Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
513.65 Кб
Скачать

1

ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ

Кафедра вищої математики

ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________

О. В. Барабаш "___" _____________20___ року

ЛЕКЦІЯ

з навчальної дисципліни

Математичні методи в соціології

Тема 1. Вступ до курсу – предмет, метод та мета курсу “Математичні методи в соціології”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні.

Лекція 1. Вступ до курсу – предмет, метод та мета курсу “Математичні методи в соціології ”. Основні задачі математичної статистики. Базовий матеріал із теорії ймовірностей: випадкові величини та їхні закони розподілу

Навчальний час – 1,5 годин.

Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-

товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія

Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення з метою та завданнями курсу “Математичні методи в соціології”, з основними задачами математичної статистики.

2. Освоєння базового матеріалу із теорії ймовірностей: випадкові величини та їхні закони розподілу.

Обговорено та схвалено на засіданні кафедри

“___” _________ 20___ року Протокол №____

Київ – 20__

2

Зміст

Вступ – мета та завдання курсу “Математичні методи в соціології ”.

1. Предмет, метод та мета курсу “Математичні методи в соціології ”. Основні задачі мате-

матичної статистики.

2. Базовий матеріал із теорії ймовірностей: випадкові величини та їхні закони розподілу.

2.1. Ряд розподілу і многокутник ймовірностей (полігон ймовірностей) дискретної випад-

кової величини.

2.2. Фyнкція poзпoдiлy випaдкoвoї вeличини (iнтeгpaльна фyнкцiя)та її властивості.

Заключна частина.

Л I Т Е Р А Т У Р А

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.

Наочні посібники

Завдання на самостійну роботу

1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 83-93) та наступним текстом лекції.

Вступ – мета та завдання курсу “Математичні методи в соціології ”.

Мета курсу “Математичні методи в соціології ”:

- навчити студентів використовувати теоретичні положення та методи математичної статистики в прак-

тичних соціологічних дослідженнях;

- дати необхідні теоретичні знання та основні напрями їх застосування при складанні соціально – матема-

тичних моделей;

- виробити вміння самостійно використовувати математичні методи в практичних задачах, що виникають в соціологічних дослідженнях.

Завдання курсу “Математичні методи в соціології ”:

- виробити первинні навички математичного дослідження в соціологічних процесах ( побудова математи-

чних моделей соціологічних задач; вибір оптимального методу їх розв’язання; інтерпретація, аналіз та оцінка одержаних результатів тощо.);

- прищепити вміння застосовувати теоретичні знання в практиці розв’язання соціологічних задач з доведен-

ням їх до числового результату.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен знати:

- основні означення та теоретичні положення математичної статистики;

-основні математичні методи, які застосовуються в соціологічних дослідженнях;

-аналітичні моделі в соціології.

вміти: - обчислювати основні числові характеристики варіаційних рядів;

-складати соціологічні таблиці за даними вибіркових обстежень;

-використовувати методи кореляційного, регресійного та факторного аналізу;

-використовувати сучасні програмні продукти для обробки результатів статистичних досліджень соціологічних явищ.

Для успішного засвоювання матеріалу даної дисципліни необхідно, щоб студенти ма-

ли базові знання з лінійної алгебри, математичного аналізу та теорії імовірностей.

3

1. Предмет математичної статистики, основні задачі

Математична статистика - наука, яка за допомогою математичних методів встановлює закономірності масових явищ, їхні взаємозв'язки, систематизує та обробляє результати експериментів. В математичній статистиці масовим називається явище, яке описується сукупністю однорідних елементів, що мають деякі спільні властивості. Завдання математичної статистики полягає у тому, щоб за результатами обмеженого числа спостережень над масовими явищами скласти уявлення про ті ймовірнісні закономірності, яким ці явища підлягають, і передбачити протікання їх у майбутньому. Математична статистика базується на поняттях та методах теорії ймовірностей. В теорії ймовірностей вивчаються різні поняття, пов’язані з випадковими подіями і випадковими величинами; найважливішими з них є поняття ймовірності події, функції розподілу випадкової величини, математичного сподівання тощо. Але в більшості випадків, що зустрічаються на практиці, точне значення ймовірності або точний вираз функції розподілу нам невідомі. Тому постає питання про їх експериментальне визначення.

Предметом математичної статистики є розробка методів реєстрації, опису та аналізу статистичних експериментальних даних, отриманих в результаті спостережень масових випадкових явищ, щоб у подальшому отримати науково обґрунтовані практичні висновки. Використання фактично отриманих даних і є особливою рисою статистичного методу.

