Лекція 1 скінченновимірні лінійні перетворення
1.1 Скінченновимірний лінійний простір
Лінійним векторним простором над полем називається множина, елементи якої називаються векторами і для якої виконуються наступні аксиоми.
1. На множині задано додавання - двомісна комутативна операція, тобто:. Результат додавання векторів називається сумою.
2. Додавання векторів асоціативно.
3. На множині задано добуток векторів на элементы поля, тобто відображення виду,,.
При цьому і,,.
4. Існування нульового вектора: .
5. Існування протилежного вектора: .
6. .
Відображення :називається гомоморфізмом лінійних просторів, і, якщо,і,.
Якщо гомоморфізм :є взаємно однозначним відображенням, то він називається ізоморфізмом, а простори,- ізоморфними.
Лінійною комбінацією векторів , з коефіціентами називається вектор .
Система векторів є лінійно незалежною, якщо рівністьможлива в тому і тільки в тому випадку, коли.
Лінійно незалежна підсистема системи векторів називається максимальною, якщо при збільшенні її на довільний вектор з системи, вся система стає лінійно залежною. Рангом системи називається потужність її максимальної лінійно незалежної підсистеми векторів.
Лінійний векторний простір називається скінченновимірним, якщо у ньому існує максимальна линійно незалежна підсистема, що складається зі скінченної кількості векторів.
Покажемо, що скінченновимірні лінійні простори існують.
Арифметичним - мірним лінійним простором називається множина , елементами якої є впорядковані послідовності що складаються з елементів поля . Елементи називаються координатам вектора .
Звичайно координати вектора записують у стовбчик, але для скорочення запису дозволяється запис у рядок, якщо з контексту ясно, що мова йде про вектор.
Очевидно, відносно покомпонентної сумми та покомпонентного добутку на елемент поля , множинає лінійним векторним простором над. Цей простір позначається.
Легко переконатися, що система , де, а одиниця знаходиться на-ому місці, є максимальною линейно незалежною підсистемою всього простору. Можна довести, що всі максимальні линейно незалежні підсистеми, що належатьмістять однакову кількість векторів.
Очевидно, якщо , то і цей запис є однозначним, тобто, , якщо .
Базисом лінійного простору називається система векторів, така, що довільний вектор простору записується однозначно у вигляді лінійної комбінації її векторів. Очевидно, базис є максимальною линейно незалежною підсистемою всього простору.
Кількість векторів у базисі називається розмірністю скінченновимірного лінійного векторного простору. Розмірністьпозначається. Якщо, то лінійний векторний простір называется- вимірним.
Можна довести, що:
а) ізоморфні скінченновимірні векторні простори мають однакову розмірність;
б) довільний скінченновимірний лінійний векторний простір над полем ізоморфний при деякому.
Таким чином, якщо базис в вибраний, то вектори зможна записувати у координатному виді.
Лінійний простір може мати нескінченний базис. Особливе місце займає так званий фінітний простір, кожний вектор якого має скінчену кількість ненульових координат, наприклад простір поліномів на полем дійсних чисел.