архив прош.сесий / архив прош.сесий / ZAVDANNYa_MK2_ta_RGR1
.pdf1
Завдання МК2, РГР1 з навчальної дисципліни ”Математичні методи в соціології”
Теми 2 – 5
Тема МК 2. Вибірка і способи її представлення. Незміщена та зміщена точкові статистичні оцінки.
Тема РГР1. Інтервальні статистичні оцінки. Статистична перевірка статистичних гіпотез: критерій узгодженості Пірсона
N – номер варіанта завдання
Завдання
Із партії однотипних приладів для контролю відбирають 100 екземплярів з метою визначення тривалості (в год.) безперервної роботи з моменту включення до повної відмови в роботі. На підставі наведених вибіркових даних:
МК 2. Виконати п.1), п.2)
1) побудувати інтервальний ряд. При цьому область реалізацій розбити на сім однакових інтервалів;
2) знайти числові характеристики вибіркової сукупності:
2.1) R, Mo* , Me* , відповідно розмах варіант вибірки, мода і медіана інтервального ста-
тистичного розподілу вибірки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2) перейти від знайденого інтервального статистичного |
розподілу до дискретного, |
||||||||
варіантами якого є середини частинних інтервалів, та обчислити x |
В |
, |
D |
, S2, |
|
B |
, V, |
A |
* , E* |
|
|
|
B |
|
|
s |
s |
(відповідно: вибіркова середня величина (середня арифметична варіант вибірки), дисперсія вибірки та виправлена дисперсія, середнє квадратичне відхилення вибірки, коефіцієнт варіації, асиметрія і ексцес);
РГР1. Виконати п.3), п.4)
3)визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х – тривалість безвідмовної роботи приладу; при рівні значущості =0,05 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези;
4)при заданій надійності =0,99 побудувати довірчий інтервал для оцінки математичного очіку-
вання X a ознаки Х генеральної сукупності при відомому значенні Г і нормальному розподілі
генеральної сукупності.
Рекомендація: в кінці всіх варіантів завдання приведено розв’язання типового завдання.
|
Варіант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
195 |
190 |
166 |
205 |
185 |
217 |
180 |
220 |
191 |
174 |
187 |
184 |
200 |
190 |
222 |
210 |
192 |
183 |
223 |
194 |
177 |
211 |
190 |
201 |
182 |
220 |
161 |
188 |
215 |
176 |
186 |
204 |
170 |
225 |
190 |
180 |
212 |
200 |
191 |
192 |
178 |
208 |
199 |
155 |
191 |
180 |
196 |
172 |
187 |
184 |
188 |
206 |
190 |
197 |
167 |
198 |
194 |
210 |
176 |
190 |
182 |
160 |
202 |
189 |
181 |
200 |
211 |
188 |
207 |
197 |
193 |
178 |
207 |
203 |
174 |
190 |
179 |
208 |
187 |
173 |
180 |
188 |
198 |
210 |
190 |
164 |
182 |
200 |
191 |
177 |
193 |
199 |
211 |
194 |
207 |
179 |
187 |
171 |
201 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Варіант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
165 |
180 |
186 |
145 |
175 |
167 |
215 |
210 |
196 |
181 |
150 |
168 |
176 |
200 |
211 |
177 |
188 |
160 |
170 |
180 |
171 |
181 |
162 |
212 |
201 |
151 |
177 |
190 |
180 |
172 |
182 |
174 |
191 |
178 |
164 |
213 |
202 |
169 |
210 |
179 |
203 |
180 |
153 |
169 |
192 |
179 |
164 |
187 |
170 |
177 |
171 |
161 |
176 |
194 |
204 |
180 |
173 |
154 |
183 |
194 |
184 |
188 |
174 |
160 |
178 |
188 |
170 |
197 |
178 |
199 |
170 |
176 |
190 |
199 |
184 |
169 |
191 |
177 |
198 |
159 |
179 |
166 |
199 |
194 |
158 |
182 |
200 |
167 |
189 |
177 |
156 |
180 |
170 |
201 |
178 |
200 |
194 |
214 |
184 |
190 |
|
Варіант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
166 |
135 |
176 |
168 |
190 |
150 |
178 |
186 |
170 |
146 |
180 |
171 |
158 |
186 |
184 |
169 |
160 |
188 |
172 |
164 |
173 |
181 |
170 |
193 |
150 |
191 |
172 |
160 |
183 |
166 |
157 |
188 |
167 |
177 |
190 |
179 |
