Частина 2

2.13. РОЗКРИТТЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ. ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

Якщо функції f(x) і g(x) задовольняють на деякому відрізку [a, b] умовам теореми Коші і f(a) = g(a) = 0, то відношення f(x) / g(x) невизначено при х = а, але визначено при інших значеннях х. Тому можна поставити завдання обчислити границю цього відношення при x → a.

Теорема 1 (правило Лопіталя). Припустимо, що функції f(x) і g(x) задовольняють на відрізку [a, b] умовам теореми Коші

і f(a) = g(a) = 0. Тоді якщо існує lim f ′(x)

x→a g′(x)

і вони співпадають

		f (x)		0			′
	lim					= lim	f (x)
			=
		g(x)					g (x)
	x→a			0		x→a
							′

, то існує і lim f (x) ,

x→a g(x)

(2.23)

Z

Візьмемо

x (a, b].

Із

теореми

Коші

випливає, що

f (x) − f (a)

f

′

ξ : a < ξ < x,

таке,

що

=

(ξ)

.

За

умовою теореми

g(x) − g(a)

′

g (ξ)

f (x)

′

f(a) = g(a) = 0, тому

=

f (ξ)

. При x → a ξ → a, тому, якщо існує

′

f ′(x)

g(x)

g (ξ)

f ′(ξ)

lim

= A ,

то

існує

і

lim

= A .

Отже, lim

f (x)

=

g (x)

g

(ξ)

x→a

ξ→a

x→a

g(x)

′

′

= lim

f ′(ξ)

= lim

f ′(ξ)

= lim

f ′(x)

= A.

g (x)

x→a

g

(ξ)

ξ→a

g

(ξ)

x→a

′

′

′

Приклад 2.7. Знайдемо границю lim ax

− xa

при a > 0.

− xa )′

x→a

x − a

► lim ax − xa

= lim

(ax

= lim ax ln a −axa−1

= aa ln a −aa = aa (ln a −1).

x→a

x −a

x→a

(x

−a)

x→a

1

′

Зауваження 1. Якщо f(x) або g(x) невизначені при х = а, то можна довизначити їх у цій точці значеннями f(a) = g(a) = 0. Тоді обидві функції будуть неперервними в точці а, і до цього випадку можна застосувати теорему 1.

Зауваження 2. Якщо f ′(a) = g′(a) = 0 і f ′(x) і g′(x) задовольняють

умовам теореми 1 на f(x) й g(x), то до відношення					f ′(x)	можна засто-
					′
	f ′(x)		f ′′(x)		g (x)
сувати правило Лопіталя: lim		= lim		тощо.
	′		′′
x→a		x→a
	g (x)		g (x)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

41

Приклад 2.8. Знайдемо границю lim

x −sin x

.

x →0

x

3

► lim

x −sin x

0

1−cos x

0

sin x

0

= lim

cos x

=

1

=

= lim

=

= lim

=

.

x3

3x2

6x

6

6

x→0

0

x→0

0

x→0

0

x→0

Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати й для роз-

криття невизначеностей виду ∞ , тобто для обчислення границі

∞

двох функцій, що прямують до нескінченності при x → a.

Теорема 2. Припустимо, що функції f(x) і g(x) неперервні й диференційовані при x ≠ a в околі точки а, і g′(x) ≠ 0 у цьому

	околі. Тоді якщо lim f (x) = lim g(x) = ∞ й існує lim							f ′(x)	= A,
								′
		x→a			x→a		x→a	g (x)
	то існує і lim	f (x)	, і вони співпадають:
		g(x)
	x→a			f (x)		f ′(x)
			lim		= lim		= A
				g(x)		g (x)
			x→a		x→a
						′

Z Візьмемо в околі точки а дві точки α і х так, щоб α < x < a (або a < x < α). Тоді за теоремою Коші існує точка с (a < c < x) така, що

f (x) − f (α)

f

′

=

(c)

.

g(x) − g(α)

′

g (c)

1 −

f (α)

′

1 −

f (α)

f (x) − f (α)

f (x)

f (x)

f (x)

f (x)

=

f

(c)

=

Оскільки

, то

,

g(α)

′

g(α)

g(x) − g(α)

g(x) 1 −

g (c)

g(x) 1 −

звідки маємо:

g(x)

g(x)

′

1 −

g(α)

f

(x)

f

g(x)

=

(c)

.