В дослідженнях з математичної статистики можна виокремити декілька напрямків:

теорія вибірок, присвячена методам формування вибірок з генеральної сукупності експери-

ментальних даних, об’єм якої настільки великий, що не дозволяє проаналізувати її цілком;

теорія оцінок, яка визначає методи та способи оцінки невідомих параметрів розподілу сукупності або розв’язання задачі передбачення наслідків експерименту на підставі експериментально отриманих даних;

перевірка статистичних гіпотез (тести), яка використовується, коли потрібно вирішити, яка

зпропозицій про розподіл експериментально отриманих даних більш правдоподібна;

регресійний аналіз, задачею якого є підбір математичних формул, що якнайкраще описують експериментальні дані;

дисперсійний аналіз, який дозволяє оцінити розсіювання експериментальних даних і порівняти його з конкретною ситуацією, до якої відносяться дані.

Задачі математичної статистики можна умовно розділити на дві групи:

1.Задачі методів збору та групування даних: задача визначення числа необхідних випробувань до початку дослідження (планування експерименту); задачі визначення способів збору та групування статистичних відомостей, отриманих в результаті експериментальних спостережень.

2.Задачі в області аналізу статистичних даних: задача визначення закону розподілу ви-

падкової величини (або системи випадкових величин) за статистичними даними; задачі перевірки правдоподібності гіпотез (про вигляд невідомого закону розподілу); задача визна-

чення невідомих параметрів розподілу; задача визначення залежності випадкової величини від однієї або декількох випадкових величин.

Перші дослідження в галузі математичної статистики належать Я. Бернуллі і П. Лапласу. Значний внесок у розвиток математичної статистики зробили вчені П.Л. Чебишов, А.А. Марков, О.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн, Ю.В. Лінник, А.М. Колмогоров, В.І. Романовський, Є.Є. Слуцький, М.В. Смирнов, Г. Крамер, К. Пірсон, Стьюдент, Ф. Фішер, Ю. Нейман, А. Вальд, Ю. Нейман та інші.

Оскільки математична статистика базується на поняттях та методах теорії ймовірностей, відповідний матеріал короткого курсу теорії ймовірностей, пройдений студентами на 1-му курсі, що стосувався основних понять та теорем теорії імовірностей: випадкова подія та її ймовірність, алгебра подій, теореми про імовірність складної події та повну ймовірність, формули Бернуллі та Пуассона, вважаємо відомими. Матеріал даного короткого лекційного курсу охвачує поняття випадкових величин дискретних та неперервних, їхніх числових характеристик. Більш детально розглядатимуться системи випадкових величин та їхні числові характеристики.

2. Базовий матеріал із теорії ймовірностей: випадкові величини та їхні закони розподілу.

Поняття події в теорії ймовірностей становить абстрактну модель якісної ознаки, яка відбиває лише два альтер-

нативні судження: є подія (відбулася) або немає (не відбулася). Подальший розвиток теорії ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина – абстрактної моделі кількісної ознаки.

4

Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини

Означення 1. Під випадковою величиною розуміють змінну величину, яка у випробуванні

з випадковими наслідками набуває одного із своїх можливих значень, причому наперед, до ви-

пробування, невідомо, якого саме.

Приклади випадкових величин приведено в Таблиці 1.

Таблиця 1.

Випробування з випадковими нас-

Випадкова величина

Значення

ви-

при-

лідками

 

 

падкової

ве-

кладу

 

 

 

личини

 

1

Відбір 5 зразків з партії товарів і реєст-

Кількість бракованих зразків

0, 1, 2, 3, 4, 5

 

рація числа бракованих

серед відібраних з партії 5

 

 

 

 

зразків

 

 

 

2

Реєстрація кількості дорожніх пригод

Кількість

дорожніх пригод

0, 1, 2, 3, ...

 

 

на певній ділянці дороги протягом тиж-

за тиждень

 

 

 

 

ня

 

 

 

 

3

Реєстрація денного попиту на машини

Кількість

замовлень на ма-

0, 1, 2, 3, ...

 

 

 

шини протягом дня

 

 

4

Реєстрація кількості пострілів до пер-

Кількість зроблених пострі-

1, 2, 3, ...

 

 

шого влучення

лів до першого влучення

 

 

5

Реєстрація терміну роботи проданого

Тривалість

роботи телевізо-

0;

 

 

телевізора до першого ремонту

ра до першого ремонту

 

 

6

Вимірювання величини сили струму з

Величина

похибки вимірю-

(- /2;+ /2), де

 

округленням результату до найближчої

вання

 

– ціна поділ-

 

поділки на шкалі амперметра

 

 

ки на шкалі

 

Означення 2. Дискретною випадковою величиною називають таку випадкову величину, множина можливих значень якої скінченна або, якщо ця множина нескінченна, то її елементи можна розмістити у певному порядку і перенумерувати натуральними числами (зліченна множина), причому всі можливі зна-

чення є окремими ізольованими числами.