151 |
169 |
163 |
172 |
147 |
156 |
180 |
140 |
174 |
193 |
158 |
182 |
170 |
159 |
181 |
166 |
192 |
200 |
163 |
168 |
176 |
154 |
174 |
150 |
162 |
177 |
168 |
190 |
166 |
152 |
184 |
170 |
160 |
172 |
180 |
142 |
149 |
159 |
174 |
189 |
153 |
204 |
168 |
192 |
159 |
167 |
197 |
177 |
199 |
170 |
201 |
161 |
169 |
160 |
174 |
203 |
188 |
160 |
168 |
179 |
144 |
174 |
163 |
|
Варіант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
116 |
130 |
135 |
100 |
132 |
113 |
141 |
120 |
146 |
134 |
127 |
95 |
124 |
140 |
129 |
119 |
143 |
128 |
106 |
147 |
107 |
123 |
126 |
144 |
141 |
130 |
97 |
121 |
150 |
134 |
118 |
128 |
101 |
140 |
126 |
116 |
144 |
129 |
108 |
151 |
130 |
139 |
118 |
109 |
142 |
131 |
152 |
104 |
120 |
134 |
98 |
121 |
133 |
154 |
164 |
127 |
124 |
143 |
106 |
129 |
130 |
112 |
122 |
138 |
99 |
132 |
150 |
120 |
160 |
131 |
119 |
134 |
136 |
153 |
129 |
149 |
113 |
117 |
131 |
159 |
130 |
116 |
114 |
157 |
154 |
134 |
139 |
149 |
124 |
126 |
105 |
128 |
123 |
140 |
130 |
122 |
152 |
129 |
150 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Варіант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
113 |
123 |
119 |
128 |
107,5 |
133 |
120 |
127 |
138 |
124 |
121 |
130 |
134 |
118,5 |
126 |
114 |
142,5 |
120,5 |
140 |
115 |
122 |
110 |
123 |
137 |
121 |
132 |
124 |
135 |
120 |
119 |
125 |
131 |
118 |
136 |
113,5 |
120,5 |
133 |
126 |
142 |
127 |
118,5 |
137 |
141 |
119 |
123 |
129 |
117 |
120 |
134 |
121 |
116 |
125 |
112 |
127 |
122 |
128 |
126 |
120,5 |
128 |
124 |
118 |
129 |
126 |
114,5 |
123 |
120 |
111 |
130 |
122 |
119 |
128 |
113 |
127 |
118 |
123 |
132 |
121 |
123 |
136 |
124 |
119,5 |
127 |
131 |
108 |
118 |
116 |
123 |
120 |
129 |
122 |
126,5 |
128 |
117 |
121 |
133 |
125 |
120 |
127 |
132 |
|
Варіант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
155 |
166 |
175 |
135 |
168 |
194 |
164 |
205 |
174 |
148 |
170 |
186 |
163 |
172 |
178 |
136 |
200 |
147 |
156 |
167 |
158 |
138 |
166 |
188 |
146 |
168 |
180 |
172 |
199 |
160 |
174 |
162 |
184 |
172 |
190 |
186 |
140 |
163 |
150 |
170 |
161 |
166 |
149 |
191 |
169 |
159 |
183 |
142 |
173 |
197 |
174 |
182 |
160 |
170 |
176 |
151 |
192 |
172 |
164 |
188 |
170 |
158 |
193 |
152 |
169 |
180 |
156 |
177 |
144 |
166 |
164 |
169 |
176 |
174 |
194 |
167 |
153 |
162 |
170 |
176 |
151 |
172 |
160 |
178 |
154 |
178 |
173 |
190 |
186 |
174 |
167 |
145 |
180 |
169 |
184 |
189 |
163 |
172 |
150 |
170 |
|
Варіант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
47 |
41 |
28 |
40 |
29 |
42 |
46 |
31 |
37 |
30 |
23 |
38 |
42 |
48 |
40 |
33 |
43 |
37 |
46 |
36 |
42 |
34 |
37 |
24 |
43 |
50 |
32 |
45 |
40 |
41 |
31 |
37 |
42 |
39 |
29 |
26 |
43 |
38 |
51 |
30 |
40 |
46 |
38 |
45 |
52 |
40 |
44 |
28 |
34 |
35 |
43 |
27 |
31 |
37 |
42 |
50 |
33 |
39 |
46 |
44 |
40 |
34 |
45 |
52 |
39 |
42 |
50 |
32 |
37 |
37 |
29 |
43 |
48 |
40 |
54 |
46 |
38 |
51 |
60 |
44 |
36 |
52 |
65 |
30 |
37 |
49 |
44 |
39 |
58 |
50 |
45 |
40 |
55 |
48 |
33 |
38 |
42 |
57 |
63 |
4
|
Варіант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
145 |
156 |
136 |
166 |
154 |
160 |
179 |
150 |
142 |
146 |
161 |
143 |
151 |
134 |
170 |
180 |
140 |
163 |
154 |
142 |
153 |
122 |
159 |
150 |
174 |
132 |
149 |
136 |
164 |
146 |
133 |
162 |
172 |
141 |
148 |
160 |
121 |
153 |
138 |
159 |
144 |
154 |
120 |
158 |
126 |
139 |
152 |
168 |
147 |
150 |
119 |
160 |
143 |
146 |
136 |
163 |
127 |
150 |
166 |
164 |
152 |
144 |
129 |
163 |
153 |
140 |
151 |
165 |
118 |
137 |
160 |
148 |
170 |
130 |
146 |
117 |
143 |
159 |
150 |
116 |
153 |
156 |
141 |
149 |
172 |
185 |
