Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1259 вузов, 4592 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Омский государственный аграрный университет им. П. А. Столыпина
Предмет:
Теория вероятностей и математическая статистика
Файл:

Типовой расчет №3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

.doc
Скачиваний:
52
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
293.38 Кб
Скачать
☆

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Повторите теоретический материал.

  1. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат.

  2. Уравнение линии. Прямая на плоскости.

  3. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

  4. Преобразование координат при параллельном переносе и при повороте осей координат.

  5. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

  6. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.

Задание 10. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

  1. Составить уравнение стороны АВ и найти ее длину.

  2. Составить уравнение высоты BD и найти ее длину.

  3. Составить уравнение медианы АМ.

  4. Через точку пересечения медиан провести прямую, параллельную стороне АВ.

  5. Найти угол А.

  6. Координаты точки А/, симметричной вершине А, относительно точки D.

  7. Записать систему неравенств, определяющих АВС.

  1. , ,.

  2. , , .

  3. , ,.

  4. ,,.

  5. , ,.

  6. ,,.

  7. ,,.

  8. , , .

  9. , ,.

  10. , ,.

  11. , , .

  12. , , .

  13. ,, .

  14. , ,.

  15. , , .

  16. , , .

  17. , , .

  18. , , .

  19. , , .

  20. , , .

  21. , , .

  22. , , .

  23. , , .

  24. , ,.

  25. , ,

  26. , , .

  27. , ,

  28. , , .

  29. , ,

Задание 11. Решить задачу. (Прямая на плоскости.)

  1. В точке пересечения прямой с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.

  2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны вершина острого угла ( 5, 7 ) и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон треугольника.

  3. Составить уравнение прямой, если точка Р (2; 3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат на эту прямую.

  4. Стороны треугольника заданы уравнениями 4х-у-7=0, х+3у--31=0, х+5у-7=0. Определить точку пересечения его высот.

  5. Даны вершины треугольника: А( 1;-1), В(-2;1), С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра из точки А на медиану, проведенную из В.

  6. Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2 (5; 3) и М3 (3; -4). Составить уравнение его сторон.

  7. Через точку М1(-1; 2) и М2 (2; 3) проведена прямая. Определить точку пересечения этой прямой с осями координат.

  8. Найти проекцию точки Р(-8; 12) на прямую, проходящую через точки А(2; -3) и В(-5; 1).

  9. По координатам трех вершин параллелограмма А(-3; 2), В(9;6), С(4; 11) найти координаты вершины D.

  10. Отрезок между точками А(3; -2) и В(6; 4) разделен на 3 равные части. Определить координаты точки деления.

  11. По координатам трех вершин ромба А(1; 4), В(-3; 1) и С(4;0). Определить координаты четвертой вершины.

  12. Точка В(0,8; 0,6) делит отрезок АС в отношении , при этом С(-1; 3). Вычислить длину АС.

  13. На оси ОУ найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (-3; -2) и (2; 8).

  14. Проведен отрезок от точки (1;-1) до точки (-4;5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?

  15. Найти точку, находящуюся на расстоянии 10 единиц как от оси ОХ , так и от точки А(-5; 2).

  16. На прямой, соединяющей точки А(2; 3) и В(11; 15) найти точку С с абсциссой х=5.

  17. По координатам двух вершин параллелограмма А(-3; 5) и В(2; 7) и точки пересечения его диагоналей М(1; 2) найти координаты его остальных вершин.

  18. Противоположные вершины ромба лежат в точках А(5; 7) и С(3; 3). Написать уравнения его диагоналей.

  19. Даны две точки М(2; 2) и N(5; -2). На оси ОХ найти точку Р, чтобы угол МРN был прямым.

  20. Даны вершины треугольника: А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнения ВС, медианы СЕ, высоты АD.

  21. Даны вершины треугольника А(-8; -3), В(2; 4,5) и С(7; 2). Найти систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

  22. Даны вершины треугольника А(-4; 8), В(5; -4) и С(10; 6). Найти угол А.

  23. Даны вершины треугольника А(-4; 8), В(5; -4) и С(10; 6). Составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

  24. Даны вершины треугольника А(-1; 2), В(3; 4) и С(1; -4). Составить уравнение средней линии треугольника, уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку В.