(2.24)

′

f (α)

g

(x)

g

(c)

1 −

f (x)

Оскільки lim

f ′(x)

= A, можна для будь-якого малого ε обрати α

g (x)

x→a

′

настільки близьким до а, що для будь-якого с виконується нерівність:

f	′				f	′
	(c)	− A	< ε	A −ε <		(c)	< A +ε.	(2.25)
	′					′
g (c)					g (c)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

42

Для цього ж

значення

ε

з умови

теореми випливає, що

1 −

g(α)

g(x)

=1 (оскільки

lim

lim f (x) = lim g(x) = ∞), тому

f (α)

x→a 1 −

x

→a

x→a

f (x)

1 −

g(α)

або 1 −ε <

1 −

g(α)

g(x)

<1 +ε.

g(x)

−1

< ε,

(2.26)

1 −

f (α)

1 −

f (α)

f (x)

f (x)

Перемножимо

нерівності

(2.25), (2.26) і застосуємо рівність (2.24):

′

1

−

g(α)

g(x)

( A −ε)(1−ε)

<

f (c)

< ( A +ε)(1+ε)

′

f (α)

g (c)

1

−

f (x)

( A −ε)(1−ε) <

f (x)

< ( A +ε)(1+ε).

g(x)

Оскільки ε – довільне мале число, звідси випливає, що

lim

f (x)

= A = lim

f ′(x)

.

g (x)

x→a

g(x)

x→a

′

Зауваження 1. Теорема 2 справедлива й при А = ∞. У цьому ви-

падку lim g′(x) = 0. Тоді й lim g(x) = 0 – як наслідок – lim f (x) = ∞.

x→a f ′(x) x→a f (x) x→a g(x)

Зауваження 2. Теореми 1 і 2 можна довести й для випадку, коли

х → ∞.

Приклад 2.9. Знайдемо границюlim x2 ln x.

x→0

► lim x2 ln x = lim ln x

(ln x)′

1

= lim

= lim

x

= −2lim x2 = 0.

−2

′

2

x→0

x→0

x

−2

x→0

(x

x→0

x→0

)

−

x3

2.14.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ІЗ ЗАЛИШКОВИМ ЧЛЕНОМ

УФОРМАХ ПЕАНО ТА ЛАГРАНЖА

Розглянемо функцію y = f(x), що має в околі точки х = а усі похідні до порядку (n + 1) включно, і поставимо задачу: знайти поліном y = Pn(x) степеня не вище n, для якого його значення в точці а, а також значення його похідних до n-го порядку дорівнюють значенням при x = a обраної функції та її похідних відповідного порядку:

Pn (a) = f (a), Pn′(a) = f ′(a), Pn′′(a) = f ′′(a), ..., Pn( n) (a) = f ( n) (a). (2.27)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

43

Припустимо, що шуканий поліном має вигляд:

Pn(x) = C0+C1(x – a) + C2(x – a)²+…+Cn(x – a)n.											(2.28)
При цьому
Pn′(x) = C1 + 2C2 (x − a) + 3C3 (x − a)2					+... + nCn (x − a)n−1 ,
′′	1 C2	+ 3 2 C3 (x − a)		+... + n(n −			1)Cn (x − a)	n−2			, ...,
Pn (x) = 2
			P( n) (x) = n(n −1)... 2 1 C				.
Тоді			n			n
Pn (a) = C0 =		f	′	′		′′			′′
			(a), Pn (a) = C1 = f (a), Pn (a) = 2C2 = f							(a),
′′′	3 2C3		′′′								(2.29)
Pn (a) =			= f (a),...,
P( n) (a)	= n(n −1)(n − 2)... 3 2			1 C	n	= f ( n) (a).
n

Із формул (2.29) можна виразити коефіцієнти Сi через значення похідних даної функції в точці а.

