архив прош.сесий / архив прош.сесий / L_5_2014_MMS_Bazova

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу “Математичні методи в соціології ”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні

Лекція 5. Системи випадкових величин; таблиця розподілу та умовні розподіли компонен-

ти двовимірної дискретної випадкової величини.

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення із законом розподілу та умовними розподілами компоненти двовимірної дискретної випадкової величини.

2. Навчити студентів застосувати подані формули та правила для розв’язання прикладів.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ

1. Поняття про систему випадкових величин

2. Система двох дискретних випадкових величин. Таблиця розподілу

3.Умовні розподіли компоненти системи дискретних випадкових величин.

4.Поняття незалежності двох випадкових величин. Необхідна і достатня умова незалежно-

сті компонент двовимірної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 120-123) та наступним текстом лекції.

Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-

гії ”із теорії ймовірностей: Системи випадкових величин. Таблиця розподілу та умовні розподіли

компоненти двовимірної дискретної випадкової величини. Необхідна та достатня умови незалеж-

ності компонент двовимірної дискретної випадкової величини, заданої таблицею розподілу

1. Поняття про систему випадкових величин

Коли результат випробування характеризується не однією випадковою величиною, а суку-

пністю випадкових величин X1, X2 ,..., Xn , то таку систему випадкових величин називають ба-

гатовимірною випадковою величиною.

Наприклад, успішність студента-випускника характеризується системою n випадкових ве-

личин X1, X2 ,..., X n - оцінками з різних дисциплін у дипломі. Стан погоди в певній місцевості в

певний час доби характеризується системою випадкових величин: Х1 – температура повітря, Х2 –

вологість повітря, Х3 – атмосферний тиск, Х4 – швидкість вітру тощо.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін всі основні означення,

які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

Геометрично двовимірну (Х1; Х2) та тривимірну (Х1; Х2 , Х3) випадкові величини можна зо-

бразити випадковою точкою або випадковим радіус-вектором площини ОХY чи тривимірного простору ОХYZ; при цьому випадкові величини Х, Y та Х, Y, Z є компонентами (складóвими) цих векторів. У випадку n–вимірного простору (n>3) також говорять про випадкові точки цього прос-

тору, хоча геометрична інтерпретація тут втрачає свою наочність.

3

Розглядають системи дискретних випадкових величин, неперервних випадкових величин, а

також і системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини.

2. Система двох дискретних випадкових величин. Таблиця розподілу

Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами. Одним із спо-

собів задання закону розподілу системи двох дискретних випадкових величин є таблиця розпо-

ділу з подвійним входом (матриця розподілу).

Таблиця 1 задає закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y), величина компо-

ненти Х якої може набувати m різних значень, а компоненти Y відповідно – n значень.

Таблиця 1. Таблиця розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y)

	y j	у1	у2	…	yj	…	уn
xi
х1		р11	р12	…	р1j	…	р1n
х2		р21	р22	…	р2j	…	р2n
…		…	…	…	…	…	…
xi		рi1	рi2	…	рij	…	рin
…		…	…	…	…	…	…
хm		рm1	рm2	…	рmj	…	рmn

Перший стовпчик таблиці містить усі можливі значення складової Х, а перший рядок – всі можливі значення складової Y. У клітинці, яка стоїть на перетині рядка xi та стовпчика yj вказано ймовірність рij=P(X=xi;Y=yj) того, що випадкова величина (Х;Y) набуде значення (xi;yj).

Так як події ( X xi ;Y y j ), (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n) несумісні в одному і тому само-

му випробуванні та утворюють повну групу, то сума ймовірностей, розміщених в усіх клітинках

m n

таблиці, дорівнює одиниці: pij 1 .

i 1 j 1

Зауваження 1. Для подвійної суми має місце формула

m n

pij

i 1 j 1

m		n		n		m
		pij				pij		,
i 1		j 1		j 1		і 1

тобто значення подвійної суми не залежить від порядку виконання операції сумування.

Рядок ймовірностей рxi=P(X=xi) для ряду розподілу компоненти Х (одновимірної ви-

падкової величини) можна отримати, обчисливши ймовірність події X xi (i 1,2,...,m ) як суму ймо-

вірностей несумісних подій:

p

xi

P( X x )

P

( X x ) (Y y ) ... ( X

x ) (Y

y

) ... ( X x ) (Y y

)

i

i

1

i

j

i

n

n

pi1

... pij

... pin pij ;

i 1, 2,..., m

j 1

4

Аналогічно для рядка ймовірностей рyj=P(Y=yj) ряду розподілу компоненти Y

p

yj

P(Y y

)

P (Y y

) ( X x ) ... (Y y

) ( X x ) ... (Y y

) ( X x

m

)

j

j

1

j

i

j

m

pi1

... pij ... pim

pij ;

j 1, 2,..., n

i 1

Правило 1. Щоб з таблиці розподілу знайти ймовірність того, що одновимірна випадкова величи-

на, компонента Х чи компонента Y, набуде певного значення, потрібно додати ймовірності із від-

повідного цьому значенню рядка чи стовпчика таблиці розподілу, див. табл.1.

3. Умовні розподіли компоненти системи дискретних випадкових величин

Якщо зафіксувати значення однієї із компонент, наприклад, покласти Y=yj, то отриманий розподіл випадкової величини Х називається умовним розподілом Х за умови Y=yj. Ймовірності

рyj(xi) цього розподілу будуть умовними ймовірностями події (X=xi), знайденими за умови, що

подія (Y=yj) відбувається. Оскільки ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймові-

рності однієї з них і умовної ймовірності іншої, отримаємо в наших позначеннях:

pij	P ( X xi ) (Y y j ) P(Y y j ) pyj (xi ) pуj	p (xi ) ,	(1)
		yj

Звідси для розрахунку умовної ймовірності одержимо формулу:

p		(x )	P(( X xi ) (Y y j ))			pij		pij	,	j 1, 2,..., n ,	(2)
	yj							m
		i	P(Y	y j )		pyj
								pij

i 1

отже, маємо n рядів умовного розподілу компоненти X відповідно до n різних можливих зна-

чень компоненти Y.