  25. Найти проекцию точки А (-1; -5) на прямую 4х+7у-26=0.

  26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3), перпендикулярной вектору , если точка В(-4; 5).

  27. Даны середины сторон треугольника (2; 1), (4; 3) и (-2; 5). Найти уравнения сторон этого треугольника.

  28. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 6х-4у+3=0 и 4х+5у+10=0, перпендикулярной прямой 3х-7у-18=0.

  29. В равностороннем треугольнике АВС известно уравнение основания АС: 2х-3у-5=0. Найти уравнение боковой стороны ВС, если известно, что она проходит через точку М(1; 1).

  30. Через точку Р(0; 1) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми х-3у+10=0 и 2х+у-8=0, делился в точке Р пополам..

Задание 12. Решить задачу. (Составить уравнение линии.)

  1. Найти уравнение множества точек, расстояние каждой из которых от точки А(3; 0) втрое меньше расстояния от точки В(-5; 0).

  2. Найти уравнение множества точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3; 0) и В(3; 0) равна 50.

  3. Найти уравнение множества точек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и В(а; 0) равна С.

  4. Найти уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-3; 0) и F2 (3; 0) есть величина постоянная, равная 10.

  5. Найти уравнение множества точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(3; 0) и F2 (5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

  6. Найти уравнение множества точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой х+3=0.

  7. Найти уравнение множества точек, для которых отношение расстояния до данной точки F (-4; 0) к расстоянию до данной прямой 4х+25=0 равно .

  8. Составить уравнение множества точек, для которых отношение расстояния до данной точки F (-5; 0) к расстоянию до данной прямой 5х+16=0 равно .

  9. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А(3; -4) и данной прямой у=2.

  10. Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х=1,5 равно 2.

  11. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (2; 2) и от оси абсцисс.

  12. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(4; 0) и F2 (-4; 0) равно 10.

  13. Точка движется так, что остается вдвое ближе к точке (3;4), чем к точке (12; 16). Найти ее траекторию.

  14. Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. Найти траекторию точки.

  15. Точка движется так, что остается вдвое ближе к прямой х=1, чем к точке (4; 0). Найти ее траекторию.

  16. Составить уравнение множества точек – центров окружностей, касающихся оси абсцисс и проходящих через точку (3; 4).

  17. Составить уравнение множества точек – центров окружностей, касающихся оси ординат и проходящих через точку (-2; 3).

  18. Составить уравнение траектории точки, которая при своем движении остается вдвое ближе к прямой у=1, чем к точке (0; 4).

  19. Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (-3; 4) и квадратом расстояния от точки (-2; 1) остается равной 3. Найти траекторию точки.

  20. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(0; 4) и F2 (0; -4) равна 10.

  21. Точка движется так, что остается втрое ближе к точке (-2; 3), чем к точке (-18; 27). Найти траекторию точки.

  22. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (0; -3) и от прямой у=3.

  23. Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(3; 0) и до данной прямой x=12 равно 0,5.

  24. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А (-2; -3 ) и от прямой у= -1.

  25. Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (2; 1) и квадратом расстояния от точки (3; -4) остается равной 0. Найти траекторию точки.

  26. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (-2; 0) и от прямой x=4.

  27. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (1; 1) и от прямой у=3.

  28. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(0;3) и F2 (0; -3) равна 10.

  29. Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(10; 2) и до данной прямой x=2,5 равно 2.

  30. Найти уравнение множества точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(0; -5) и F2 (0; 5) есть величина постоянная равная 8.

Задание 13. Решить задачу. (Кривые второго порядка.)

  1. Составить уравнение параболы, если вершина в точке А(3; -3), а директриса у-3=0.

  2. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы у= -х2+2х и центр окружности х2+у2+4х--3у+4=0.

  3. Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы в точках F1 (-10; 2), F2 (16;2).

  4. Составить уравнение диаметра окружности х2+у2+4х-6у-17=0, перпендикулярного прямой 5х+2у--13=0.

  5. Составить простейшее уравнение эллипса, если сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже 8.

  6. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы в точках F1(-10; 0), F2 (14; 0), а большая ось равна 26.

  7. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы у= х2-4х+1, перпендикулярно прямой 2х-3у+5=0.

  8. Эллипс проходит через точки и . Написать простейшее уравнение эллипса.