Факторіалом числа n називається добуток послідовних натуральних чисел, починаючи з одиниці до n включно 1 · 2 · 3 · …· (n – 1)n і позначається

n! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1)n.

(2.30)

Зауваження. За домовленістю 0! = 1.

У термінах факторіалу маємо:

C0 = f (a), C1 =

′

C2 =

1

f

′′

=

1

f

( n)

(a).

(2.31)

f (a),

2!

(a), ..., Cn

n!

Таким чином, шуканий многочлен має вигляд:

Р

(x) = f (a) +

f ′(a)

(x − a) +

f ′′(a)

(x − a)2 +... +

f ( n) (a)

(x − a)n .

(2.32)

n

1!

2!

n!

Позначимо через Rn(x) різницю значень даної функції f(x) і побу-

дованого многочлена Pn(x): Rn(x) = f(x) – Pn(x), звідки f(x) = Pn(x) + + Rn(x), або

f (x) = f (a) +			f ′(a)	(x −a) +	f ′′(a)	(x −a)2	+...
					2!
1!
+	f (n) (a)	(x −a)n + R (x).					(2.33)
	n!			n

Отримане представлення функції (2.33) називається формулою Тейлора, а Rn(x) називається залишковим членом формули Тейлора.

Для тих значень х, для яких Rn(x) мале, многочлен Pn(x) дає наближене представлення функції f(x). Отже, формула (2.33) дає можливість замінити функцію y = f(x) многочленом y = Pn(x) із ступенем точності, що дорівнює значенню залишкового члена Rn(x).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

44

Форми залишкового члена у формулі Тейлора

Покажемо, що Rn(x) = o(x – a)n. Із вибору многочлена Pn(x) випливає, що Rn′(a) = Rn′′(a) =... = Rn( n) (a) = 0. Застосуємо для обчислення

границі lim

Rn (x)

n разів правило Лопіталя, маємо:

(x − a)n

x→a

lim

Rn (x)

= lim

Rn′(x)

= ... = lim

Rn( n−1) (x)

=

Rn( n) (a)

= 0.

n(x − a)n−1

x→a (x − a)n

x→a

x→a

n!(x − a)

n!

Твердження доведено.

Представлення залишкового члена у вигляді

Rn = o(x – a)n

(2.34)

називається записом залишкового члена у формі Пеано.

Знайдемо ще один запис Rn(x). Подамо його у вигляді

R (x) = (x − a)n+1

Q(x).

(2.35)

n

(n +1)!

й визначимо вигляд функції Q(x). Із (2.33) випливає, що:

f (x) =

f (a) +

f ′(a)

(x − a) +

f ′′(a)

(x − a)2 +... +

f ( n) (a)

(x − a)n +

1!

2!

n!

+

(x − a)n+1

Q(x).

(2.36)

(n +1)!

При фіксованих значеннях х і а: Q(x) = Q. Розглянемо допоміжну

функцію від t (a < t < x):

F(t) = f (x) − f (t) −

x −t

′

(x −t)2

f

′′

(x −t)n

f

(n)

(t) −

(x −t)n+1

1

−

2!

...−

n!

(n +1)! Q.

f (t)

(t) −

Функція F(t) диференційована в околі точки а, оскільки

′

′

′

x −t

f

′′

2(x −t)

f

′′

1

2!

F (t) = − f

(t) + f

(t) −

(t) +

(t) −...

− (x −t)n−1

f ( n) (t) + n(x −t)n−1

f ( n) (t) −

(x −t)n

f ( n+1) (t) +

(n +1)(x −t)n Q =

(n −1)!

n!

n!

(n +1)!

= −(x −t)n

f ( n+1) (t) + (x −t)n

Q,

n!

n!

Із (2.36) випливає, що F(x) = F(a) = 0, тому до функції F(t) можна застосувати теорему Ролля: існує t = ξ (a < ξ < x) таке, що F′(ξ) = 0. Тоді

−	(x −ξ)n	f ( n+1) (ξ) +	(x −ξ)n	Q = 0,
	n!		n!