Дискретними є випадкові величини наведені у прикладах 1, 2, 3, 4 Таблиці 1.

Означення 3. Неперервною випадковою величиною називають таку випадкову величину, множина можливих значень якої неперервно (щільно) заповнює деякий числовий проміжок.

Неперервними є випадкові величини наведені у прикладах 5 та 6 Таблиці 1.

Строге визначення неперервної випадкової величини сформульовано Означенням 3 .

Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z,…, а їх значення – відповідними маленькими літерами x, y, z,…

Будемо позначати ймовірність того, що дискретна випадкова величина X набуде значення x (з-

посеред своїх можливих значень) так: P(X=x).

Означення 4. Законом розподілу випадкової величини називають таке відношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини (дискретної) або множинами значень випад-

кової величини (неперервної) та ймовірностями, що їм відповідають. Закон розподілу дає повний опис ви-

падкової величини.

5

2. Різні способи задання закону розподілу випадкової величини

1) Ряд розподілу таблична форма задання закону розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини X сукупністю двох векторів – вектором хі (і=1,2, n) всіх можливих значень випадкової величини та вектором ймовірностей рі (і=1,2, n) для значень хі. Вектор хі задають у порядку зростання його коорди-

нат, тобто хі<хі+1.

X

х1

х2

х3

........

хn

 

 

 

 

 

 

Р

р1

р2

р3

........

рn

 

 

 

 

 

 

Згідно з Означенням 1 випадкової величини, події, яким відповідають числові значення випадкової величини X: х1, х2, , хn, утворюють повну групу несумісних подій в одному і тому самому випробуванні,

тому

р1+р2+ +рn=1,

(1)

або якщо величина X набуває нескінченної зліченної множини значень, то

 

 

 

pi 1 .

(1 )

i 1

Рівність (1) чи (1 ) називають умовою нормування для дискретної випадкової величини (одиниця розподілена між значеннями випадкової величини, звідси і термін „розподіл”).

Цю форму закону розподілу не можна застосувати до неперервної випадкової величини. Її можливі значення неперервно (щільно) заповнюють деякий числовий проміжок, тому, по-перше, неможливо перера-

хувати всі її можливі значення, і по-друге, ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окре-

мого точкового значення на проміжку можливих значень випадкової величини дорівнює нулю (згідно з гео-

метричним визначенням ймовірності випадкової події чи за Теоремою 2 (див. далі)), хоча ця подія можлива.

Але є сенс розглядати ймовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервал, що охвачує дану точку, нехай навіть скільки завгодно малий.

2) Многокутник ймовірностей (полігон ймовірностей, від грецького - кут) дискретної ви-

падкової величини X – ламана, яка в прямокутній системі координат з’єднує точки (хі;рі) у порядку зростан-

ня значень хі, тобто це графічне представлення ряду розподілу. Сума ординат ймовірнісного многокутника дорівнює одиниці.

На Рис.1 для випадкової величини Х, заданої рядом розподілу в Прикладі 1, вказано полігон ймо-

вірностей

Рис.1

6

3) Функція розподілу випадкової величини X:

 

F(х)=P{X<x},

(2)

яку називають інтегральною функцією розподілу. Геометрично величина F(х) функції розподілу при значенні аргументу х інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина X (випад-

кова точка) в результаті випробування потрапить лівіше заданої точки x на числовій осі, Рис.2.

Рис.2

Теорема 1. Ймовірність попадання випадкової величини X в заданий проміжок [х1;х2) до-

рівнює приросту функції F(х) розподілу ймовірностей на цьому проміжку.

Доведення. Подамо подію А={X<х2} сумою несумісних подій В={X<х1} і С={х1 X<х2},

Рис.3. Застосуємо теорему про ймовірність суми несумісних подій: Р{X<х2}=Р{X<х1}+Р{х1 X<х2}.

Звідси на підставі означення інтегральної функції F(x) – формули (2), дістанемо:

 

Р{х1 X<х2}=F(х2)–F(х1),

(3)

що й потрібно було довести.

 

Рис.3. Пoдiя A є cyмою нecyмicниx пoдiй A B C

Наступні властивості функції розподілу ймовірностей випадкової величини X виплива-

ють із формули (2) її визначення і формули (3).

1). Функція розподілу ймовірностей випадкової величини – неспадна, а область її можли-

вих значень є проміжок [0;1].

2). Якщо можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (a;b), то: F(x)=0,

при x a; F(x)=1, при x>b.