  9. Написать уравнение окружности, радиус которой равен параметру параболы у2= -6х, с центром в правом фокусе эллипса х2+4 у2 = 16.

  10. Написать простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами равно параметру параболы х2= -60 у.

  11. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы 9 х2 – 16 у2 = 144 и образующий угол с осью абсцисс.

  12. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (4; 3) и директриса у + 1 = 0.

  13. Найти угол между радиусами окружности х2+у2+4х-6у=0, проведенными в точки пересечения ее с осью ОY.

  14. Написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х-5у+5=0, а большая ось равна радиусу окружности х2+у2-12х+6у-55=0.

  15. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы х2+4х+3у+1=0, параллельно прямой 5х-3у+7=0.

  16. Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

  17. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ , если А(2; -3), а В – вершина параболы у2-10у+2х+17=0.

  18. Написать уравнение касательной к окружности х2-2х+у2-4y=20 в точке М(5; 5).

  19. Составить простейшее уравнение гиперболы, если ее действительная полуось равна 5, а вершины делят расстояние между центром и фокусами пополам.

  20. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса х-5=0.

  21. Действительная полуось гиперболы равна параметру параболы у2+2у+10х-19=0, ее эксцентриситет равен угловому коэффициенту прямой 7х-5у+1=0.

  22. Доказать, что радиусы окружности х2+у2-4х+6у-5=0, проведенные в точки пересечения ее с осью ОХ перпендикулярны.

  23. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х2+25у2-225=0. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен параметру параболы х2+1= -4у.

  24. Написать уравнение окружности, центр которой совпадает с правым фокусом гиперболы 16х2-9у2-144=0, проходящей через точку (1; - 8).

  25. Составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности х2+у2-4х+6у-3=0 параллельно прямой 2х-у+1=0.

  26. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке С(3; -2) и проходящей через вершину параболы у2-2у+3х+4=0.

  27. Составить уравнение эллипса, если фокусы в точках F1(7; 5), F2 (-9; 5), а эксцентриситет равен 0,8.

  28. Составить уравнение линии центров окружностей, заданных уравнениями х2+у2-12х+14у+60=0 и х2+у2+8х+16у-1=0.

  29. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ с вершиной в левом фокусе эллипса 3х2+4у2=48, фокус которой в точке F(4; 0).

  30. Составить уравнение окружности, радиус которой равен 2, концентрической окружности х2+у2+2х-6у+1=0.

Задание 14. Найти проекцию точки D в плоскости АВС.

А (1; 3; 6)

В (2; 2; 1)

С (-1; 0; 1)

D (-4; 6; -3)

А (-4; 2; 6)

В (3; -3; 0)

С (-10; 5; 8)

D (-5; 2; -4)

А (7; 2; 4)

В (7; -1; -2)

С (3; 3; 1)

D (-4; 2; 1)

А (2; 1; 4)

В (-1; 5; -2)

С (-7; -3; 2)

D (-6; -3; 6)

А (-1; -5; 2)

В (-6; 0; -3)

С (3; 6; -3)

D (-10; 6; 7)

А (0; -1; -1)

В (-2; 3; 5)

С (1; -5; -9)

D (-1; -6; 3)

А (5; 2; 0)

В (2; 5; 0)

С (1; 3; 4)

D (-1; 1; 1)

А (2; -1; -2)

В (1; 2; 1)

С (5; 0; -6)

D (-10; 9; -7)

А (-2; 0; -4)

В (-1; 7; 1)

С (4; -8; -4)

D (1; -4; 6).

А (4; 4; 5)

В (-5; -3; 2)

С (-2; -6; -3)

D (-2; 2; -1)

А (1; 2; 0)

В (3; 0; -3)

С (5; 8; 6)

D (8; 4; -9)

А (2; -1; 2)

В (1; 2; -1)

С (3; 2; 1)

D (-4; 2; 5)

А (1; 1; 2)

В (-1; 1; 3)

С (2; -2; 4)

D (-1; 0; -2)

А (2; 3; 1)

В (4; 1; -2)

С (6; 3; 7)

D (7; 5; -3)

А (1; 1; -1)

В (2; 3; 1)

С (3; 2; 1)

D (5; 9; -8)

А (1; 5; -7)

В (-1; 1; -5)