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

45

звідки Q = f(n+1)(ξ). Підставимо цей вираз у (2.35), отримаємо запис за-

лишкового члена у формі Лагранжа:

			R (x) = (x − a)n+1 f ( n+1)					(ξ).			(2.37)
			n		(n +1)!
Оскільки a < ξ < x, можна представити ξ = а + θ(х – а), де 0 < θ < 1.
При цьому
	R (x) = (x − a)n+1				f ( n+1) (a +θ(x − a)).						(2.38)
	n		(n +1)!
Зауваження. Якщо у формулі Тейлора прийняти а = 0, отримає-
мо формулу Маклорена:
f (x) = f (0) +	f ′(0)	x +	f ′′(0)	x2 +... +		f (n) (0)	xn	+	xn+1		f (n+1) (θx). (2.39)
			2!						(n +1)!
1						n!

2.15. РОЗКЛАД ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ ЗА ФОРМУЛОЮ ТЕЙЛОРА, ЗАСТОСУВАННЯ ЇЇ

ДО НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ

Знайдемо розклад за формулою Тейлора при а = 0 (точніше за

формулою Маклорена) функцій: ex, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x)m.

1) f(x) = ех.

f(x) = f ′(x) = … = f (n)(x) = ex f(0) = f ′(0) = … = f(n)(0) = 1.

Підставляючи ці результати в формулу (2.39), отримаємо:

e

x

x x2

x3

xn

xn+1

θx

=1 +

+

+

+... +

+

e

, 0 <θ <1.

(2.40)

1

2!

3!

n!

(n +1)!

Зауважимо, що для будь-якого х: lim Rn (x) = 0;

n→∞

2) f(x) = sin x.				π
		′	+		′
		f (x) = cos x = sin(x		2 ),	f (0) =1,
	f	′′	+	π	f	′′	= 0,
		(x) = −sin x = sin(x		2 2 ),		(0)
f	′′′			π	f	′′′	= −1,
		(x) = −cos x = sin(x + 3 2 ),				(0)
.......................................................................
	f ( n) (x) = sin(x + n π ),			f ( n) (0) = sin			πn ,
		2					2
f ( n+1) (x) = sin(x + (n +1) π ), f ( n+1) (ξ) = sin(ξ + (n +1)								π ).
		2						2

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

46

Розклад за формулою Маклорена має вигляд:

sin x = x −

x3

+

x5

−... +

xn

sin

πn

+

xn+1

sin(ξ + (n +1)

π ). (2.41)

n!

2

(n +1)!

3!

5!

2

У цьому випадку, як і в попередньому, при усіх значеннях х:

lim Rn (x) = 0.

n→∞

Можна запропонувати ще один варіант формули:

sin x = x −	x3	+	x5	−... + (−1)n	x2 n+1		+ o(x2 n+2 );
					(2n +1)!
3!		5!

3) f(x) = cos x.

Таким чином, як і для синуса, можна отримати розклад за формулою Тейлора для косинуса:

cos x =1 −

x2

+

x4

−... +

xn

cos πn +

xn+1

cos(ξ + (n +1) π ) =

n!

(n +1)!

2!

4!

2

2

=1 −

x2

+

x4

−... + (−1)n

x2n

+ o(x2 n+1 );

(2.42)

2!

4!

(2n)!

4) f(x) = ln(1 + x). Тоді

′

1

=(1+ x)

−1

,

′′

−2

, ..., f

(n)

(x) = (−1)

n+1

(n −1)!(1

+ x)

−n

,

1+ x

f (x) =

f (x) = (−1)(1+ x)

f (n) (0) =(−1)n+1(n −1)!,

f (0) =0.

Отже,

ln(1 + x) = x −

x2

+

x3

−... + (−1)n+1

xn

+ o(xn+1 );

(2.43)

2

3

n

5) f(x) = (1 + x)m. При цьому f (n)(x) = m(m – 1)…(m – n + 1)(1 + x) m – n, f (n)(0) = m(m – 1)…(m – n +1). Тоді

(1+ x)m =1+ mx + m(m −1) x2 +... + m(m −1)...(m −n +1) xn + o(xn+1 ). (2.44) 2! n!

