Лекція 11 державний стандарт україни 4145-2002

Cтандарт ДСТУ 4145-2002 встановлює механізм цифрового підпису, оснований на властивостях групи точок еліптичних кривих над полями характеристики 2, а саме, над полями, де- велике просте число.

11.1 Операції на еліптичних кривих над полями характеристики p≠3

Аф. Коорд. :,,,.

а) ;

б) ,;;

в) ,

, де;

г) ,

, і ,;

д) Якщо знаменник виразу для дорівнює нулю, то результатом операції на кривій є.

Відомо, що цей алгоритм визначає комутативну і асоціативну групову операцію: (додавання на еліптичній кривій).

Операцію додавання двох однакових точок називають подвоєнням точки.

Груповий закон з нейтральним елементом для невиродженої кривої над полем, яка в ДСТУ 4145-2002 задається рівнянням

, наступний.

Якщо і,- дві точки еліптичної кривої в афінних координатах, то

і .

Сума точок обчислюється за такими правилами.

1.для всіх.

2.Якщо , то.

3.Якщо , то можливі два випадки

3.1

Якщо , то координати подвоєної точкиобчислюються за формулами:

3.2

Таким чином, у випадку нулів у знаменнику операції дають .

Якщо записувати - кратне додавання(разів) як, поклавши, то, приі деякому мінімальному значенні, отримаємо, тобто точки кривої утворюють циклічну підгрупу

порядка групи.

Точка називається базовою точкою підгрупи,

послідовність називається орбітою точки,

а число - її порядком. Операціяназивається скалярним множенням.

В криптографії використовуються еліптичні криві, які мають підгрупи великого простого порядку.

Якщо , то у виразікоефіцієнтможна зводити за модулем, а також розглядати вирази видуі, зокрема,, де, тощо.

Таким чином, при обчисленнях на кривій операції з координатами точок проводяться за правилами поля .

Якщо знаменник у відповідній формулі дорівнює нулю, то результатом відповідної операції є .

При скалярному множенні точок коефіцієнти можна зводити за модулем .

Слід усвідомити, що логіку криптопротоколів на еліптичних кривих легко зрозуміти, виходячи з властивостей скалярного множення, тобто самі формули групових законів для цього не важливі.

11.2 Параметри та формат цифрового підпису

До системних параметрів цифрового підпису належать:

- параметри поля , де- степінь розширення - просте число, а також незвідний поліномстепеня, що визначає операціі в;

- коефіцієнти еліптичної кривої виду , де;

- базова точка еліптичної кривої , що породжує підгрупугрупи;

- порядок базової точки (просте число);

- довжина представлення числау двійковому виді;

- ідентифікатор геш-функції, яка застосовується в мережі ;

- довжина цифрового підпису (довжина блоку даних, що містить цифровий підпис).

Поліном ,, необхідний для виконання модульних операцій видудля реалізації операції множення у полі.

Всі поліноми , що рекомендовані у стандарті, мають три або п’ять ненульових коефіцієнти і вибрані з урахуванням оптимізації обчислень.

Однією з особливостей ДСТУ 4145-2002 є можливість застосовувати довільні геш-функції повідомленняз довжиною геш-коду.

Вони розрізняються значенням ідентифікатора . Геш-функції функції, однак, мають узгоджуватися з уповноваженим органом.

Значення геш-кодів розширяється зліва нулями, або частина значущих розрядів зліва відкидається так, щоб довжина геш-коду дорівнювала 256.

За промовченням, без узгодження, а також без ідентифікатора, дозволяється використовувати геш-функцію, встановлену ГОСТ 34.311-95.

Таким чином, ДСТУ 4145-2002 залежить від ГОСТ 28147-89 за рахунок геш-функції, хоча й не так жорстко, як ГОСТ 34.310-95.

Інша особливість полягає у запису цифрового підпису: , а не, який представляється як двійковий рядокD довжини .

До того ж, необхідно, щоб . Таким чином, довжинаможе бути надмірною. Це було зроблено на прохання деяких користувачів, що використовували інший цифровий підпис до введення стандарту в дію.

Для запису ЦП поле розбивається на дві половини у молодших розрядах лівої половини розміщується, аналогічно, у правій половині розміщується. Позиції зайвих бітів заповнюються нулями.

Особистий (секретний) ключ цифрового підпису обчислюють таким чином:

- за визначеною процедурою, обчислюють випадкове ціле число ;

- якщо , то обирають як особистий ключ цифрового підпису, інакше, переходять до попереднього кроку.

Відкритий ключ цифрового підпису обчислюють як точку еліптичної кривої виду , де- базова точка еліптичної кривої.

При формуванні цифрового підпису використовуються рандомізатори.

Важливою особливістю ДСТУ 4145-2002 є те, що в ньому встановлено обов’язкову для використання схему криптографічного генератора псевдовипадкових чисел.