3). Якщо можливі значення випадкової величини розміщені на всій числовій осі, то:

lim F(x) 0

;

lim F(x) 1 .

x

 

x

7

Приклад 1. Задано закон розподілу дискретної випадкової величини X у вигляді наступно-

го ряду розподілу

X

3

1,5

2

4

5

 

 

 

 

 

 

Р

0,1

0,2

0,1

0,3

0,3

 

 

 

 

 

 

а). Знайти закон розподілу X у вигляді функції розподілу ймовірностей, F(x).

б) Побудувати графік функції розподілу.

а) Для знаходження функції розподілу ймовірностей, F(x), будемо задавати різні зна-

чення x і знаходити для них F(x)=P(X<x).

1.Якщо x≤ 3, то відповідно до заданого ряду розподілу ймовірностей випадкової величини X, F(x)=P(X< 3)=0, в тому числі і при x= 3 F( 3)=P(X< 3)=0, отже, F(x)=0.

2.Якщо 3<x≤ 1,5, то F(x)=P(X= 3)=0,1.

3.Якщо 1,5<x≤2, то F(x)=P(X= 3)+P(X= 1,5)=0,1+0,2=0,3.

4.Якщо 2<x≤4, то F(x)=P(X= 3)+P(X= 1,5)+P(X=2)=0,1+0,2+0,1=0,4.

5.Якщо 4<x≤5, то F(x)=P(X= 3)+P(X= 1,5)+P(X=2)+P(X=4)=0,1+0,2+

+0,1+0,3=0,7.

6. Якщо x>5, то F(x)=P(X= 3)+P(X= 1,5)+P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)= =0,1+0,2+0,1+0,3+0,3=1.

Отримали:

0,

якщо

 

x 3;

0.1,

якщо

3 x 1, 5;

 

 

 

 

0.3,

якщо 1, 5

x 2;

F (x)

 

 

x 4;

0.4,

якщо

2

0.7,

якщо

4

x 5;

 

 

 

x 5.

1,

якщо

 

б) Згідно з побудованою функцією F(x) розподілу ймовірностей випадкової величини Х її

графік має вигляд, вказаний на Рис.4.▲

Рис.4

8

Зауваження 1. Функція F(х) розподілу дискретної випадкової величини є ступінчатою, а

саме, – має розриви в кожній точці х=хі своїх можливих значень; при цьому вона неперервна зліва

в точках розриву, Рис.4.

Наведемо строге визначення неперервної випадкової величини.

Означення 3 . Випадкова величина Х називається неперервною, якщо її функція F(x) розпо-

ділу ймовірностей неперервна у кожній точці х ( ; ), і диференційовна скрізь, окрім, можливо,

скінченного числа окремих точок (кусочно диференційовна).

Теорема 2. Ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окремого значення

а дорівнює нулеві, тобто Р{X=а}=0.

Доведення. Покладемо у формулі (3) х1=а, х2=а+ х. Дістанемо:

Р{аX<а+ х}=F(а+ х)–F(а). (4)

Перейдемо в цій рівності до границі при х 0. Оскільки для неперервної випадкової ве-

личини функція F(х) розподілу ймовірностей є неперервною, то нескінченно малим приростам х

її аргументу відповідає нескінченно малий приріст самої функції, і з рівності (4) випливає, що

Р{X=а}=0, що й потрібно було довести.

Зауваження 2. Оскільки ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окре-

мого точкового значення, в тім числі значення х1 чи значення х2, дорівнює нулеві, то для неперер-

вної випадкової величини X справедливі рівності:

Р{х1 X < х2} = Р{х1 < X х2} = Р{х1 X х2} = Р{х1 < X < х2}.

(5)

Отже, формула (3) у випадку неперервної випадкової величини має місце як для закритого проміжку [х1; х2], так і для відкритого чи напіввідкритого проміжку.

Зауваження 3. Якщо кінці проміжку [х1; х2] не співпадають ні з одним із можливих зна-

чень дискретної випадкової величини, то формула (3) має місце також і для закритого проміжку

[х1; х2] та для відкритого чи напіввідкритого проміжку.

Заключна частина

В лекції викладено мету та завдання курсу “Математичні методи в соціології ”, основні за-

дачі математичної статистики. Подано базовий матеріал із теорії ймовірностей: випадкові величи-

ни та їхні закони розподілу, а саме: ряд розподілу і многокутник ймовірностей дискретної випад-

кової величини та фyнкцію poзпoдiлy випaдкoвoї вeличини.

 

Канд. фіз-мат. н., доцент

(О. Б. Омецінська)

Соседние файлы в папке архив прош.сесий