Вища математика

МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ ІНСТИТУТ ФІНАНСІВ

УКРАЇНСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ФІНАНСІВ ТА МІЖНАРОДНОЇ ТОРГІВЛІ

О. А. Тінгаєв

Вища математика

Навчальний посібник

Одеса, 2011

Навчальний посібник з розділу „Вища математика” дисципліни „Математика для економістів” для студентів денної форми навчання усіх спеціальностей освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр” Одеського інституту фінансів включає опорний конспект лекцій та завдання для самостійної роботи.

Друкується за рішенням Вченої Ради Одеського інституту фінансів УДУФМТ.

Укладач: Тінгаєв Олександр Аркадійович, к.ф.-м.н., доцент

Рецензенти: Іванченко Є. А., д.п.н., доцент кафедри ВМ та ІТ Одеського інституту фінансів УДУФМТ.

Хусаїнов І. Х., ст. викл. кафедри ВМ та ІТ Одеського інституту фінансів УДУФМТ.

©Тінгаєв О. А., 2011

©Одеський інститут фінансів УДУФМТ, 2011

ЗМІСТ
ВСТУП.............................................................................................	8
ЗМІСТ КУРСУ ................................................................................	9
1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ...................................................................	13
1.1. ВИЗНАЧНИКИ .................................................................	13
1.2. ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ .......................................................	16
1.3. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ ...................	18
1.3.1. ПОНЯТТЯ ПРО СИСТЕМУ РІВНЯНЬ .....................................................	18
1.3.2. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ........................................................	20
2. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ ...........	23
2.1. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ........................................................	24
2.2. ПРЯМА ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ ..............................................	28
2.2.1. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ ЛІНІЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ 2 ТОЧКИ .................	30
2.2.2. КУТ МІЖ ДВОМА ПРЯМИМИ ..............................................................	31
2.2.3. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ ......................................................	33
2.2.4. ТОЧКА ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПРЯМИХ......................................................	33
2.3. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ................................................	34
2.4. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ ..............................	37
2.4.1. ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ......................................................................	37
2.4.2. ПРЯМА У ПРОСТОРІ ...........................................................................	38
3. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.......................................................	40
3.1. ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ФУНКЦІЇ ..............................	40

3.1.1. ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ .................................................................	40
3.1.2. ВЛАСТИВОСТІ ГРАНИЦІ ПОСЛІДОВНОСТІ ..........................................	43
3.1.3. МОНОТОННІ ПОСЛІДОВНОСТІ ...........................................................	44
3.1.4. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ.............................................................................	45
3.1.5. ДВІ ОСОБЛИВІ ГРАНИЦІ .....................................................................	49
3.2. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЙ ТА ПОХІДНА ............................	51
3.2.1. ТОЧКУ РОЗРИВУ ФУНКЦІЙ.................................................................	53
3.2.2. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ.............................	54
3.2.3. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ.............................................................................	55
3.2.4. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ТА ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ...................	58
3.3. ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ....................................................	61
3.4. ТЕОРЕМИ ПРО ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІ ФУНКЦІЇ ......................	63
3.5. АСИМПТОТИ...................................................................	65
3.6. ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ.......................................................	66
3.7. СХЕМА ПОБУДОВИ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ................................	66
3.7.1. СХЕМА ..............................................................................................	67
3.7.2. ПРИКЛАД...........................................................................................	68
4. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ................................................	72
4.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ........................................................	72
4.1.1. ПРИКЛАД...........................................................................................	72
4.1.2. ГРАНИЦЯ, НЕПЕРЕРВНІСТЬ, ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ФУНКЦІЇ..................	74
4.1.3. ПРИКЛАД...........................................................................................	77
4.1.4. ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ ...................................................................	78
4.2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ .................................................	78

4

4.2.1. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ........................................................................	78
4.2.2. ПРИКЛАД...........................................................................................	80
5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ .....................................................	81
5.1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ..............................................	81
5.1.1. ПЕРВІСНА ФУНКЦІЯ...........................................................................	81
5.1.2. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА .....................................	82
5.1.3. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ ІНТЕГРАЛІВ .....................................................	83
5.2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ......................	84
5.2.1. МЕТОД БЕЗПОСЕРЕДНЬОГО ІНТЕГРУВАННЯ.......................................	85
5.2.2. МЕТОД ЗАМІНИ ЗМІННОЇ ПІД ЗНАКОМ ІНТЕГРАЛА.............................	85
5.2.3. МЕТОД ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ.................................................	86
5.2.4. ТИПИ ІНТЕГРАЛІВ ДЛЯ ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ.........................	87
5.3. ІНТЕГРАЛИ, ЩО МІСТЯТЬ У ЗНАМЕННИКУ КВАДРАТНИЙ
ТРИЧЛЕН .......................................................................	88
5.4. ПЕРЕТВОРЕННЯ РАЦІОНАЛЬНОГО ДРОБУ ........................	89
6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ...............................................	91
6.1. ВСТУП ...........................................................................	91
6.1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ....................................................	91
6.1.2. ЗДР 1-ГО ПОРЯДКУ В НОРМАЛЬНІЙ ФОРМІ КОШІ..............................	93
6.1.3. ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ РІВНЯННЯ .....................................................	94
6.1.4. ЗАДАЧА КОШІ ...................................................................................	96
6.2. ІСНУВАННЯ Й ЄДНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ КОШІ ...............	96
6.2.1. УМОВА ЛИПШИЦЯ. ДОСТАТНЯ УМОВА ............................................	97
6.2.2. ТЕОРЕМА ПІКАРА-КОШІ ...................................................................	98
	5