Аналогічно умовний розподіл випадкової величини Y за умови X=xi :

p		( y	)	P(( X xi ) (Y y j ))		pij		pij	,	i 1, 2,..., m ,	(3)
	xi							n
		j		P( X xi )		pxi
								pij

j 1

m рядів умовного розподілу компоненти Y відповідно до m різних можливих значень X.

Правило 2. Щоб з таблиці розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) знайти ряд умовного розподілу однієї з компонент Х (чи Y), за умови, що інша компонента набуває певного значення

Y=yj (чи X=xi), потрібно ймовірності із j-того стовпця (чи i-того рядка) таблиці розподілу ділити

на ймовірність набуття компонентою Y значення yj , тобто на суму ймовірностей із j-того стовпця (чи на ймовірність набуття компонентою Х значення хі , тобто на суму ймовірностей із і-того рядка).

4. Поняття незалежності двох випадкових величин. Необхідна і достатня умова незалежності компонент двовимірної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.

Означення 1. Випадкові величини Х, Y називаються незалежними одна від іншої, якщо закон ро-

зподілу кожної не залежить від того, якого значення в результаті випробування набуває інша.

5

Для незалежних випадкових величин умовні розподіли кожної з них збігаються з безумовними.

Отже, при відомій таблиці розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y), можна знайти безу-

мовні розподіли її компонент (Правило 1), а також і їхні умовні розподіли (2), (3), Правило 2. Але за одними лише безумовними розподілами компонент (двома рядами розподілу) відновити закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) (таблицю розподілу) можна лише у випадку не-

залежних випадкових величин Х та Y, тоді

рij=P(X=xi;Y=yj)=P(X=xi) P(Y=yj)=рi рj

рij = рi рj,

(4)

на відміну від формули (1), згідно з якою для відновлення матриці розподілу системи (Х;Y) залеж-

них випадкових величин потрібно знати ряд розподілу однієї із компонент (Y або Х ) та n рядів умовного розподілу компоненти X (або m рядів умовного розподілу компоненти Y ). Рівність (4) є

необхідною і достатньою умовою незалежності компонент системи випадкових величин.

Приклад 1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (Х;Y) задано

таблицею розподілу, Таблиця 2.

Таблиця 2

X=xi ; і=1…m; m=2		Y=yj ; j=1…n; n=4
	-1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Знайти: а) ймовірність P(Y X ) ;

б) закони розподілів одновимірних випадкових величин Х та Y;

в) умовний закон розподілу випадкової величини Х за умови Y=2 та умовний закон розпо-

ділу випадкової величини Y за умови Х=1.

Розв’язання:

▼ а) Щоб знайти ймовірність P(Y X ) додаємо ймовірності рij несумісних подій з таблиці

розподілу, для яких y j xi (Таблиця 2).
Отримаємо:	P(Y X ) 0,10 0, 25 0,10 0,05 0,00 0,5 .
б) Для знаходження законів розподілів одновимірних випадкових величин Х та Y застосує-
мо Правило 1.	Випадкова		величина		Х може набувати значень: Х=1 з імовірністю
p1 0.10 0.25 0.30 0.15 0.8			; Х=2 з імовірністю p2 0.10 0.05 0.00 0.05 0.2 , тобто ряд
розподілу компоненти Х має вигляд, вказаний в Таблиці 3.
	Таблиця 3. Ряд розподілу компоненти Х
		xi		1		2
		рxi		0,8		0,2

6

В аналогічний спосіб отримаємо ряд розподілу компоненти Y, вказаний в Таблиці 4.

Таблиця 4. Ряд розподілу компоненти Y

yj

-1

0

1

2

рyj

0,2

0,3

0,3

0,2

в) Умовний закон розподілу Х за умови, що Y=2, отримаємо, застосувавши формулу (2), і

відповідно Правило 2: ймовірності pij

, які задано в останньому стовпчику (n=4) таблиці 2 суміс-

ного розподілу

випадкових

величин

Х і

Y, розділимо на їхню

суму, тобто на величи-

ну p(Y 2) 0, 2

відповідно до ряду розподілу компоненти Y, Табл.4.

Отримаємо:

Таблиця 5. Умовний закон розподілу Х за умови, що Y=2

xi

1

2

									p			(x )		0,15		0, 75			0, 05			0, 25
											y 2		i	0, 2						0, 2
Аналогічно, щоб отримати умовний закон розподілу Y за умови Х=1, застосуємо формулу
(3) і відповідно Правило 2: ймовірності																pij , які розміщено у першому рядку (m=1) таблиці 2 сумі-
сного розподілу						випадкових							величин			Х і Y,		розділимо на їхню								суму, тобто на величину
p( X 1) 0,8 відповідно до ряду розподілу компоненти Х, Табл.3.																										Отримаємо:
						Таблиця 6. Умовний закон розподілу Y за умови, що Х=2
		y j									-1					0					1						2
	p		( y		)			0,1		0,125					0, 25		0,3125						0, 3	0, 375				0,15	0,1875
		x1		j			0,8							0,8							0,8						0,8

▲

Заключна частина

В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: Системи випадкових величин; таблиця розподілу та умовні розподіли компоненти

двовимірної дискретної випадкової величини; необхідна та достатня умови незалежності компо-

нент двовимірної дискретної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.

Канд. фіз-мат. н., доцент

(О. Б. Омецінська)