Higher_Mathematics_Part_2
.pdfπ 2 |
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tg |
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x |
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= t, |
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x = 2 arctg t, |
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π |
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dx |
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2 |
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x |
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0 |
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||||||||||||||||||||
∫0 |
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= |
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2dt |
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cos x = |
1− t2 |
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2 |
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= |
||||||||||||
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2 + cos x |
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dx = |
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, |
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, |
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||||||||||||||||||||
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t |
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0 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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1+ t2 |
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1+ t2 |
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||||||||||
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1 |
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2dt |
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||||||
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= ∫ |
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= |
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|||||||
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1− t |
2 |
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|||||||
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0 (1+ t 2 ) |
2 |
+ |
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2 |
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||||||||||||||
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1+ t |
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||||
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1 |
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dt |
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2 |
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t |
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1 |
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2 |
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1 |
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π |
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2∫ |
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= |
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arctg |
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= |
|
arctg |
= |
|
. |
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2 |
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3 |
|
3 |
|
3 |
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|||||||||||||||||||
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0 3 |
+ t |
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0 |
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3 3 3 |
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ln 5 |
e x |
xe x − 1 dx. |
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||||||||
10. ∫ |
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||||||||||
0 |
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e |
+ 3 |
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Solution. Let e x − 1 = t , the limits of integration with respect to t are: when
x = 0 we have α = |
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e0 − 1 = 0 and when x = ln5 t = β = |
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eln 5 − 1 = 2 . |
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Evaluate |
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2tdt |
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|||||
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e x |
= t 2 + 1 , e x dx = 2tdt , |
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dx = |
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. |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
Then |
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t 2 + 1 |
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|||||
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||
ln 5 |
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2 |
|
(t |
2 + 1) t |
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2tdt |
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2 |
|
t 2 |
|
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|
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|
2 |
t 2 + |
4 |
− 4 |
|
||||||
∫ |
e x xe x −1dx = ∫ |
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
dt = 2∫ |
dt = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
t |
2 |
|
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|
2 |
+ 4 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
e |
+ 3 |
|
|
|
0 |
|
|
t |
+ 4 t |
+ 1 |
|
0 |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
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|||||
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4 |
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t |
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2 = 4 − π . |
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|||||||
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|||||||||||
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= 2∫ (1− |
|
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)dt = 2(t − 2 arctg |
|
) |
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||||||||||||||||||||||
|
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2 |
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
0 |
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t |
|
+ 4 |
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0 |
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|||||
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||||||
In Problems 11 to 13 apply integration by parts. |
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11. Evaluate I = ∫4 ln x dx. |
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1 |
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x |
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dx |
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Solution. We try |
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u = ln x and dv = dx . Then du = |
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and |
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||||||||||||||||||||||||||||
x |
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x |
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|||
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− |
1 |
|
|
1 |
|
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4 |
4 |
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|
dx |
|
|
|
4 |
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||||
v = ∫ x |
2 dx = 2x 2 . Thus I = 2 |
x ln x |
− ∫2 |
|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x = 4 ln 4 − 4 |
x 1 = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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=4ln4 −8 + 4 = 4(ln4 − 1).
π
12. ∫2 x 2 sin xdx .
0
151
Solution. Apply integration by parts twice:
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π |
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∫2 |
x 2 sin xdx = |
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u = x 2 , |
dv = sin xdx, |
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= |
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|||||||||||||
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|
|
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||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
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du = 2xdx, |
v |
= − cos x |
|
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|||||||||
|
π |
|
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|
π |
|
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||||||||
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|||||||
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|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
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u = x, dv = cos xdx, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= − x 2 cos x |
|
2 |
+ 2 |
∫ x cos xdx = 2∫ x cos xdx = |
= |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
du = dx, v = sin x |
|
||||||||
|
|
|
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|
π |
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|
π |
2 |
|
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|
|
|
|
|
π |
|
||||
= 2x sin x |
|
|
− 2 |
∫sin xdx = π + 2 cos x |
|
|
= π − 2 . |
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
π
13. ∫2 sin n xdx ( n is a natural number).