6.2.3. ЗАУВАЖЕННЯ ДО ТЕОРЕМИ ПІКАРА-КОШІ. НАСЛІДКИ...................	100
6.2.4. ОСОБЛИВИЙ РОЗВ’ЯЗОК РІВНЯННЯ..................................................	101
6.3 ВИЗНАЧЕННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ ..............................	102
6.4. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ .............................	103
6.4.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ..........................................................................	103
6.4.2. ЛІНІЙНЕ ОДНОРІДНЕ РІВНЯННЯ .......................................................	105
6.4.3. ЛІНІЙНЕ НЕОДНОРІДНЕ РІВНЯННЯ ...................................................	106
6.4.4. ЛІНІЙНІ ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ З ПОСТІЙНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ........	106
6.4.5. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ З ПОСТІЙНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Й ЗІ
СПЕЦІАЛЬНИМ ВИГЛЯДОМ ПРАВОЇ ЧАСТИНИ ......................................................	108
7. РЯДИ.......................................................................................	111
7.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ .............................................................	111
7.1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ. ЗБІЖНІСТЬ .......................................................	111
7.1.2. ВЛАСТИВОСТІ ЗБІЖНИХ РЯДІВ.........................................................	112
7.1.3. ПРИКЛАДИ РЯДІВ............................................................................	112
7.1.4. ДОСТАТНІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ РЯДІВ З ДОДАТНИМИ ЧЛЕНАМИ......	113
7.1.5. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ .........................................................................	115
7.2. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ..........................................................	117
7.2.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕОРЕМИ .....................................................	117
7.2.2. РЯД ТЕЙЛОРА..................................................................................	120
ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ...............................................................	121
СУМІСНІСТЬ СИСТЕМ...........................................................	121
ВЕКТОРНА АЛГЕБРА.............................................................	124
ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ ............................................................	126
6

КУТИ НА ПЛОЩИНІ ...............................................................	130
ЛІНІЇ 2-ГО ПОРЯДКУ .............................................................	132
ГРАНИЦІ .............................................................................	133
ДОСЛІДИТИ ФУНКЦІЮ НА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ............................	135
ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ............................................................	136
ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ...................................................	137
ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ .............................	139
ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ.................................................	139
ІНТЕГРУВАННЯ ЗАМІНОЮ .....................................................	140
ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ ..............................	140
ВИЗНАЧЕНИЙ ТА НЕВЛАСНИЙ ІНТЕГРАЛИ .............................	141
ЧИСЛОВІ РЯДИ ....................................................................	142
СТЕПЕНЕВІ РЯДИ ................................................................	143
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ ..............................	145
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ № 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА .................................	145
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ № 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ......................	146
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №3. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ .................................	147
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ...............	149
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ .......................	150
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ..................	152
РОЗРАХУНКОВЕ ЗАВДАННЯ №7. РЯДИ......................................................	162
ЛІТЕРАТУРА ...............................................................................	169

7

ВСТУП

Навчальний посібник призначено для студентів Одеського інституту фінансів. Зміст посібника включає в собі у стислій формі теоретичну частину програми курсу вищої математики, задачі для практичних занять та завдання для самостійної роботи. Зокрема, тут є усі необхідні для подальшої практичної роботи означення, властивості, теореми. Приведено доведення деяких теорем. Частина матеріалу ілюструється прикладами.

8

ЗМІСТ КУРСУ

Тема І. Елементи теорії матриць та визначники

Поняття прямокутної матриці. Види матриць. Дії з матрицями. Визначники другого та третього порядку. Визначники n-го по-

рядку та їх властивості. Розклад визначників за елементами рядків та стовпців. Методи обчислення визначників. Правило Крамера для роз- в`язування систем лінійних рівнянь. Поняття та знаходження оберненої матриці. Розв`язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Тема 2. Загальна теорія систем лінійних рівнянь

Поняття та знаходження рангу матриці. Умови сумісної визначеності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронера-Капеллі. розв`язування системи n лінійних рівнянь з m невідомими.

Розв`язування систем лінійних рівнянь методом Гауса. Розв`язування систем лінійних рівнянь методом Жордана. Загальний та частинний розв`язки систем лінійних рівнянь. Однорідні системи лінійних рівнянь.

Тема 3. Лінії на площині

Лінійні дії з векторами. Скалярний добуток. Довжина вектора. Кут між векторами. Відстань між двома точками. Колінеарні вектори.

Поняття рівняння лінії в R. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Загальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої. Розв`язування економічних прикладів.

9

Тема 4. Лінії в просторі

Площина і пряма. Кут між прямою і площиною. Рівняння площини. Куш між площинами що проходить через три точки.

Тема 5. Криви другого порядку

Загальне рівняння ліній другого порядку. Коло. Знаходження центру та радіуса кола за загальним рівнянням. Еліпс. Гіпербола та її асимптоти. Парабола. Розв`язання економічних прикладів.

Тема 6. Границі функції

Означення функції. Область визначення. Способи завдання функцій. Основні елементарні функції, які використовуються в економічних дослідженнях.

Означення границі функції. Односторонні границі. Основні теореми про границі функції. Розкриття невизначеностей. Перша та друга особливості границі. Правило Лопіталя.

Тема 7. Неперервність функції

Означення неперервності функції в точці та на проміжку. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність основних елементарних функцій. Точки розриву функції та їх класифікація.

Тема 8. Похідна функції

Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної. Її геометричний, механічний та економічний зміст. Дотична до кривої. Залежність між неперервністю та диференційованістю функції. Правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій. Похідні вищих порядків.

Тема 9. Диференціал функції однієї змінної

Означення диференціала функції. Правила знаходження диференціала. Диференціал складної функції. Застосування диференціала для наближених обчислень.

10