128 |
138 |
150 |
147 |
137 |
134 |
158 |
115 |
149 |
173 |
154 |
180 |
144 |
|
Варіант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
125 |
135 |
145 |
127 |
95 |
137 |
117 |
140 |
129 |
130 |
141 |
100 |
117 |
146 |
131 |
142 |
133 |
120 |
144 |
136 |
134 |
147 |
138 |
126 |
118 |
104 |
140 |
128 |
121 |
99 |
123 |
129 |
141 |
130 |
148 |
143 |
119 |
133 |
144 |
132 |
136 |
149 |
133 |
106 |
124 |
134 |
139 |
120 |
140 |
119 |
107 |
128 |
121 |
138 |
150 |
126 |
136 |
165 |
129 |
128 |
139 |
117 |
151 |
130 |
108 |
122 |
132 |
140 |
163 |
123 |
133 |
152 |
144 |
116 |
159 |
134 |
109 |
162 |
142 |
136 |
153 |
124 |
126 |
157 |
139 |
128 |
149 |
110 |
160 |
127 |
154 |
138 |
156 |
160 |
120 |
140 |
134 |
150 |
114 |
|
Варіант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
145 |
155 |
126 |
158 |
147 |
174 |
184 |
150 |
160 |
151 |
161 |
137 |
166 |
153 |
128 |
163 |
180 |
164 |
154 |
156 |
146 |
165 |
159 |
136 |
147 |
181 |
130 |
148 |
160 |
132 |
161 |
149 |
166 |
150 |
163 |
138 |
179 |
164 |
151 |
152 |
139 |
156 |
153 |
168 |
157 |
177 |
154 |
133 |
158 |
160 |
146 |
169 |
176 |
145 |
166 |
147 |
162 |
186 |
140 |
141 |
164 |
148 |
170 |
175 |
149 |
163 |
168 |
150 |
187 |
151 |
171 |
142 |
152 |
162 |
170 |
180 |
153 |
158 |
189 |
159 |
154 |
182 |
172 |
146 |
143 |
164 |
173 |
148 |
190 |
150 |
173 |
159 |
195 |
151 |
168 |
184 |
144 |
163 |
154 |
5
Розвязання типового прикладу
Приклад. Вимірювання зросту юнаків віком 17 років дало такі результати:
156 |
161 |
166 |
162 |
170 |
|
167 |
|
174 |
160 |
168 |
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
171 |
154 |
166 |
158 |
|
162 |
|
175 |
167 |
164 |
161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
159 |
169 |
156 |
172 |
|
168 |
|
178 |
|
176 |
165 |
167 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
166 |
162 |
173 |
161 |
|
169 |
|
177 |
179 |
167 |
164 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
160 |
166 |
170 |
168 |
|
174 |
|
156 |
165 |
180 |
169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167 |
164 |
171 |
168 |
170 |
|
159 |
|
175 |
166 |
155 |
162 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168 |
172 |
163 |
160 |
166 |
|
176 |
|
181 |
167 |
165 |
157 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162 |
154 |
169 |
173 |
167 |
|
161 |
|
172 |
|
177 |
168 |
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
163 |
167 |
170 |
186 |
|
166 |
|
165 |
158 |
169 |
166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
166 |
171 |
169 |
160 |
|
167 |
|
164 |
168 |
161 |
184 |
На підставі наведених вибіркових даних:
1)побудувати інтервальний ряд. При цьому область реалізацій розбити на вісім однакових інтервалів;
2)знайти числові характеристики вибіркової сукупності:
2.1) R, Mo* , Me* (відповідно розмах варіант вибірки, мода і медіана інтервального статистич-
ного розподілу вибірки); 2.2) перейти від інтервального статистичного розподілу до дискретного, варіантами якого
є середини частинних інтервалів, та обчислити xВ , DB , S2, B , V, As* , Es* (відповідно: вибіркова
середня величина (середня арифметична варіант вибірки), дисперсія вибірки та виправлена дисперсія, середнє квадратичне відхилення вибірки, коефіцієнт варіації, асиметрія і ексцес);
3) визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х – зріст юнака; при рівні значущості=0,05 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези;
4) при заданій надійності =0,99 побудувати довірчий інтервал для X a ознаки Х генеральної
сукупності при відомому значенні Г і нормальному розподілі генеральної сукупності.