0 |
|
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Solution. |
π |
|
|
|
|
|
|
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|
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||
J n = |
2 sin n |
xdx = |
u = sinn−1 x, |
dv |
= sin xdx, |
= |
|
|
∫ |
|
du = (n − 1)sinn−2 xcos xdx, |
v |
= − cos x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
= − cos x sin n−1 x |
|
2 |
+ (n − 1)∫ cos2 x sin n−2 xdx = |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
= (n − 1)∫2 |
(1− sin 2 x) sin n−2 xdx = (n − 1)∫2 sin n−2 xdx − (n − 1)∫2 sin n xdx . |
||||||||||||
Thereby 0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
|
|
J n = (n − 1)J n−2 − (n − 1)J n . |
|
|
|||||||||
Thereafter |
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J n = |
J n−2 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
If n = 2k − 1 is an odd number, we get a recursion formula. Recall that
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|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
J1 = ∫sin xdx = − cos x |
|
|
= 1 . |
|
|||||
|
|
2 |
|
||||||||
Then |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
(2k − 2)!! |
|
|
|
(2k − 2)(2k − 4)… 4 2 |
( k N ). |
|||||
J 2k −1 |
= |
= |
|
||||||||
(2k − 1)!! |
|
|
(2k − 1)(2k − 3)… 5 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
152 |
|
|
|
|
Topic 7. Improper integrals
Improper integrals: integral of integration unbounded and integrand unbounded. Definitions and evaluation. Convergent and divergent improper integrals.
Literature: [1, section 8], [3, term 7, § 2], [6, section 9, п. 9.4], [7, section 11, § 7], [9, § 40].
Т.7 |
Main concepts |
7.1. Improper integrals: integral of integration unbounded
There is the first type of improper integral. Suppose f(x) is continuous and nonnegative for a ≤ x <∞ (see fig. 2.2).
We know that integral ∫b |
f (x)dx is the area of |
у |
|
|
|
|||||
the region between |
|
a |
|
and the |
|
|
|
|
||
the curve y = f(x) |
|
у=f(x) |
||||||||
x-axis from x = a to x = b. As b → ∞, we may |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
think of blim→∞ ∫b |
f (x)dx |
as the area of the unbounded |
|
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|
||||
|
|
|
|
|||||||
О |
а |
b х |
||||||||
a |
shaded |
in fig. 2.2. This |
limit is |
|||||||
region that is |
|
Fig. 2.2 |
||||||||
abbreviated by |
|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
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|||
|
∞ |
(x)dx , |
|
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|||
|
∫ f |
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
called the first type of improper integral. If this limit exists, |
∫ f (x)dx |
is said to |
a
be convergent or to converge to that limit. In this case the unbounded region is
∞
considered to have a finite area, and this area is represented by ∫ f (x)dx . If the
0
limit does not exist, the improper integral is said to be divergent and the region does not have a finite area.
We can remove the restriction that f(x) ≥ 0. In general, the improper integral
∞
∫ f (x)dx is defined by
0
∞ |
A |
∫ |
f (x)dx = Alim→ ∞ ∫ f (x)dx . |
a |
a |
|
155 |
b |
∞ |
Other forms of improper integrals are ∫ f (x)dx and |
∫ f (x)dx . In each of |
−∞ |
−∞ |
three forms of improper integrals, the interval over which the integral is evaluated has infinite length.
The improper integral |
∫b |
f (x)dx is defined by |
|
||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
f (x)dx |
= lim b |
f (x)dx . |
|
||
|
|
|
∫ |
|
|
|
B →− ∞ ∫ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
B |
|
|
|
If this limit exists, |
∫b |
f (x)dx |
is |
said to |
be convergent. Otherwise, it is |
||||
divergent. |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(x)dx is defined in erms: |
|||||
The improper integral |
∫ f |
||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
c |
|
A |
|
∫ |
f (x)dx = |
lim |
|
f (x)dx + lim |
f (x)dx , |
||||
|
|
|
|
B→−∞ ∫ |
|
A→∞ ∫ |
|
||
−∞ |
|
|
|
|
|
B |
|
c |
|
where c is the real number.
∞
If both integrals on the right side are convergent, then ∫ f (x)dx is said to be
−∞
convergent. Otherwise, it is divergent.
7.2. Improper integrals: integrand unbounded
There is a second type of improper integral, in which the function is unbounded in the interval [a, b] If the function f(x) becomes arbitrarily large in the interval [a, b], then it is possible to have arbitrarily large approximating sums
n
∑ f (ξi ) xi no matter how fine the partition may be by choosing a ζ1 that
i=1
makes f(ζ1) large.
