Загальна фізика / Теоретичні курси / Коливання хвилі та оптичні явища

Державний економiко - технологiчний унiверситет транспорту

Кафедра фiзики i електротехнiки

Проф.Чепiлко М.М. Доц.Романко Л.О.

Коливання, хвилi та оптичнi явища

(Теоретичний курс)

19 декабря 2008 г.

ЗМIСТ
1 Механiчнi та електромагнiтнi коливання		6
1.1	Гармонiчнi коливання та їхнi характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
1.2	Механiчнi гармонiчнi коливання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
1.3	Гармонiчний осцилятор. Пружинний, фiзичний i математичний маятники . . . . . . . .	11
1.4	Вiльнi гармонiчнi коливання в коливальному контурi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
1.5	Додавання гармонiчних коливань одного напряму та однакової частоти. Биття . . . . . .	19
1.6	Додавання взаємно перпендикулярних коливань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22

1.7Диференцiальне рiвняння вiльних загасаючих коливань (механiчних i електромагнiтних)

та його розв’язок. Автоколивання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8Диференцiальне рiвняння вимушених коливань (механiчних i електромагнiтних) та його

	розв’язок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
1.9	Амплiтуда i фаза вимушених коливань (механiчних i електромагнiтних). Резонанс . . .	35
1.10	Змiнний струм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
1.11	Резонанс напруг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	44
1.12	Резонанс струмiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
1.13	Потужнiсть, що видiляється в колi змiнного струму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
1.14	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
1.15	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
2 Пружнi хвилi		54
2.1	Хвильовi процеси. Поздовжнi i поперечнi хвилi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54

2.2Рiвняння бiжучої хвилi. Фазова швидкiсть.

Хвильове рiвняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3 Принцип суперпозицiї. Групова швидкiсть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.4	Iнтерференцiя хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	61
2.5	Стоячi хвилi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	63
2.6	Звуковi хвилi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65
2.7	Ефект Доплера в акустицi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
2.8	Ультразвук i його використання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	70
2.9	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72
2.10	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	73
3 Електромагнiтнi хвилi		75
3.1	Експериментальне отримання електромагнiтних хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	75
3.2	Диференцiальне рiвняння електромагнiтної хвилi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	77
3.3	Енергiя електромагнiтних хвиль. Iмпульс електромагнiтного поля . . . . . . . . . . . . .	80
3.4	Випромiнювання диполя. Використання електромагнiтних хвиль . . . . . . . . . . . . . .	82
3.5	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	84
3.6	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	85
4 Елементи геометричної та електронної оптики		87
4.1	Основнi закони оптики. Повне вiдбивання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
4.2	Тонкi лiнзи. Зображення предметiв за допомогою лiнз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	91
4.3	Аберацiя (похибка) оптичних систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	97
4.4	Основнi фотометричнi величини та їхнi одиницi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	100
4.5	Елементи електронної оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	102
4.6	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	105
4.7	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	106

5	Iнтерференцiя свiтла		107
	5.1	Розвиток уявлень про природу свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	107
	5.2	Когерентнiсть i монохроматiчность свiтлових хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	111
	5.3	Iнтерференцiя свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	114
	5.4	Методи спостереження iнтерференцiї свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	115
	5.5	Iнтерференцiя свiтла в тонких плiвках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	120
	5.6	Застосування iнтерференцiї свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	125
	5.7	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	130
	5.8	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	131
6	Дифракцiя свiтла		133
	6.1	Принцип Гюйгенса Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	133
	6.2	Метод зон Френеля. Прямолiнiйне поширення свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	134
	6.3	Дифракцiя Френеля на круглому отворi та диску . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	138
	6.4	Дифракцiя Фраунгофера на однiй щiлинi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
	6.5	Дифракцiя Фраунгофера на дифракцiйнiй гратцi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	143
	6.6	Просторова гратка. Розсiяння свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	146
	6.7	Дифракцiя на просторовiй гратцi. Формула Вульфа Бреггов . . . . . . . . . . . . . . .	147
	6.8	Роздiльна здатнiсть оптичних приладiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	149
	6.9	Поняття про голографiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	152
	6.10 Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		154
	6.11 Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		156
7 Взаємодiя електромагнiтних хвиль з речовиною			158
	7.1	Дисперсiя свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	158
	7.2	Електронна теорiя дисперсiї свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	160