Застосування формули Тейлора для наближених обчислень

Замінюючи деяку функцію, для якої відомий розклад за формулою Тейлора, многочленом Тейлора, степінь якого обирається так, щоб величина залишкового члена не перевищувала обране значення похибки, можна знаходити наближене значення функції із заданою точністю.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

47

Наприклад, знайдемо наближене значення числа е, обчисливши значення многочлена Тейлора (2.40) при n = 8:

e =1 +1 + 21! + 31! +... + 81! ≈ 2,71828.

При цьому, залишок R8 < 91! 3 <10−5.

2.16.ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ

2.16.1.Умови зростання та спадання

Теорема 1. Якщо функція f(x) диференційована та зростає на

′

на [a, b]. Якщо f(x) неперервна на [a, b],

[a, b], то f (x) ≥ 0

диференційована на

(a, b) і f

′

для a < x < b, то ця фун-

(x) > 0

кція зростає на відрізку

Z 1. Припустимо, що

f(x) зростає на

[a, b]. Тоді

при

x > 0

f (x +

x) > f (x),

тобто

f (x + x) − f (x) > 0. Якщо

ж

x < 0,

f (x +

x) < f (x),

тому f (x + x) − f (x) < 0.

Як наслідок, в обох випа-

дках

f (x + x) −

f (x)

> 0. Отже, lim

f (x +

x)

− f (x)

=

f

′

(x) ≥ 0,

що й

x

x

x→o

треба було довести.

2. Припустимо, що

f '(x)>0 x [a, b].

Виберемо

x1, x2 [a, b]:

x1 < x2. За теоремою Лагранжа:

′

− x1 ),

x1 < ξ < x2 .

f (x2 ) − f (x1 ) = f (ξ)(x2

Але за умовою f ′(ξ) > 0, тому f(x2) > f(x1), f(x) – зростаюча функція.

Зауваження 1. Аналогічну теорему можна довести й для спадної функції: якщо f(x) спадає на [a, b], то f ′(x) ≤ 0 на [a, b]. Якщо

f ′(x) < 0 на (a, b), то f(x) спадає на [a, b].

Зауваження 2. Геометричний зміст теореми: якщо функція зростає на відрізку [a, b], то дотична до її графіка в усіх точках відрізка утворює з віссю Ох гострий кут (або горизонтальна). Якщо ж функція спадає на відрізку, то дотична до її графіка утворює з віссю Ох тупий кут (або в деяких точках паралельна осі Ох).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

48

2.16.2. Необхідна та достатня умови екстремуму

Теорема 2 (необхідна умова екстремуму). Припустимо, що функція f(x) задана в деякому околі точки х0. Якщо х0 є точкою екстремуму функції, то f ′(x0 ) = 0 або не існує

Z Дійсно, похідна в х0 або існує, або ні. Якщо вона існує, то за теоремою Ферма вона дорівнює нулю.

Приклад 2.10. Функція y = x² має мінімум при х = 0, її похідна

(х²)′ = 2x = 0 при х = 0.

Приклад 2.11. Функція y = |x| має мінімум при х = 0, похідна в цій точці не існує.

Зауваження. Теорема 2 дає необхідну, але недостатню умову екстремуму, тобто не в усіх точках, в яких f ′(x) = 0 або не існує, функція досягає екстремуму.

Приклад 2.12. Похідна функції y = x³ дорівнює нулю y′ = 3x2 = 0 при х = 0, однак функція монотонно зростає на всій області визначення.

Якщо функція визначена в деякому околі точки х0 та її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, точка х0 називається критич-

ною точкою 1-го роду.

Теорема 2 означає, що усі точки екстремуму функції 1-го роду знаходяться в множині її критичних точок.

