X в заданий проміжок ( ; )

β
P{α x β} f (x)dx .	(3)

α

4

Отже, ймовірність того, що неперервна випадкова величина попаде в інтервал [ ; ], рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком у=f(x) диференціальної функції, віссю ОX і

прямими х= , х= .

4). Для густини розподілу виконується умова нормування: P{ x }	f (x)dx 1,

оскільки в результаті випробування випадкова величина обов’язково попадає на вісь ОX.

Якщо неперервна випадкова величина X визначена на скінченному проміжку [а;b], тобто,

множина її можливих значень належить проміжку [а;b], то умова нормування має такий ви-

b

гляд: f (x)dx 1.

a

5). Якщо всі можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (a;b), то для x

зовні цього інтервалу, де функція розподілу ймовірностей F (x) набуває постійного значення (зна-

чення 0 зліва, при х a та значення 1 справа, при х>b), функція щільності розподілу випадкової ве-

личини має нульове значення, f(x)=F '(x)=0.

Якщо можливі значення випадкової величини належать всій числовій осі, то:

lim f (x) 0 ;	lim f (x) 0 .
x	x

6) Функція F(x) розподілу ймовірностей визначається через густину f(x) розподілу випад-

кової величини Х за формулою:

x
F (x) P( X x) P( X x) f (x)dx ,	(4)

що випливає із формули (3).

Зауваження 1. В геометричній інтерпретації відповідно до (4) функція розподілу ймовірно-

стей F(x) в т. x (інтегральна функція розподілу) дорівнює площі фігури, що знаходиться лівіше точки х і обмежена згори кривою розподілу f(x) (диференціальної функції розподілу). Повна пло-

ща, обмежена кривою розподілу f(x) та віссю абсцис, дорівнює 1.

2. Обчислення ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.

Застосуємо теоретичний матеріал для розв’язання практичних задач на розрахунок ймовір-

ності попадання випадкової величини в заданий проміжок. Ця задача розв’язується за формулою

Р{ X<β}=F(β)–F( ), (5)

де F(x) – функція розподілу ймовірностей випадкової величини X, або ж лише для неперервної ви-

β

падкової величини за формулою (3), P{α x β} f (x)dx .

α

Приклад 1. Неперервна випадкова величина X задана функцією розподілу ймовірностей:

5

0,	якщо	x 0,
	якщо 0 x 2,
F (x) sin(kx),
1,	якщо	х 2.

а) Знайти густину розподілу f(x) випадкової величини X і значення сталої k.

б) Побудувати графіки функцій у=F(x) розподілу ймовірностей та у=f(x) густини розподілу випадкової величини X.

в) Обчислити ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (2/3; 1).

▼ а) За визначенням густина розподілу неперервної випадкової величини є першою похід-

ною від функції розподілу: f (x) F (x) . Отже, дістанемо:
0,	якщо	x 0,
	якщо 0	x 2,
f (x) kcos(kx),
	якщо	х 2.
0,

Сталий множник k знайдемо з умови нормування: f (x)dx

						2
У		нашому випадку				f (x)dx k cos(kx)dx k
						0
2k	π	, k	π	.
	2		4

1.

	sin(kx)			2
				[sin(2k) sin 0] 1
	k
				0

б) Графіки функцій F(x) та f(x) побудуємо по точках, Рис.2, Рис.3.

π			π
Так як вигляд функцій sin		x	, cos		x	відомий, то обмежимось обчисленням значень
	4			4

функцій F(x) та f(x) в деяких характерних точках: х=0, х=2, х=( /4), з урахуванням того, що sin0=0;

сos0=1; sin( /4)=сos( /4)=1/√2 0,71; sin( /2)=1, сos( /2)=0.

	0,
		π
	F (x) sin(		x),
		4
	1,

Рис.2. Графік у=F(x) функції розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини

якщо x 0,

якщо 0 x 2,

якщо х 2.

6

0,					якщо	x 0,
	π			π
f (x)			cos(		x), якщо 0	x 2,
	4			4
						х 2.
0,					якщо

Рис.3. Графік у=f(x) густини розподілу випадкової величини Х

Скориставшись формулою (5), знайдемо:

в) Ймовірність попадання випадкової ве-

личини X в інтервал (2/3;1) обчислимо за однією з формул:

F (1) F (2 / 3), якщо відома F (x),

P(2 / 3 X 1) 1

f (x)dx, якщо відома f (x).

2/3

	π			π					1				1
P(2 / 3 X 1) F(1) F(2 / 3) sin			1	sin		2 / 3								0, 21 .▲
	4			4					2				2
Приклад 2. Задано густину розподілу неперервної випадкової величини X:
0,	x 0,
	0 x π / 2,
f (x) cos x,
	x π / 2.
0,

Знайти інтегральну функцію розподілу F(x).

x

▼ Скористаємось формулою (4), F (x) f (x)dx . Так як щільність розподілу задана

різними формулами на окремих інтервалах, то і функцію розподілу ймовірностей будемо знаходи-

ти окремо для кожного інтервалу.

Якщо x 0 , то f (x) 0 , тому

0
F (x) 0 dx 0 .
Якщо 0 x π / 2 , то
0	x
F (x)	0 dx cos xdx sin x.
	0
Якщо x π / 2 , то
0	π/2	x
F(x)	0 dx	cos xdx	0dx (sin x)	0π/2 1.
	0	π/2

Отже, шукана функція розподілу ймовірностей має вигляд:

7

0,	x 0,
	0 x π / 2,
sin x,
F (x)	▲
1,	x π / 2.

0, якщо x 1,

2

bx, якщо 1 x 4;

Приклад 3. Задано функцію F x ax

1, якщо x 4.

Довести, що можна підібрати такі значення a і b, при яких F(x) буде функцією розподілу

ймовірностей неперервної випадкової величини Х. Знайти P 1 X 4 та P 2 X 3 .

▼ Щоб знайти a і b, скористаємося вимогою неперервності функції F(x) в точках х=1 і х=4.

Дістанемо систему рівнянь:

1

a b 0,

a b,

b

,

12

16a 4b 1.

16b

4b 1.

a

1

12.

Отже,

F x

1

x2

1

x якщо x 1; 4 .

12

12

Доведемо, що на цьому проміжку функція F(x) є неспадною. Відшукуємо похідну функції:

1

1

1

F

x 6 x 12 . Похідна дорівнює нулю при

x 2 . На проміжку (1;4) похідна функції F(x) до-

датна, а значить, ця функція зростає. Отже, F(x) задає функцію розподілу ймовірностей випадкової величини Х.

Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок (1;4):

	1			1					1			1				12
P 1 X 4 F 4 F(1)			16			4					1			1				0	1.
	12			12					12			12				12

Розрахунок вірний, оскільки ймовірність попадання значення випадкової величини в про-

міжок всіх її можливих значень дорівнює 1.

Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок (1;4):

P 2 X 3 F 3 F(2) 121 9 121 3 121 4 121 2 124 13. ▲

Заключна частина . В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії ”із теорії ймовірностей: густина розподілу неперервної випадкової величини, властивості диференціаль-

ної функції; подано формули розрахунку ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок

та показано застосування цих формул при розв’язанні прикладів.
Канд. фіз-мат. н., доцент	(О. Б. Омецінська)