С (3; 4; -6)

D (3; -2; 4)

А (-3; 6; 3)

В (-1; 3; 1)

С (0; 2; -1)

D (4; -2; 1)

А (-3; 4; -7)

В (1; 5; -4)

С (-5; -2; 0)

D (2; 5; 4)

А (-1; 2; -3)

В (4; -1; 0)

С (2; 1; -2)

D (3; 4; 5)

А (4; -1; 3)

В (-2; 1; 0)

С (0; -5; 1)

D (3; 2; -6)

А (1; -1; 1)

В (-2; 0; 3)

С (2; 1; -1)

D (2; -2; -4)

А (1; 2; 0)

В (1; -1;-2)

С (0; 1; -1)

D (-3; 0; 1)

А (1; 0; 2)

В (1; 2; -1)

С (2; -2; 1)

D (2; 1; 0)

А (1; 2; -3)

В (1; 0; 1)

С (-2; -1; 6)

D (0; -5; -4)

А (3; 10; -1)

В (-2; 3; -5)

С (-6; 0; -3)

D (1; -1; 2).

А (-1; 2; 4)

В (-1; -2; -4)

С (3; 0; -1)

D (7; -3; 1)

А (0; -3; 1)

В (-4; 1; 2)

С (2; -1; 5)

D (3; 1; -4)

А (-1; 2; 1)

В (2; -1; 0)

С (-2; 4; 2)

D (3; -5; 1)

А (2; -1; 4)

В (3; 1; 5)

С (5; 3; 1)

D (0; -1; 4)

А (2; 3; 1)

В (3; 2; 1)

С (1; 1; -1)

D (0; 1; -3)

Задание 15. Решить задачу. (Пространство.)

  1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 6; -3), перпендикулярно к прямой, проходящей через две точки Р(4; -2; 3) и Q (3; -1; -2).

  2. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и точку М (3; -4; 5).

  3. Дано: А(2; -1; -2) и В(8; -7; 5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярно к АВ.

  4. Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы х2+у2+z2-4х+2у-6z-6=0 и ось OZ.

  5. Составить уравнения прямой, проходящей через центр сферы х2+у2+z2-3х+4у+5z+2=0 и начало координат.

  6. Составить уравнения прямой, перпендикулярной плоскости 3х+2у-4z+3=0 и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью ОХ.

  7. Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(2; 3; -5) и В(-4; 3; 2).

  8. Составить канонические уравнения осей координат.

  9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(-3; 4; 0) параллельно оси OZ.

  10. Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

  11. Найти точки пересечения прямой с плоскостью .

  12. Составить канонические уравнения прямой .

  13. Записать общие уравнения прямой .

  14. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ, параллельно прямой .

  15. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки А(2; 0; 1) и В(3; 1; 5).

  16. Через ось ОХ и точку А(4; -3; -1) провести плоскость.

  17. Плоскость параллельна плоскости ХОZ и проходит через точку А(3; 2; -7). Написать ее уравнение.

  18. Написать уравнение плоскости, параллельной оси OY и проходящую через точки А(1; -5; 1) и В(3; 2; -2).

  19. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(2; -1; 3) параллельно оси OZ.

  20. Привести к каноническому виду уравнения прямой .

  21. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2; -1; 3) и делящей отрезок АВ пополам, если А(1; 8; 2) и В(1; -4; 2).

  22. Даны вершины треугольника А(2; 3; -1) , В(1; -2; 0) и С(-3; 2; 2). Составить канонические уравнения медианы АР.

  23. Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3х+5у-z-2=0.

  24. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость х+2у-z-3=0.

  25. Проверить, лежит ли прямая на плоскости 4х+3у+z+3=0.

  26. Составить канонические уравнения какой-либо прямой, лежащей в плоскости 2х-3у+z+1=0.

  27. Написать уравнение плоскости, проходящей через центр сферы х2+y2+z2-2x+4y-4z=0 и ось OY.

  28. Написать уравнение плоскости параллельной оси OZ и проходящей через точки (2; 3; -1) и (1; -2; 2).

  29. Написать уравнения какой-либо прямой, лежащей в плоскости 3x-5y+z-2=0.

  30. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; -2; 3), В(2; -3; 1) и перпендикулярно плоскости x+3y-8z-1=0.

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности