архив прош.сесий / архив прош.сесий / L_7_2014_MMS_Bazova

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу “Математичні методи в соціології ”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні

Лекція 7. Числові характеристики двовимірної випадкової величини та умовних розподілів

її компонент, формули розрахунку.

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення з основними числовими характеристиками (невипадковими) двовимірної випадкової величини двовимірної випадкової величини та формулами їхнього розрахунку.

2. Навчити студентів застосувати подані формули для розв’язання прикладів.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри

“___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1.Моменти розподілу випадкової величини. Основні числові характеристики двовимірної випадкової величини: “центр розподілу”; міра розсіяння випадкової величини навколо “центру розподілу”; кореляційний момент (коваріація) та коефіцієнт кореляції

2.Формули розрахунку числових характеристик двовимірної дискретної випадкової вели-

чини, заданої матрицею розподілу, та неперервної випадкової величини, заданої густиною розпо-

ділу.

3. Формули розрахунку числових характеристик умовного розподілу компоненти двовимір-

ної випадкової величини, дискретної та неперервної: умовне математичне очікування і умовна ди-

сперсія компоненти.

4. Властивості коефіцієнта кореляції. Корельовані (залежні) та некорельовані випадкові ве-

личини.

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 126-128) та наступним текстом лек-

ції.

Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії ”із теорії ймовірностей: Поняття моментів та основних числових характеристик двовимірної випадкової величини: “центр розподілу”, міра розсіяння випадкової величини навколо “центру розподілу”, кореляційний момент (коваріація) та коефіцієнт кореляції, а також і числові характери-

стики умовних розподілів.

1. Моменти розподілу випадкової величини. Основні числові характеристики двовимірної випадко-

вої величини: “центр розподілу”; міра розсіяння випадкової величини навколо “центру розподі-

лу”; момент кореляції (коваріація) та коефіцієнт кореляції

Закон розподілу повністю характеризує двовимірну випадкову величину (у випадку дис-

кретної випадкової величини функція F(x;y) розподілу або таблиця розподілу, а для неперерв-

ної випадкової величини – функція F(x;y) розподілу оба густина f(x,у) розподілу), проте закон

3

розподілу часто є невідомим. На практиці немає потреби так докладно описувати випадкову ве-

личину, – достатньо знати лише певні параметри, які несуть про неї істотну інформацію. Ці пара-

метри є невипадковими числовими характеристики випадкової величини. Розглянемо найважли-

віші з них. Попередньо дамо поняття моментів розподілу двовимірної випадкової величини.

Означення 1. Початковим моментом порядку k r системи X ,Y випадкових величин

називається величина

		k , r M X k Y r ,	(1)
тобто, математичне очікування добутку значень компонентів у відповідних степенях.
Якщо k 1, r 0 ,	маємо 1,0	M ( X ) – математичне очікування компоненти Х;	при

k 0, r 1 дістаємо 0,1 M (Y ) – математичне очікування компоненти Y. Ці два моменти є характеристиками положення на координатній площині ОХY “центру розподілу” двомірної випа-

дкової величини (Х;Y).

Означення 2. Центральним моментом порядку k r називається величина

μk ,r M X M ( X ) k Y M (Y ) r ,

(2)

тобто математичне очікування добутку значень відхилень компонентів у відповідних степенях.

При значеннях k 2, r 0 дістанемо	2,0	X M ( X ) 2 D( X ) , отже маємо диспер-
сію компоненти Х. Якщо навпаки, k 0, a r 2 , то			0,2 M Y M (Y ) 2 D(Y ) . Ці два

моменти є характеристиками міри розсіяння двомірної випадкової величини навколо її “центру розподілу”.

При k 1 i r 1 отримаємо мішаний центральний момент 2-го порядку
μ1,1 M X M ( X ) Y M (Y ) rXY ,	(3)

де введено позначення rXY – момент кореляції (коваріація) випадкових величин Х і Y, який мож-

на обчислити також і за формулою:
μ1,1 M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) rXY ,	(4)

що неважко отримати після розгорнення добутку у формулі (3) і подальшого застосування власти-

востей математичного очікування.

рyj(xi) –умовна ймовірність по-

4

Із формули (4) на підставі властивості математичного очікування добутку незалежних ви-

падкових величин дійдемо висновку:

для незалежних випадкових величин момент кореляції дорівнює нулю.

Але як побачимо далі, обернене твердження не завжди справджується, а саме: момент ко-

реляції характеризує міру лише лінійної залежності між випадковими величинами. Тобто, якщо мо-

мент кореляції дорівнює нулю, випадкові величини можуть перебувати в певній залежності, яка, од-

наче, є відмінною від лінійної.

Зауваження 1. Термін коваріація: ко(спільна)+варіація(зміна). Термін кореляція: correlation –

співвідношення латин., для позначення взаємозалежності.

Оскільки момент кореляції (4) має розмірність добутку компонентів випадкової величини, зручніше користуватися безрозмірним коефіцієнтом кореляції

	KXY		rXY		.	(5)
			σ X	σY

де в знаменнику міститься добуток середньоквадратичних відхилень кожної компоненти.

2. Формули розрахунку числових характеристик двовимірної дискретної випадкової величини, за-

даної матрицею розподілу, та неперервної випадкової величини, заданої густиною розподілу

Нехай закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини (Х;Y), величина ком-

поненти Х якої може набувати m різних значень, а компоненти Y відповідно – n значень, задано таблицею розподілу. Формули розрахунку числових характеристик двовимірної неперервної ви-

падкової величини можна відтворити на основі відповідних формул для дискретної випадкової величини із заміною сум дискретних доданків на інтегральні суми, з урахуванням того, що

імовірність потрапляння неперервної випадкової величини в елементарну область є

„елемент ймовірності”, рівний f(x;y) dxdy.

У формулах розрахунку використано такі позначення: рij=P(X=xi;Y=yj) – ймовірності із таблиці розподілу величини (Х;Y);

рxi=P(X=xi) – ймовірності із ряду розподілу компоненти Х,

дії (X=xi), знайдена за умови, що подія (Y=yj) відбувається;

рyj=P(Y=yj) – ймовірності із ряду розподілу компоненти Y, рxi(yj)) –умовна ймовірность

події (Y=yj), знайдена за умови, що подія (X=xi) відбувається;

f1(x) та f1у(x,y) – густина розподілу та густина умовного розподілу компоненти X; f2(y) та f2х(x,y) – густина розподілу та густина умовного розподілу компоненти Y.

5

Отже, для основних числових характеристик дискретних та неперервних двовимірних випадкових величин (Х, Y, ) мають місце такі формули розрахунку:

математичне очікування для кожної з компонент – точка з координатами (М(Х);М(Y)) є “центр

розподілу” випадкової величини (Х;Y)

m	n	m
M X	xi pij	xi pxi		M ( X ) x f (x; y)dxdy x f1(x)dx ,		(6)
i 1	j 1	i 1
m	n	n
M Y	y j pij	y j pyj		M (Y ) y f (x; y)dxdy y f1( y)dy ;		(7)
i 1	j 1	j 1

диспесія та середнє квадратичне відхилення для кожної з компонент – міра розсіяння випадко-

вої величини навколо “центру розподілу”

m

n

m

D X M X 2 M 2 X xi2 pij M 2 X xi2 pxi M 2 X

i 1

j 1

i 1

(8)

D( X ) x2

f (x; y)dxdy M 2 X

x2 f1(x)dx M 2

X ,

σ X σx

D X

,

m

n

n

D Y M Y 2 M 2 Y y2j pij M 2 Y y2j pyj M 2

Y

i 1

j 1

j 1

(9)

D(Y ) y2

f (x; y)dxdy M 2 Y y2 f2 ( y)dx M 2

Y ,

σ Y σ y

;

D Y

момент кореляції (коваріація) та коефіцієнт кореляції системи (Х;Y)

випадкових величин

m

n

rXY M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) xi y j pij M ( X ) M (Y )

i 1

j 1

(10)

rXY

rXY M ( X Y ) M ( X ) M (Y )

xy f ( x; y)dxdy M ( X ) M (Y );

K XY

.

σ X σY

3. Формули розрахунку числових характеристик умовного розподілу компоненти системи випад-

кових величин: умовне математичне очікування і умовна дисперсія компоненти

Для умовних законів розподілу компонент двовимірної випадкової величини (Х;Y)

розглядають числові характеристики – умовне математичне очікування і умовну дисперсію, які обчислюють за формулами, вказаними нижче як для дискретної, так і для неперервної випадкової

6

величини (аналогія відповідних формул є наглядною –суми та ймовірності дискретних значень еквівалентні інтегральним сумам та відповідно „елементам ймовірностей”):

умовне математичне очікування компоненти Х

M yj X xi

pyj

(xi ) xi

рij

1

xi рij

m

, j 1, 2,..., n

i 1m

m

m

m

xi

рij

i 1

i 1

pyj

pyj i 1

pij

i 1

(11)

f

x; y

x f x; y dx

M у X x f1 y x, у dx=

x

dx

;

f

2 y

f x; y dx

умовне математичне очікування компоненти Y

n

n

n

рij

1

n

y j рij

M xi Y y j pxi ( y j ) y j

y j рij

j 1

,

i 1, 2,..., m

pxi

n

j 1

j 1

pxi j 1

pij

j 1

f x; y

y f x; y dy

M x Y y f2 x х, y dy= y

dy

;

f1

x

f x; y dy

умовна дисперсія та умовне середньоквадратичне відхилення компоненти Х

Dyj X M уj ( X 2 ) M yj2 ( X ) xi2 pyj (xi ) M yj2 xi2

рij M yj2 ( X )

m

m

i 1

i 1

pyj

m

1

m

xi2 рij

2

2

i 1

2

pyj

xi рij

M yj ( X )

m

M yj

( X ); σ yj

X

Dyj X ,

j 1, 2,...n

i 1

pij

i 1

f x; y

Dу X M у ( X 2 ) M y2 ( X ) x2 f1 y x, у dx M y2 ( X )= x2

dx M y2 ( X )

f2

y

x; y dx

x2 f

2

X

Dy X ;

M y ( X ), σ y

f x; y dx

(12)

(13)

7

умовна дисперсія та умовне середньоквадратичне відхилення компоненти Y

Dxi Y

M xi (Y 2 ) M xi2 (Y ) y2j pxi

( y j ) M xi2 (Y ) y2j рij

M xi2 (Y )

n

n

j 1

j 1

pxi

n

1

n

y2j рij

2

2

j 1

2

y j рij

M xi (Y )

M xi

(Y ), σ xi Y Dxi

Y ,

i 1, 2,...m

pxi

n

j 1

pij

j 1

(14)

f x; y

Dx Y M x (Y 2 ) M x2 (Y ) y2 f2 x х, y dx M x2 (Y )= y2

dx M x2

(Y )

f2 y

f x; y dx

y2

2

(Y ), σ x Y

Dx Y .

M x

f

x; y dx

4. Властивості коефіцієнта кореляції. Корельовані (залежні) та некорельовані випадкові величини

Покажемо, що коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною менший або дорівнює

одиниці:

KXY		1.	(15)

Для доказу нерівності (15) розглянемо дисперсію (невід’ємну величину) допоміжної випад-

кової величини:

D(σY X σ X Y ) M (σY X σ X Y ) M (σY X σ X Y ) 2

M (σ

Y

X σ

X

Y ) (σ

Y

m

X

σ

X

m ) 2 M σ

Y

( X m

X

) σ

X

(Y m ) 2

Y

Y

M σY 2 ( X mX )2 2σ X σY ( X mX )(Y mY ) σ X 2 (Y mY )2 σY 2 DX 2σ X σY rXY σ X 2 DY .

Отже,

2σ

2σ

X

2 2σ

X

σ r

0

1

rXY

0

1 K

XY

0

K

XY

1 .

Y

Y XY

σX σY

Доведемо, що у випадку строгої лінійної залежності між випадковими величинами Х і Y

коефіцієнт кореляції за модулем дорівнює 1.

Нехай Y = аХ+b, де а і b є сталими величинами. Підрахуємо коефіцієнт кореляції, застосу-

вавши властивості математичного сподівання та дисперсії:

KXY

r

M ( X m ) (Y m )

M ( X mX ) (aX + b) M (aX + b)

XY

X

Y

σ X σY

σ X σY

σ X σY

M

( X mX ) (aX + b) (amX

+ b)

M ( X mX ) a( X mX )

σ X σY

σ X D(aX + b)

aDX

aDX

a

1,

якщо а 0;

якщо а 0.

2 D

a2

σ

X

a

X

0 σ

X

σ

X

a

1,

8

Властивості коефіцієнта кореляції

1. Коефіцієнт кореляції є безрозмірна числова характеристика системи випадкових вели-

чин, значення якої за абсолютною величиною менше від 1, KXY 1.

2.Коефіцієнт кореляції для незалежних випадкових величин має нульове значення.

3.У випадку строгої лінійної залежності між випадковими величинами Х і Y коефіцієнт ко-

реляції за модулем дорівнює 1, тобто набуває своїх граничних значень.

Означення 3. Випадкові величини Х і Y називаються корельованими, якщо їхній коефіці-

єнт кореляції відмінний від нуля, KXY 0 . Корельовані випадкові величини є залежними величи-

нами. Отже, корельованість і залежність випадкових величин є тотожними поняттями.

Означення 4. Випадкові величини Х і Y називаються некорельованими, якщо їхній коефі-

цієнт кореляції має нульове значення, KXY 0 . Але некорельованість і незалежність випадко-

вих величин не є тотожними поняттями. Якщо момент кореляції дорівнює нулю, випадкові вели-

чини можуть перебувати в певній залежності, яка відмінна від лінійної. Момент кореляції характери-

зує міру лише лінійної залежності між випадковими величинами.

Заключна частина

В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: Поняття моментів та основних числових характеристик двовимірної випадкової ве-

личини: “центр розподілу”, міра розсіяння випадкової величини навколо “центру розподілу”, ко-

реляційний момент (коваріація) та коефіцієнт кореляції, а також і числові характеристики умовних розподілів

Канд. фіз-мат. н., доцент

(О. Б. Омецінська)