Розв’язання.
1) Розмах варіант вибірки: R xmax xmin =186-154=32см.
На підставі вибіркових даних складемо інтервальний ряд:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h=4 cм |
154—158 |
|
158—162 |
|
162—166 |
|
166—170 |
|
170—174 |
174—178 |
178—182 |
182—186 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
8 |
|
|
14 |
|
|
20 |
|
|
|
32 |
|
12 |
8 |
4 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2.1) Для |
визначення моди |
інтервального статистичного розподілу знаходимо з Таб- |
||||||||||||||||||
лиці 1 модальний інтервал і застосуємо формулу: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
|
|
nMo nMo 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Mo |
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2nMo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nMo 1 nMo 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
де |
xi 1 початок модального інтервалу; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
h довжина часткового інтервалу; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
nMo частота модального інтервалу; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
nMo 1 частота домодального інтервалу; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
nMo 1 |
частота післямодального інтервалу. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
xi 1 |
166, |
h 4, |
|
nMo 32, |
nMo 1 20, |
nMo 1 12 . |
|
|
|
|||||||||||
|
Mo* 166 |
|
32 20 |
|
|
4 166,375см. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
32 |
20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Для |
|
обчислення медіани |
побудуємо спочатку кумуляту – емпіричну функцію розподі- |
|||||||||
лу F* x , яка визначає відносну частоту події ”Значення варіанти менше від х”. Застосуємо |
||||||||||||
Таблицю 1, ураховуючи, що об’єм досліджуваної сукупності дорівнює 100: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x 154, |
|
|
|
|
|
|
|
0, 08 |
|
154 x 158, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158 x 162, |
||
|
|
|
|
|
|
0, 22 |
|
|||||
|
|
|
nі, Х х |
|
|
|
|
162 x 166, |
||||
|
|
|
0, 42 |
|
||||||||
F * x |
n |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, 74 |
|
166 x 170, |
|||||||||
|
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
0,86 |
|
170 x 174, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174 x 178, |
||
|
|
|
|
|
|
0, 94 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0, 98 |
|
178 x 182, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
182 x 186. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Медіану обчислюємо за формулою: |
|
|||||||||||
* |
xi 1 |
|
0,5 F* (x |
|
) |
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||||||
Me |
|
|
|
|
h, |
|
|
|||||
|
F* (x ) F* (x |
|
) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
де |
xi 1 початок медіанного інтервалу; |
|
||||||||||
h довжина частинного інтервалу. |
|
|||||||||||
x |
|
166, |
h 4, |
F* x |
0,74, |
F* x |
0,42 . |
|||||
i 1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i 1 |
|
Me* 166 |
0,5 0, 42 |
4 167 см. |
|
0,74 0, 42 |
|||
|
|
2.2) Для обчислення інших числових характеристик переходимо від інтервального стати-
стичного розподілу до дискретного, варіанами якого є середини частинних інтервалів:
Таблиця 2
xi |
156 |
160 |
164 |
168 |
172 |
176 |
180 |
184 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
8 |
14 |
20 |
32 |
12 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
xi ni |
|
156 8 160 14 |
180 4 184 2 |
|
16704 |
167, 04см |
В |
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
100 |