7.3 Поглинання (абсорбцiя) свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.4 Ефект Доплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.5 Випромiнювання Вавiлова Черенкова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.6 Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.7 Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8 Поляризацiя свiтла		171
8.1	Природне i поляризоване свiтло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	171
8.2	Поляризацiя свiтла при вiдбиваннi та заломленнi на межi двох дiелектрикiв . . . . . . .	174
8.3	Подвiйне променезаломлення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	176
8.4	Поляризацiйнi призми i поляроїди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	179
8.5	Аналiз поляризованого свiтла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	182
8.6	Штучна оптична анiзотропiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	185
8.7	Обертання площини поляризацiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	187
8.8	Питання для самоконтролю теоретичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	188
8.9	Задачi для самоконтролю практичної пiдготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	190

1.Механiчнi та електромагнiтнi коливання

1.1.Гармонiчнi коливання та їхнi характеристики

Коливаннями називаються рухи або процеси, яким властива певна повторюванiсть у часi. Коливальнi процеси поширенi в природi i технiцi, примiром, гойдання маятника годинника, змiнний електричний струм i т. iн. При коливальному русi маятника змiнюється координата його центра мас, у разi змiнного струму коливаються напруга i струм у колi. Фiзична природа коливань може бути рiзною, тому розрiзняють коливання механiчнi, електромагнiтнi та iн. Проте рiзнi коливальнi процеси описуються однаковими характеристиками i однаковими рiвняннями. Це зумовлює доцiльнiсть єдиного пiдходу до вивчення коливань рiзної фiзичної природи. Примiром, єдиний пiдхiд до вивчення механiчних i електромагнiтних коливань використовувався англiйським фiзиком Д. У. Релєєм (1842–1919), А. Г. Столєтовим, росiйським iнженером-експериментатором П. Н. Лєбєдєвим (1866–1912). Великий внесок у розвиток теорiї коливань зробили Л. I. Мендельштам (1879–1944) та його учнi.

Коливання називаються вiльними (або власними), якщо вони здiйснюються за рахунок початково наданої енергiї, при подальшiй вiдсутностi зовнiшнiх дiй на коливальну систему (систему, що виконує коливання). Найпростiшим типом коливань є гармонiчнi коливання коливання, при яких коливна величина змiнюється з часом за законом синуса або косинуса. Розгляд гармонiчних коливань важливий з двох причин: 1) коливання, що зустрiчаються в природi i технiцi, часто мають характер, близький до гармонiчного; 2) рiзнi перiодичнi процеси (процеси, що повторюються через рiвнi промiжки часу) можна представити як накладання гармонiчних коливань. Гармонiчнi коливання величини s описуються рiвнянням типу

s = Acos(ω0t + ϕ),

(1.1)

де A максимальне значення величини, що коливається, називається амплiтудою коливання, ω

кругова (циклiчна) частота, ϕ початкова фаза коливання в момент часу t=0, ( ω0t + ϕ)

фаза коливання в момент часу t. Фаза коливання визначає значення величини, що коливається,

в даний момент часу. Оскiльки косинус змiнюється в межах вiд +1 до -1, то s може набувати значення вiд +A до −A.

Певнi стани системи, яка виконує гармонiчнi коливання, повторюються через промiжок часу T , що називається перiодом коливання, за який фаза коливання одержує прирiст 2π, тобто

ω0(t + T )+ϕ= (ω0t+ϕ) + 2π,

звiдки

T = 2π/ω0.

(1.2)

Величина, обернена до перiоду коливань,

ν = 1/T.

(1.3)

Тобто число повних коливань, що виконуються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порiвнюючи вирази (1.2) i (1.3) одержимо

ω0 = 2πν.

Одиниця частоти герц (Гц): 1 Гц частота перiодичного процесу, при якiй за 1 c виконується один цикл процесу.

Запишемо першу i другу похiднi за часом вiд величини s, що здiйснює гармонiчнi коливання:

Рис. 1.1.
ds	= −Aω0 sin(ω0t + ϕ) = Aω0 cos(ω0t + ϕ + π/2);	(1.4)
dt

d2s	= −Aω02 cos(ω0t + ϕ) = Aω02 cos(ω0t + ϕ + π),	(1.5)
dt2

тобто маємо гармонiчнi коливання з тiєю ж циклiчною частотою. Амплiтуди величин (1.4) i (1.5), вiдповiдно, дорiвнюють Aω0 i Aω02. Фаза величини (1.4) вiдрiзняється вiд фази величини (1.1) на π/2, а фаза величини (1.5) вiдрiзняється вiд фази величини (1.1) на π. Отже, в моменти часу, коли s=0, ds/dt набуває найбiльшого значення; коли ж s досягає максимального негативного значення, то d2s/dt2 набуває найбiльшого позитивного значення (рис. 1.1).