Достатня умова екстремуму

Теорема 3. Припустимо, що функція f(x) неперервна в деякому околі точки х0, диференційована в проколотому околі цієї точки і з кожного боку від цієї точки f ′(x) зберігає знак. Тоді:

1)якщо f ′(x) > 0 при x < x0 і f ′(x) < 0 при x > x0, точка х0 є точкою максимуму;

2)якщо f ′(x) < 0 при x < x0 і f ′(x) > 0 при x > x0, точка х0 є точкою мінімуму;

3)якщо f ′(x) не змінює знак в точці х0, ця точка не є точкою екстремуму

Z Справедливість твердження 3) випливає з теореми 1. Доведемо твердження 1) і 2). За формулою Лагранжа f(x) – f(x0) = f ′(ξ)(x – x0), де х належить околу точки х0, а ξ лежить між х і х0. Якщо f ′(ξ) > 0 при

x < ξ < x0 й f ′(ξ) < 0 при х0 < ξ < x, приріст f(x) – f(x0) < 0 з обох боків від х0, тобто в точці x0 досягається максимум. Якщо ж похідна при

х = х0 змінює знак з “–” на “+”, то точка х0 є точкою мінімуму. Отже, зміна знака похідної в точці х0 є необхідною і достатньою умовою наявності екстремуму в цій точці.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

49

(2m)(x0) > 0, то таким же чином доводиться,

Теорема 4. Припустимо, що f ′(x0) = 0 і існує неперервна друга похідна функції в деякому околі точки х0. Тоді х0 є точкою максимуму, якщоf ′′(x0) < 0, аботочкоюмінімуму, якщоf ′′(x0) > 0

Z Доведемо першу частину теореми. Припустимо, що f ′′(x0) < 0. Оскільки за умовою f ′′(x) неперервна, існує окіл точки х0, в якому f ′′(x) < 0. Нагадаємо, що f′′(x) = (f ′(x))′, та із умови (f ′(x))′ < 0 випли-

ває, що f ′(x) спадає в околі, що розглядається. Оскільки f ′(x0) = 0, то

f ′(x) > 0 при x < x0 й f ′(x) < 0 при x > x0. Тоді за теоремою 3 точка х0 є точкою максимуму функції, що й треба було довести. Твердження 2

доводять аналогічно.

Теорема 5. Припустимо, що функція y = f(x) n разів диференційована вточці х0 й f (k)(x0) = 0 при k = 1, 2, …, n – 1, а f (n) (x0) ≠ 0. Тоді, якщо n – парне (n = 2m), функція f(x) має в точці х0 екст-

ремум, а саме – максимум при f(2m)(x0) < 0 і мінімум при f (2m)(x0) > 0. Якщо ж n – непарне число (n = 2m – 1), то

точка х0 не є точкою екстремуму

Z Із формули Тейлора (2.33) із залишковим членом у формі Пеано (2.34) випливає, що

f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )n f (n) (ξ) +0(x − x0 )n , n!

де ξ лежить між х і х0.

а) якщо n = 2m – парне і f (2m)(x0) < 0, то знайдеться окіл точки х0, в

якому f (2m) (x) < 0. Припустимо, що х належить цьому околу, тоді ξ також належить йому, тобто f (2m)(ξ) < 0. Але (x – x0)2m > 0 при х ≠ х0 ,

тому f(x) – f(x0) < 0 у всьому околі, що розглядається, отже, точка х0 є точкою максимуму;

б) якщо n = 2m – парне і f

що х0 – точка мінімуму;

в) якщо n = 2m – 1 – непарне, то (x – x0)2m–1 має різні знаки з різних боків від точки х0. Тому в околі цієї точки, в якому похідна порядку 2m – 1 зберігає знак, приріст функції змінює знак при х = х0. Отже, екстремум у цій точці не досягається.

Таким чином, перевірити наявність екстремуму в критичній точці x0 можна одним з трьох способів:

1)упевнитися, що f ′(x) змінює знак при переході через х = х0;

2)визначити знак f ′′(x0);

3)якщо f ′′(x0) = 0, дослідити порядок і знак похідної, що не обертається в нуль у точці х0.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

50