100 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi2 ni |
1562 |
8 1602 14 |
1842 2 |
|
2794304 |
27943,04; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
D |
xi2 ni |
( x |
|
|
) |
2 |
27943, 04 (167, 04) |
2 |
27943, 04 27902, 3616 40, 68; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σВ |
DВ |
|
40,68 6,38 см. |
|
Виправлена дисперсія: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S2 |
|
|
D |
|
|
|
D |
40,68 41,09 S |
|
|
41,09 6, 41 |
см |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
в |
|
100 1 |
|
|
в |
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів із різними значеннями xB , які не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дорівнюють нулеві, вводиться коефіцієнт варіації: V |
B 100% |
|
6,38 |
100% 3,8% . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xB |
167, 4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Коефіцієнт |
|
асиметрії: |
|
A* |
|
|
3 |
. |
Ексцес |
: |
E* |
|
|
|
4 |
3 . Тут центральний емпіричний |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
σ4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
момент k го порядку обчислюється за формулою: |
|
* |
|
|
xi xB |
k ni |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
3) Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х – зріст юнака; при рівні значущості=0,05 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези.
Для знайденого статистичного розподілу (Таблиця 1) побудуємо гістограму частот
|
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
158 |
162 |
166 |
170 |
174 |
178 |
182 |
186 |
xi |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
Таблиця 1
h=4 cм |
154—158 |
158—162 |
162—166 |
166—170 |
170—174 |
174—178 |
178—182 |
182—186 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
8 |
|
14 |
|
20 |
32 |
|
12 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
За формою гістограми частот можемо припустити, що ознака Х має нормальний закон |
|||||||||||
розподілу. Отже, висуваємо нульову гіпотезу Н0: ознака Х має нормальний закон розподілу. |
||||||||||||
|
Для перевірки правильності Н0 використаємо критерій узгодженості Пірсона. |
|||||||||||
|
Необхідно |
обчислити |
теоретичні |
частоти ni , |
за розрахованими в |
п.2 значення- |
ми: xВ 167,04; σВ 6,38 та нтервальним розподілом з Таблиці 1.
Обчислення теоретичних частот (нормальний закон розподілу) наведено в Таблиці 3 ( Ф – фу-
нкція Лапласа, табульована в Додатку 1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3 |
|
xi |
xi+1 |
ni |
zi |
|
|
xi xB |
|
zi 1 |
|
|
xi 1 xB |
|
Ф(zi ) |
Ф(zi 1 ) |
ni n Ф(zi 1 ) Ф(zi ) |
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
154 |
158 |
8 |
|
– 2,04 |
|
|
– 1,42 |
|
– 0,4793 |
– 0,4222 |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
158 |
162 |
14 |
|
– 1,42 |
|
|
– 0,79 |
|
– 0,4222 |
– 0,2852 |
14 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
162 |
166 |
20 |
|
– 0,79 |
|
|
– 0,16 |
|
– 0,2852 |
– 0,0636 |
22 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
166 |
170 |
32 |
|
– 0,16 |
|
|
0,464 |
|
– 0,0636 |
0,1772 |
24 |
|
||||
170 |
174 |
12 |
|
|
0,464 |
|
|
|
1,09 |
|
0,1772 |
0,3621 |
19 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
174 |
178 |
8 |
|
|
1,09 |
|
|
|
1,72 |
|
0,3621 |
0,4573 |
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
178 |
182 |
4 |
|
|
1,72 |
|
|
|
2,34 |
|
0,4573 |
0,4904 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
182 |
186 |
2 |
|
|
2,34 |
|
|
|
2,97 |
|
0,4904 |
0,4986 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут n =100 – об’єм вибірки.