З виразу (1.5) виходить диференцiальне рiвняння гармонiчних коливань

	d2s		+ ω2s = 0,	(1.6)
	dt2

(де s = A cos(ω0t + ϕ)). Розв’язком цього рiвняння є вираз (1.1).

Гармонiчнi коливання зображаються графiчно методом обертального вектора амплiтуди, або методом векторних дiаграм. Для цього з довiльної точки O, вибраної на осi x, пiд кутом ϕ, що дорiвнює початковiй фазi коливання, вiдкладається вектор A, модуль якого дорiвнює амплiтудi A цього коливання (рис. 1.2).

Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкiстю ω0, яка дорiвнює циклiчнiй частотi коливань, то проекцiя кiнця вектора перемiщатиметься по осi i набуватиме значення вiд −A до +A, а коливна величина змiнюватиметься з часом за законом s = A cos(ω0t + ϕ).

Отже, гармонiчне коливання можна представити проекцiєю на деяку довiльно вибрану вiсь вектора амплiтуди A, вiдкладеного з довiльної точки осi пiд кутом ϕ, що дорiвнює початковiй фазi, i який обертається з кутовою швидкiстю ω0 навкруг цiєї точки.

У фiзицi часто застосовується iнший метод, який вiдрiзняється вiд методу обертального вектора амплiтуди, лише формою. У цьому методi коливну величину представляють комплексним числом.

Згiдно з формулою Ейлера для комплексних чисел
		eiα = cos α + i sin α,		(1.7)
√
де i = −1 уявна одиниця.
Тому рiвняння гармонiчного коливання (1.1) у комплекснiй формi
набуває вигляду:
		s = Aei(ωt+ϕ).	(1.8)
Дiйсна частина виразу (1.8)
		Re(s) = A cos(ω0t + ϕ) = s
є гармонiчним коливанням. Позначення Re дiйсної частини умовимося
опускати i (1.8) записуватимемо у виглядi
		s = Aei(ωt+ϕ).
У теорiї коливань умовно взято, що коливна величина s дорiвнює
дiйснiй частинi комплексного виразу, що стоїть в цьому рiвняннi пра-				Рис. 1.2.
воруч.

1.2.Механiчнi гармонiчнi коливання

Нехай матерiальна точка виконує прямолiнiйнi гармонiчнi коливання вздовж осi координат x бiля положення рiвноваги, прийнятої за початок координат. Тодi залежнiсть координати x вiд часу t задається рiвнянням, аналогiчним рiвнянню (1.1), де s = x:

s = A cos(ω0t + ϕ),

(1.9)

Згiдно з виразами (1.4) i (1.5) швидкiсть υ i прискорення a точки, що коливається, вiдповiдно дорiвнюють

υ =	Aω0 sin(ω0t + ϕ) = Aω0 cos(ω0t + ϕ + π/2);		(1.10)
−	2	2
a = −Aω0 cos(ω0t + ϕ) = Aω0 cos(ω0t + ϕ + π).

Сила F = ma, що дiє на матерiальну точку масою m, яка здiйснює коливання, з врахуванням виразiв (1.9) i (1.10) дорiвнює

F = −mω02x.

Отже, сила пропорцiйна змiщенню матерiальної точки з положення рiвноваги i спрямована в протилежний бiк (до положення рiвноваги).

Кiнетична енергiя матерiальної точки, що виконує прямолiнiйнi гармонiчнi коливання, дорiвнює

	mυ2							mA2ω2
	T =					=				0			sin2(ω0t + ϕ),			(1.11)
			2							2
або			mA2ω2
	T =										[1 − cos 2(ω0t + ϕ)].
							0									(1.12)
				4
Потенцiальна енергiя матерiальної точки, що виконує гармонiч-
нi коливання пiд дiєю пружної сили F , дорiвнює
x			2					2		2				2		Рис. 1.3.
Π = −Z
	F dx =				mω0x						=	mA		ω0	cos2(ω0t + ϕ),	(1.13)
					2							2

0