Let f(x) be continuous at every number in [a, b] except a, and become
b
arbitrarily large for values in (a, b). If lim ∫ f (x)dx exists, the function f(x) is
ε→0 a+ε
said to have a convergent improper integral from a to b. The value of the limit is
b |
|
b |
denoted ∫ f (x)dx . If |
ε→lim0 |
∫ f (x)dx does not exist, the function f(x) is said to |
a |
|
a+ε |
have a divergent improper integral from a to b; in brief ∫b f (x)dx is not defined.
a
156
In a similar |
manner, if f(x) is unbounded only near b (fig. 2.3), define |
b |
b − ε |
∫ f (x)dx as limε→0 |
∫ f (x)dx . |
a |
a |
It may happen that a function behaves well everywhere in the interval [a, b] |
except at the number c, distinct from a to b (fig. 2.4), where it may be infinite. In
that case ∫b |
f (x)dx makes |
no sense. In |
such a |
case consider ∫c |
f (x)dx and |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
∫b |
f (x)dx . If both exist, then the integral |
∫b |
f (x)dx |
is said to be convergent and |
|||||
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
have the value ∫c |
f (x)dx + |
∫b |
f (x)dx . More generally, if a function f(x) has an |
||||||
|
|
a |
|
c |
|
|
|
|
|
infinite range of values as well as a point where it becomes infinite, break the entire integral into the sum of the integrals each of which has only one of the two basic “troubles”, either an infinite range or an endpoint where the function is
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||
infinite. For |
|
instance, |
the |
improper integral ∫ |
1 |
dx is troublesome for four |
|||||
|
x4 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
−∞ |
||||
reasons: lim |
= ∞ , |
lim |
= ∞ , and the range extends infinitely to the left |
||||||||
|
|
x4 |
|||||||||
x→ 0 |
− 0 x4 |
|
x→ 0 |
+ 0 |
|
|
|
and also to the right. To treat the integral, write it as the sum of four improper integrals of the two basic types:
∞ |
−1 |
0 |
1 |
∞ |
∫ dxx4 = |
∫ dxx4 + ∫ dxx4 + ∫ dxx4 + ∫ dxx4 . |
|||
− ∞ |
− ∞ |
−1 |
0 |
1 |
у |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
у=f(x) |
|
|
у=f(x) |
|
О а |
|
b–ε b х |
|
|
b х |
|
|
|
|||
|
О а c–ε c c+δ |
||||
|
|
Fig. 2.3 |
|
Fig. 2.4 |
∞ dx
All four of the integrals on the right have to be convergent for −∫∞ x4 to be
∞ dx
convergent. As a matter of fact, only the first and last are. So −∫∞ x4 is divergent.
157
Just as substitution in a definite integral is valid as long as the same substitution is applied to the limits of integration, substitution in improper integrals is also permissible.
Т.7 Typical problems
In exercises 1 and 2 determine whether the improper integrals are convergent or divergent. Evaluate the convergent ones.
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Solution. By definition |
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|
|
|
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|||||
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|
|
∞ |
dx |
|
|
A |
dx |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
|
= lim |
∫ |
|
= |
lim arctg x |
= |
||
|
|
|
1 + x |
2 |
1+ x |
2 |
||||||
|
|
1 |
|
A→∞ |
1 |
|
|
A→∞ |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim (arctg A − arctg1) = |
π |
− |
π |
= |
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
A→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
||||
Therefore, ∫ |
|
dx |
|
converges to |
|
π |
and the area in question is |
|
π |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
4 |
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. ∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Solution. |
∫ |
dx |
= lim |
∫ |
dx |
= lim ln |
|
x |
|
|
|
= |
lim ln |
|
A |
|
=∞ . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x |
A→∞ |
1 x |
|
A→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
A→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Therefore, the given integral is divergent. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Examine the improper integral ∫ |
|
|
|
for all p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Solution. By example 2 if |
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
p = 1 the integral is divergent. If p ≠ 1 , then |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
A |
dx |
|
|
|
|
x |
− p+1 |
|
A |
|
|
|
A |
− p+1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
= lim |
∫ |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
p |
|
p |
− p + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
A→∞ |
1 |
|
x |
|
A→∞ |
|
1 |
A→∞ − p + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
if |
p > 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
p − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, |
|
|
|
|
if |
p < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In exercises 4—5 determine whether the improper integrals are convergent or divergent. Evaluate the convergent ones.