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
Обчислення спостережуваного значення 2 |
|
наведено в Таблиці 4. |
|||||||||
|
|
|
|
cп |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
n n |
|
(n n )2 |
|
(n n )2 |
|||||
n |
|
|
i i |
|
|||||||
ni |
|||||||||||
i |
i |
i |
i |
|
|
i |
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
0,667 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
14 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
22 |
|
– 2 |
|
|
|
4 |
|
0,182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
24 |
|
8 |
|
|
|
64 |
|
2,667 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
19 |
|
– 7 |
|
|
|
49 |
|
2,579 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
10 |
|
– 2 |
|
|
|
4 |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0,333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 8 (ni ni )2 7,828 .
сп i 1 ni
Знайдемо критичне значення критерію ( 2 кр ) за таблицею густини розподілу 2 (див. Додаток 2) за рівнем значущості та числом ступенів свободи k:
χ2кр (α 0,01; k 8 2 1) χкр2 (0,01; 5) 15,1
Критична область зображена на Рис.2
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
k2 |
1 |
|
2 |
f ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 2 |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
кр |
2 |
|
|||
|
|
= 15,1 |
Рис.2
Висновок. Оскільки сп2 0; 15,1 , немає підстав для відхилення нульової гіпотези Н0 про нормальний закон розподілу ймовірностей ознаки Х.
|
|
|
a ознаки Х генеральної сукуп- |
4) при заданій надійності =0,99 знаходимо довірчий інтервал для |
X |
ності при відомому значенні σген S (припущення) і нормальному розподілі генеральної сукупності.
За таблицею Додатка 1 значень функції Лапласа t |
|
0,495 t |
|
2,58. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислюємо кінці довірчого інтервалу: |
|
xB |
|
t S |
|
167,04 |
2,58 6,41 |
167,386см. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xB |
t S |
|
|
167,04 |
2,58 6,41 |
168,694см. |
||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, довірчий інтервал для середнього значення зросту буде таким: 167,386 X a 168,694
Звідси можна стверджувати, що з надійністю 0,99 99% a X 167,386; 168,694 .
9
ДОДАТОК 1
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
t2 |
|
|
|
|
|
ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ЛАПЛАСА Ф(z) |
|
|
e |
2 dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π 0 |
|
|
|
|
|
||||
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
7 |
|
|
|
8 |
9 |
||
0,0 |
0,00000 |
0,00399 |
0,00798 |
0,01197 |
0,01595 |
0,01994 |
0,02392 |
0,02790 |
|
0,03188 |
0,03586 |
||||||
0,1 |
0,03983 |
0,04380 |
0,04776 |
0,05172 |
0,05567 |
0,05962 |
0,06356 |
0,06749 |
|
0,07142 |
0,07535 |
||||||
0,2 |
0,07926 |
0,08317 |
0,08706 |
0,09095 |
0,09483 |
0,09871 |
0,10257 |
0,10642 |
|
0,11026 |
0,11409 |
||||||
0,3 |
0,11791 |
0,12172 |
0,12552 |
0,12930 |
0,13307 |
0,13683 |
0,14058 |
0,14431 |
|
0,14803 |
0,15173 |
||||||
0.4 |
0,15542 |
0,15910 |
0,16276 |
0,16640 |
0,17003 |
0,17364 |
0,17724 |
0,18082 |
|
0,18439 |
0,18793 |
