14

Лекция № 02

Арифметические основы эвм План

Введение.

1. Понятие о системах счисления.

2. Единицы измерения информации.

3. Формы представления данных в ЭВМ.

Выводы.

Литература

1. Информатика: Учебник / Под ред. проф.Н.В.Макаровой. – М.: Финансы и статистика, 2001. Глава 4.

Введение

ЭВМ предназначены для ввода, хранения, обработки, передачи и отображения разнообразных данных, представляющих числа, текст, графику, звуки, видео и т.п. Известно, что практически все цифровые ЭВМ имеют дело с двоичными данными, т.е. данными, представляемыми последовательностями нулей и единиц. Для человека привычным является десятичное представление числовых данных, использование символов алфавита родного языка для выражения на бумаге своих мыслей и т.д. Возникает вопрос: как с помощью 0 и 1 выразить все многообразие окружающего нас мира и представить данные в ЭВМ.

Цельданной лекции заключается в ознакомлении студентов с формами представления разнообразных данных в персональных компьютерах.

1. Понятие о системах счисления

Система счисления— это способ записи чисел с помощью ограниченного набора специальных знаков (цифр).

Как правило, в качестве цифровых знаков используются арабскиеиримскиецифры.

Системы счисления подразделяются на позиционныеинепозиционные.

В непозиционных системахсчислениявес цифры(т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа)не зависит от ее позиции в записи числа. Примером непозиционной системы счисления являетсяримская. Она включает в следующие цифровые обозначения: 1 –I, 2 –II, 3 –III, 4 –IV, 5 –V, 6 –VI, 7 –VII, 8 –VIII, 9 –IX, 10 –X, 50 –L, 100 –C, 500 –D, 1000 –Mи т.д.

Пример 1. Записать числа 114, 155, 1999, 2005.

114 – CXIV; 155 –CLV; 1999 –MCMXCIX; 2005 –MMV.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции)в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления— это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

В позиционной системе счисления с основанием р(в качестве которого можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д.) числа представляются в виде последовательности цифровых знаков:

(1 )

где a_i– одна из допустимых цифр системы счисления по основаниюр, находящаяся наi-й позиции;nиm– число целых и дробных разрядов числа, соответственно.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в nразрядах, равно, а минимальное значащее (не равно 0) число, которое можно записать вmразрядах дробной части, равно.

Имея в целой части числа n, а в дробнойmразрядов, можно записать всегоразных чисел.

В информатике широко применяются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления (табл. 1).

Таблица 1. Системы счисления, применяемые в информатике

Основание системы счисления	Название	Используемые цифры	Сфера применения
10	десятичная	{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}	Математика
2	двоичная	{0,1}	Внутреннее представление данных в узлах ЭВМ
8	восьмеричная	{0,1,2,3,4,5,6,7}	Программирование
16	шестнадцатеричная	{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}	Программирование

Пример 2. Представить числа в рассмотренных системах счисления в виде разложения (1):

В любой позиционной системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. Продвижением цифрыназывают замену её следующей по величине, т.е. продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые двадцать целых чисел в разных системах счисления (табл. 2).

Таблица 2. Представление целых чисел в разных системах счисления

Система счисления
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13

Выбор числа 10 в качестве основания системы счисления исторически связан с числом пальцев на руке человека (правда, в Китае до недавнего времени использовалась пятеричная система счисления). Однако десятичная система счисления не является наиболее удобной с точки зрения ее реализации в ЭВМ. Любой из символов, применяемых при записи чисел, должен в ЭВМ изображаться в виде одного из нескольких возможных состояний некоторого физического элемента. Естественно, что эти состояния должны быть устойчивы и четко различимы.

Выполнение элемента с десятью четко различимыми состояниями представляет собой сложную техническую задачу, в то время как элементов с двумя четко различимыми состояниями имеется достаточно много (замкнутый или разомкнутый контакт, открытый или закрытый транзистор, намагниченный или размагниченный магнитный носитель и т.п.). Указанное обстоятельство явилось одной из главных причин широкого распространения двоичной системы счисления в вычислительной технике.

Важным преимуществом двоичной системы является простота выполнения арифметических и логических операций.

Однако двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Поэтому программисты в целях компактности записей используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2), а правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную) или наоборот чрезвычайно просты.