158
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
− 6x |
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Solution. The substitution x – 3 = t transforms the integral to |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
By definition |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dt |
|
|
a |
dt |
|
|
∞ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
a |
dt |
|
|
|
B |
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
= |
lim |
∫ |
|
|
+ lim ∫ |
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ t |
|
|
+ |
1 |
−∞ t |
+ |
a t |
|
+ 1 |
|
|
A→−∞ A t |
+ 1 |
|
B→∞ a t |
+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
where a is any number. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Thus: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
arctg t |
|
a |
= arctg a − |
|
|
|
|
|
arctg A = arctg a + |
π |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
lim |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A→−∞ A |
t |
|
+1 |
|
A→−∞ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Next consider |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ∫ |
|
|
|
= lim arctg t |
= |
−arctg a . |
|
|
|
|
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2 |
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|
||||||||||||||||||||||||||||
Hence |
|
|
|
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B→∞ a t |
+ |
1 |
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B→∞ |
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a |
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2 |
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|||||||||||||||
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||||||
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|
∞ |
|
|
dt |
|
|
|
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|
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|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
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|
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||||||||||||
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|
∫ |
|
|
|
|
= π , namely |
|
|
∫ |
|
|
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|
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|
|
|
is convergent and equals π. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
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|
|
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|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−∞ t |
|
|
|
+ 1 |
|
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|
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|
−∞ x |
|
|
|
− 6x + |
10 |
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|||||||||||||||||
∞ |
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5. ∫ |
|
ln x |
dx . |
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||||||||||||
|
x |
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||||||||||||||
2 |
|
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|
∞ ln x dx |
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|
A ln xd (ln x) = |
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
Solution. |
|
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|
= lim |
lim |
ln 2 x |
|
|
A |
= ∞ . |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∫ |
|
|
x |
|
|
A→∞ |
∫ |
|
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|
A→∞ |
2 |
|
|
2 |
|
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|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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||||||||
Therefore, the given integral is divergent. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In Exercises 6 to 8 examine the improper integral. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
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6. ∫ |
cos x |
dx . |
|
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|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
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|||
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|
cos x |
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|||||
Solution. The integrand |
|
|
is the alternative function if x ≥ 1. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x3 |
|
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|
cos x |
|
|
|
|
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|
|
|||||||
As |
is |
generally known |
|
cos x |
|
≤1 , |
|
then |
|
|
≤ |
|
1 |
. By Exercise 3 the |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
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|
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|
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x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
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|||||||||
|
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|||||||
integral |
|
|
∫ |
|
|
|
|
is convergent ( p = 3 > 1 ), so is the given integral. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||
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|||
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|
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|
|
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|
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|
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159 |
|
|
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|
|
|
∞ |
(ln(1+ x2 ) − 2 ln x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solution. Write the integral in the form |
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
1 |
+ x 2 |
∞ |
|
|
1 |
|
|||
|
∫ ln |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx = ∫ ln 1 |
+ |
|
|
dx . |
||
|
|
|
x |
2 |
x |
2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||
By Exercise 3 the integral |
∫ |
|
|
|
|
is convergent ( p = 2 > 1). Recall also that |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||
|
ln 1+ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 , so is the given integral. |
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
+ 2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Solution. At x = 1 the integrand is undefined, and near x = 1 it is unbounded. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is necessary to examine the improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
d(x + 1) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
∫ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 2x − 3 |
|
|
x |
2 |
+ |
2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ε→0 |
1+ε |
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
1+ε (x + 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
ln |
|
x − 1 |
|
2 |
|
|
= |
|
1 |
|
lim(ln |
|
1 |
|
−ln |
|
|
|
ε |
|
) =∞. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x + 3 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
4 |
+ε |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
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1+ε |
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ε→0 |
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Therefore, the given integral is divergent. |
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1 |
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dx |
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9. Examine the improper integral ∫ |
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for all λ . |
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λ |
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0 |
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x |
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Solution. At x = 0 the integrand is undefined, and near x = 0 it is unbounded. |
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It is necessary to examine the two improper integrals. If λ ≠ 1 , then |
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1 dx |
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1 |
dx |
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x1−λ |
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1 |
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1 |
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ε1−λ |
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∫ |
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λ |
= lim |
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λ |
= lim |
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= lim |
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− |
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= |
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x |
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ε →0 ∫ |
x |
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ε →0 |
1− λ |
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− λ 1− λ |
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0 |
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ε |
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|
ε |
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ε→0 1 |
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1−λ |
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1 |
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||||||||
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1 |
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|
ε |
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, if |
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λ |
< 1, |
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||||||||||||||||
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|
= |
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− lim |
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= 1 |
− λ |
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||||||||||||||||
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1 |
− λ |
1 |
− λ |
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1. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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ε →o |
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∞, if λ > |
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Next consider for λ = 1 |
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1 |
|
dx |
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|
1 |
dx = lim ln |
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1 |
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∫ |
|
= lim |
∫ |
|
x |
|
= +∞ . |
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|
x |
|
|
ε→0 |
|
x |
|
ε→0 |
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|
ε |
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||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
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160 |
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||||||||
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