||||||
0.5 |
0,19146 |
0,19497 |
0,19847 |
0,20194 |
0,20540 |
0,20884 |
0,21226 |
0,21566 |
|
0,21904 |
0,00040 |
||||||
0.6 |
0,22575 |
0,22907 |
0,23237 |
0,23565 |
0,23891 |
0,24215 |
0,24537 |
0,24857 |
|
0,25175 |
0,25490 |
||||||
0.7 |
0,25804 |
0,26115 |
0,26424 |
0,26730 |
0,27035 |
0,27337 |
0,27637 |
0,27935 |
|
0,28230 |
0,28524 |
||||||
0.8 |
0,28814 |
0,29103 |
0,29389 |
0,29673 |
0,29955 |
0,30234 |
0,30511 |
0,30785 |
|
0,31057 |
0,31327 |
||||||
0.9 |
0,31594 |
0,31859 |
0,32121 |
0,32381 |
0,32638 |
0,32894 |
0,33147 |
0,33398 |
|
0,33646 |
0,33891 |
||||||
1.0 |
0,34134 |
0,34375 |
0,34614 |
0,34849 |
0,35083 |
0,35314 |
0,35543 |
0,35769 |
|
0,35993 |
0,36214 |
||||||
1.1 |
0,36433 |
0,36650 |
0,36864 |
0,37076 |
0,37286 |
0,37493 |
0,37698 |
0,37900 |
|
0,38100 |
0,38298 |
||||||
1.2 |
0,38493 |
0,38686 |
0,38877 |
0,39065 |
0,39251 |
0,39435 |
0,39617 |
0,39796 |
|
0,39973 |
0,40147 |
||||||
1.3 |
0,40320 |
0,40490 |
0,40658 |
0,40824 |
0,40988 |
0,41149 |
0,41308 |
0,41466 |
|
0,41621 |
0,41774 |
||||||
1.4 |
041924 |
0,42073 |
0,42220 |
0,42364 |
0,42507 |
0,42647 |
0,42785 |
0,42922 |
|
0,43056 |
0,43189 |
||||||
1.5 |
0,43319 |
0,43448 |
0,43574 |
0,43699 |
0,43822 |
0,43943 |
0,44062 |
0,44179 |
|
0,44295 |
0,44408 |
||||||
1.6 |
0,44520 |
0,44630 |
0,44738 |
0,44845 |
0,44950 |
0,45053 |
0,45154 |
0,45254 |
|
0,45352 |
0,45449 |
||||||
1.7 |
0,45543 |
0,45637 |
0,45728 |
0,45818 |
0,45907 |
0,45994 |
0,46080 |
0,46164 |
|
0,46246 |
0,46327 |
||||||
1.8 |
0,46407 |
0,46485 |
0,46562 |
0,46638 |
0,46712 |
0,46784 |
0,46856 |
0,46926 |
|
0,46995 |
0,47062 |
||||||
1.9 |
0,47128 |
0,47193 |
0,47257 |
0,47320 |
0,47381 |
0,47441 |
0,47500 |
0,47558 |
|
0,47615 |
0,47670 |
||||||
2.0 |
0,47725 |
0,47778 |
0,47831 |
0,47882 |
0,47932 |
0,47982 |
0,48030 |
0,48077 |
|
0,48124 |
0,48169 |
||||||
2.1 |
0,48214 |
0,48257 |
0,48300 |
0,48341 |
0,48382 |
0,48422 |
0,48461 |
0,48500 |
|
0,48537 |
0,48574 |
||||||
2.2 |
0,48610 |
0,48645 |
0,48679 |
0,48713 |
0,48745 |
0,48778 |
0,48809 |
0,48840 |
|
0,48870 |
0,48899 |
||||||
2.3 |
0,48928 |
0,48956 |
0,48983 |
0,49010 |
0,49036 |
0,49061 |
0,49086 |
0,49111 |
|
0,49134 |
0,49158 |
||||||
2.4 |
0,49180 |
0,49202 |
0,49224 |
0,49245 |
0,49266 |
0,49286 |
0,49305 |
0,49324 |
|
0,49343 |
0,49361 |
||||||
2.5 |
0,49379 |
0,49396 |
0,49413 |
0,49430 |
0,49446 |
0,49461 |
0,49477 |
0,49492 |
|
0,49506 |
0,49520 |
||||||
2.6 |
0,49534 |
0,49547 |
0,49560 |
0,49573 |
0,49585 |
0,49598 |
0,49609 |
0,49621 |
|
0,49632 |
0,49643 |
||||||
2.7 |
0,49653 |
0,49664 |
0,49674 |
0,49683 |
0,49693 |
0,49702 |
0,49711 |
0,49720 |
|
0,49728 |
0,49736 |
||||||
2.8 |
0,49744 |
0,49752 |
0,49760 |
0,49767 |
0,49774 |
0,49781 |
0,49788 |
0,49795 |
|
0,49801 |
0,49807 |
||||||
2.9 |
0,49813 |
0,49819 |
0,49825 |
0,49831 |
0,49836 |
0,49841 |
0,49846 |
0,49851 |
|
0,49856 |
0,49861 |
||||||
3.0 |
0,49865 |
0,49869 |
0,49874 |
0,49878 |
0,49882 |
0,49886 |
0,49889 |
0,49893 |
|
0,49896 |
0,49900 |
||||||
3.1 |
0,49903 |
0,49906 |
0,49910 |
0,49913 |
0,49913 |
0,49918 |
0,49921 |
0,49924 |
|
0,49926 |
0,49929 |
||||||
3.2 |
0,49931 |
0,49934 |
0,49936 |
0,49938 |
0,49940 |
0,49942 |
0,49944 |
0,49946 |
|
0,49948 |
0,49950 |
||||||
3.3 |
0,49952 |
0,49953 |
0,49955 |
0,49957 |
0,49958 |
0,49960 |
0,49961 |
0,49962 |
|
0,49964 |
0,49965 |
||||||
3.4 |
0,49966 |
0,49968 |
0,49969 |
0,49970 |
0,49971 |
0,49972 |
0,49973 |
0,49974 |
|
0,49975 |
0,49976 |
||||||
3.5 |
0,49977 |
0,49978 |
0,49978 |
0,49979 |
0,49980 |
0,49981 |
0,49981 |
0,49982 |
|
0,49983 |
0,49983 |
||||||
3.6 |
0,49984 |
0,49985 |
0,49985 |
0,49986 |
0,49986 |
0,49987 |
0,49987 |
0,49988 |
|
0,49988 |
0,49989 |
||||||
3.7 |
0,49989 |
0,49990 |
0,49990 |
0,49990 |
0,49991 |
0,49991 |
0,49992 |
0,49992 |
|
0,49992 |
0,49992 |
||||||
3.8 |
0,49993 |
0,49993 |
0,49993 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49995 |
|
0,49995 |
0,49995 |
||||||
3.9 |
0,49995 |
0,49995 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
|
0,49997 |
0,49997 |
||||||
4,0 |
0,49996 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 |
0,49997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
ДОДАТОК 2
Критичні точки розподілу χ 2
Число ступенів |
|
|
|
Рівень значущості |
|
||
|
|
|
|
|
|||
свободи k |
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
0,02 |
0,05 |
|
0,95 |
0,98 |
0,99 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6,64 |
5,41 |
3,84 |
|
0,004 |
0,001 |
0,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9,21 |
7,82 |
5,99 |
|
0,103 |
0,040 |
0,020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
11,34 |
9,84 |
7,82 |
|
0,352 |
0,185 |
0,115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
13,28 |
11,67 |
9,49 |
|
0,711 |
0,429 |
0,297 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
15,09 |
13,39 |
11,07 |
|
1,145 |
0,752 |
0,554 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
16,81 |
15,03 |
12,39 |
|
1,635 |
1,134 |
0,872 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
18,48 |
16,62 |
14,07 |
|
2,17 |
1,564 |
1,239 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
20,10 |
18,17 |
15,51 |
|
2,73 |
2,03 |
1,646 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
21,07 |
19,68 |
16,92 |
|
3,32 |
2,53 |
2,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
23,20 |
21,2 |
18,31 |
|
3,94 |
3,06 |
2,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
26,2 |
24,1 |
21,0 |
|
5,23 |
4,18 |
3,57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
29,1 |
26,9 |
23,7 |
|
6,57 |
5,37 |
4,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
32,0 |
29,6 |
26,3 |
|
7,96 |
6,61 |
5,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
34,8 |
32,3 |
28,9 |
|
9,39 |
7,91 |
7,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
37,6 |
35,0 |
31,4 |
|
10,85 |
9,24 |
8,26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Розробник: канд. фіз-мат. н., доцент |
(О. Б. Омецінська) |
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри |
|
вищої математики ДУТ |
|
“___” _________ 20___ року Протокол ___ |
|
Завідувач кафедри вищої математики |
|
(О. В. Барабаш) |
|