Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
8
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
695.7 Кб
Скачать

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу “Математичні методи в соціології ”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні

Лекція 4. Базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірно-

стей: Важливі розподіли дискретних та неперервних випадкових величин

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення з важливими розподілами дискретних та неперервних випадкових величин.

2. Навчити студентів застосувати подані формули для розв’язання прикладів.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1. Приклади деяких важливих для практичних застосувань розподілів дискретних випадко-

вих величин:

1.1.Біноміальний закон розподілу.

1.2.Закон розподілу Пуассона.

1.3.Геометричний розподіл

2. Приклади деяких важливих для практичних застосувань розподілів неперервних випад-

кових величин:

2.1.Показниковий закон розподілу (експоненціальний).

2.2.Рівномірний закон розподілу

2.3.Нормальний закон розподілу

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Таблиці значень функції для розподілу Пуассона, функцій Лапласа та Гауса

Завдання на самостійну роботу

Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 91-93, 105-113) та наступним текс-

том лекції.

Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії” із теорії ймовірностей: важливі для практичних застосувань розподіли дискретних та неперер-

вних випадкових величин, числові характеристики.

Розглянемо найбільш вживані закони розподілу випадкових величин, а також і приклади задач, де ці розподіли використовують.

1. Приклади деяких важливих для практичних застосувань розподілів дискретних випадко-

вих величин

1.1. Біноміальний закон розподілу

Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких по-

дія А настає з імовірністю р. Імовірності кількості Х можливих появ події в n випробуваннях (час-

тоти Х настання події, що належать множині {0;1;2;n}) визначаються за формулою Бернуллі:

i P X m .

3

 

P X m

Cm pm 1 p n m

n!

pmqn m , m=0,1,2,…,n. (1)

 

 

 

 

 

n

m!(n m)!

 

 

 

 

 

Цей розподіл носить назву: біноміальний закону

розподілу.

Його числові характеристики:

M ( X ) np,

D( X ) np 1 p .

 

 

 

 

Приклад 1. У цеху є 5 верстатів. Імовірність того, що верстат працює, дорівнює 0,8.

Знайти ймовірність того, що працюватимуть не менш як 3 верстати. ▼ За теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо:

P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 .

Імовірність того, що працює будь-який верстат, дорівнює 0,8. Тому справджується

біноміальний закон розподілу. Застосувавши (20), дістанемо

P X 3 C53 0,83 0, 22 C54 0,84 0, 2 0,85 0, 2048 0, 4096 0,32768 0,94208 . ▲

1.2. Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо вона набуває одного із злі-

ченної множини значень m {0;1;2;} з імовірностями:

P X m

am

 

e a ,

a 0 ; m=0,1,2,…

(2)

m!

 

 

 

 

Функція P X m am e a табулюється для різних значень m та а (див. ДОДАТОК 3). m!

Цей розподіл описує кількість подій, які настають на інтервалах часу однакової тривалості за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель: для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості дефектів на однакових пробах речовини тощо. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового об-

слуговування. Математичне очікування і дисперсія в розподілі Пуассона однакові і дорів-

нюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень а. У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності P X m

Якщо у схемі Бернулі незалежних повторних випробувань n велике і р прямує до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли a np .

Приклад 2. Визначити ймовірність потрапляння за контрольні межі не менш ніж 2 деталей із проби з 5 деталей, якщо автомат, із продукції якого беруться проби, обробляє 2 деталі за 1 хв і за зміну у його продукції виявляється 38 деталей, які виходять за контрольні межі. Застосувати для розв’язування задачі закон розподілу Пуассона.

4

▼ Застосуємо формулу розподілу Пуассона: P X m t m , m=0,1,… m!

Знайдемо – середню кількість бракованих деталей, які виготовляються за 1 хв. Якщо тривалість зміни 8год 60=480 хв, то ймовірність бракованої деталі за 1 хв. дорівнює =38:480 0,08.

Пробу з 5 деталей виготовляють за t 25 2,5 хв. Отже, λt 0, 08 2,5 0, 2 . Знайдемо шу-

5

λt

m

 

 

 

 

 

кану ймовірність: P X 2

 

0, 0175 . ▲

 

m 2

m!

 

 

 

1.3. Геометричний розподіл

 

Закон подається формулою:

 

 

 

P X m p 1 p m 1 , m=1,2,…

(3)

Геометричний закон розподілу має частота Х настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться до першого настання події. У формулі р – імовірність настання події в кожному випробуванні. Геометричний закон розподілу застосовується у задачах статистичного контролю якості і теорії надійності. Числові характеристики геометричного розпо-

ділу: M ( X )

1

; D( X )

1 p

.

 

 

 

p

 

p2

Приклад 3. При виготовленні виробу інструмент з імовірністю р=0,2 може бути пошкод-

женим і потребуватиме заміни. Знайти математичне очікування і дисперсію кількості виробів, які будуть виготовлені цим інструментом.

▼ Нехай випадкова величина Х — кількість деталей, виготовлених до заміни цим інструмен-

том. Ця випадкова величина може набувати значень 0, 1, 2, …. Побудуємо закон розподілу цієї вели-

чини. Вона набуває значення, що дорівнює нулю, якщо при виготовленні першого виробу інстру-

мент буде пошкоджено; P X 0 p 0,2 . Якщо інструмент буде пошкоджено при виготовленні

другого виробу, то Х=1, P X 1 p 1 p . Аналогічно P X 2 p 1 p 2 ,

P X 3 p 1 p 3 ,…, P X k p 1 p k ,... Для обчислення математичного очікування і

дисперсії зіставимо здобутий

закон

розподілу з геометричним законом розподілу

P Y m p 1 p m 1 , m 1, 2,....

Очевидно, що X Y 1. Скориставшись властивостями ма-

тематичного очікування та дисперсії, дістанемо:

M ( X ) M Y 1 M (Y ) 1

1

1 5 1 4 ;

 

p

 

 

 

 

 

D( X ) D Y 1 D(Y )

1 p

 

20 .▲

 

 

 

 

p2

 

 

 

5

2. Приклади деяких важливих для практичних застосувань розподілів неперервних випад-

кових величин

2.1. Показниковий закон розподілу (експоненціальний).

Щільність імовірності випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається фо-

рмулою:

Рис.1. Графік у=f(x) щільності імовірності показникового розподілу (4) випадкової величини Х

для показникового закону:

Рис.2. Графік у=F(x) функції розподілу випадкової величини Х, (5).

0,

якщо x 0,

f x

Рис.1, (4)

λe λx ,

якщо x 0,

де >0 є параметром розподілу. Числові харак-

теристики:

M ( X ) 1λ , D( X ) λ12 , Mo 0, Me lnλ2 .

Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності й теорії масового обслуго-

вування.

Зайдемо функцію розподілу імовірності

x

0

 

F (x) f (x)dx 0 dx

 

 

 

 

 

x

 

 

 

λe λx dx e λx

 

0x 1 e λx .

 

0

 

 

 

0,

якщо x 0;

 

F x 1-e λx ,

якщо x 0.

(5)

 

 

 

 

2.2. Рівномірний закон розподілу

Рівномірним називають такий розподіл неперервної випадкової величини Х, щільність імовірності якої на проміжку, якому належать всі можливі значення Х, має стале значення.

Нехай проміжок можливих значень рівномірно розподіленої випадкової величини є [a,b],

тоді її функція щільності розповілу матиме вигляд:

6

Рис.3. Графік у=f(x) функції щільності рівномірного розподілу випадкової величини

Х, (6)

Графік F(x) вказано на Рис.4.

F(x)

1

a

b

0,

 

якщо x a;

 

 

1

 

 

 

 

 

f x

 

 

, якщо a x

b; (6)

 

a

b

якщо x b.

 

0,

 

 

 

 

 

 

Графік f(x) вказано на Рис.3.

Числові характеристики:

M ( X )

a b

 

,

D( X )

b a 2 .

 

 

2

 

 

 

 

12

Функція розподілу імовірності для рів-

номірного закону (6):

 

 

 

 

 

 

 

 

x a;

0,

 

якщо

 

x a

 

 

 

 

F (x)

 

,

якщо

 

a x b; (7)

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

x b.

1,

 

якщо

Рис.4. Графік функції F(x) розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини Х, (7).

Якщо імовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі Ох, то вона має рівномірний закон роз-

поділу.

Наприклад, шкала будь-якого вимірювального приладу проградуйована в деяких одиницях.

Покази округлюють до найближчої цілої поділки. Похибку округлення при цьому можна розгля-

дати як випадкову величину Х, яка може набувати зі сталою щільністю розподілу будь-якого зна-

чення між двома сусідніми цілими поділками. Отже, Х має рівномірний розподіл.

7

Приклад 4. Випадкова величина Х розподілена рівномірно. Знайти її функцію щільності

імовірності, якщо P X 3 0.4,

a M (X ) 2 .

 

 

1

 

▼ Щільність рівномірного розподілу f x

 

. Отже, потрібно визначити проміжок

b a

(а,b) зміни випадкової величини. Складаємо систему рівнянь:

b

1

dx 0, 4;

 

 

 

3

b a

 

b

x

 

 

 

a b a dx 2.

b 3

b aa b2

0, 4;

2.

0, 6b 0, 4a 3;

b 7, a 3 .

 

a.

 

b 4

 

 

0,

якщо x -3;

Отже,

 

якщо

- 3 x 7;

f x 0.1,

 

0,

якщо

x 7 .

 

 

 

 

2.3. Нормальний закон розподілу

Нормальним називають розподіл неперервної випадкової величини X, щільність ймовір-

ності якої описується функцією Гауса:

 

 

1

 

 

( x a)2

 

 

f (x)

 

 

e

 

2

,

(8)

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де а, – параметри розподілу.

Імовірнісний зміст параметрів: a M ( X ), σ2 D(X ) .

Випадкову величину Х, розподілену за нормальним законом позначають X N(a;σ) .

При побудові графіка у=f(x) функції щільності імовірності нормального розподілу, Рис.5,

використовують такі її властивості:

1)

функція визначена для всіх х;

 

 

2)

крива розміщена над віссю ох;

 

 

3)

вісь ох – горизонтальна асимптота графіка;

 

 

4)

при х=а функція має максимум, що дорівнює

1

;

 

σ

5) графік функції симетричний відносно прямої х=а; 6) точками перегину графіка є точки з координатами:

 

1

 

 

 

 

1

a σ;

 

 

 

 

, a σ;

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ 2π e

 

σ 2π e

8

Рис.5

Із Рис.5 бачимо, що графік f(x) розміщений симетрично відносно проведеного перпендику-

ляра в точці х=а. Зі зміною значень параметра а крива f(x) зміщується, не змінюючи при цьому своєї форми уздовж осі Ох: праворуч, якщо а>0 або ліворуч, якщо a<0; f(a)=max, отже, мода

Мо=а. Оскільки площа криволінійної трапеції, обмеженої згори кривою щільності імовірності, а

знизу – віссю Ох, дорівнює 1, то при збільшені значення – середнього квадратичного відхи-

лення випадкової величини графік f(x) має менший пік, f(a)=max, і стає більш пологішим, див.

Рис.5 при 2> 1, точки перегину віддаляються від т.х=а і їхні ординати зменшуються.

Для нормального розподілу мода, асиметрія та ексцес мають значення відповідно:

Mo(X ) Me(X ) a,

 

 

As(X ) 0, Ek(X ) 3 .

 

Якщо задати параметри нормального розподілу, взявши a 0,

σ 1, то отримаємо нор-

мований (стандартний) нормальний розподіл,

 

X N(0;1) . Щільність нормованого нормально-

го розподілу описується функцією Гауса, див. Рис.5 при =1,

 

 

1

 

 

 

x2

 

 

f (x)

 

 

 

e

2 .

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значення функції Гауса табульовано (див. ДОДАТОК 1). Із цією функцією ми зустрічались при розв’язанні задач на застосування локальної теореми Лапласа в схемі Бернуллі за великих зна-

чень числа випробувань.

Знайдемо функцію розподілу імовірності для нормального закону:

x

 

 

1

 

x

(t a)2

 

F (x)

f (x)dx

 

 

e

2

dt ,

(10)

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або у випадку нормованого нормального розподілу

 

1

 

x

 

F (x)

 

e t2 / 2dt .

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Це інтеграл, який не береться в елементарних функціях. Виразимо його через функцію, що табулюється:

 

1

 

x

1

0

1

 

x

F (x)

 

e t2 /2dt

 

e t2 /2dt

 

e t2 /2dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де перший інтеграл в сумі дорівнює 0,5, як інтеграл від парної щільності розподілу нормальної випадкової величини по півпроміжку (0, ) її можливих значень, симетричному відносно матема-

тичного сподівання M(X)=0, а другий доданок суми є функція Лапласа:

 

1

 

x

 

(x)

 

e t2 / 2dt .

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Ця функція непарна, Ф(-х)=-Ф(х), і табулюється для х 0 (див. ДОДАТОК 2), із зростанням х вона монотонно зростає від нульового значення при х=0 до граничного значення 0,5 при х , для зна-

чень х 4 функція Ф(х) практично не змінюється і наближено дорівнює 0,5. Із цією функцією ми зустрічались при розв’язуванні задач на застосування інтегральної теореми Муавра – Лапласа в схемі Бернуллі за великих значень числа випробувань.

Отже, функція розподілу ймовірності для нормального закону має вигляд, Рис.6:

F(x) (x) 0,5 .

(13)

F(х)

1

0,5

0

а

х

Рис.6. Графік функції розподілу ймовірності для нормального закону, (10)

Для розрахунку імовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини X в

проміжок (α,β) використовується формула:

 

β a

 

α a

,

(14)

P α X β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

σ

 

 

з якої у випадку симетричного відносно математичного сподівання а проміжку танемо:

P(

 

X a

,

 

) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

Якщо взяти , то отримаємо

(a ; a ) діс-

(15)

10

 

 

 

2 3 2 0, 49865 0,9973 .

P(

X a

3σ) 2

 

 

 

 

 

σ

 

Отже, імовірність того, що за абсолютною величиною відхилення не перевищить потроє-

ного середнього квадратичного відхилення, практично рівна одиниці. В цьому й полягає суть пра-

вила трьох сигм: якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її від-

хилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного

відхилення.

На практиці правило трьох сигм застосовують так: якщо розподіл досліджуваної випадко-

вої величини невідомий, але правило трьох сигм виконується, то є підстави припустити, що дослі-

джувана величина розподілена нормально; інакше – вона не розподілена нормально.

Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці, йому під-

лягають також і випадкові величини такі як зріст людини, дальність польоту снаряду, похибка ви-

мірювань тощо.

Приклад 5. Похибка спостереження Х при вимірюванні довжини розподілена нормально з a 5 мм і σ 4 мм . Знайти ймовірність того, що виміряне значення відхилиться від істинного (що

єматематичним очікуванням a 5 мм ) більш ніж на 10 мм.

Згідно з умовою потрібно знайти P X 10 . Виразимо цю ймовірність через ймовірність

протилежної події і застосуємо формулу (14):

 

 

 

 

 

10 5

 

10 5

 

P

X

10 1 P

X

10 1 P 10 X 10 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

1 1, 25 3,75 1 0,3944 0, 4999 0,1057 .▲

Заключна частина

В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: важливі розподіли дискретних та неперервних випадкових величин, числові харак-

теристики. Показано застосування поданих формул до розв’язання прикладів.

Соседние файлы в папке архив прош.сесий