2. Определители

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Понятие определителя

2.1. Что называют определителем второго порядка? Как он обозначается? Приведите схему для запоминания выражения для такого определителя.

2.2. Найдите определители:

а) ; б) ; в) .

2.3. Решите уравнения и неравенство:

а) ; б) ; в) .

2.4*. Докажите, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны, и что то же самое верно для столбцов.

2.5. Что называют определителем третьего порядка? Как он обозначается? Как называют диагонали определителя? Приведите правило Саррюса для нахождения определителя.

2.6. Найдите определители:

а) ; б) ; в)* ;

г)* .

2.7. Решите уравнение и неравенство:

а) ; б) .

2.8. Как обозначается определитель n–го порядка? Что представляют собой его слагаемые? Сколько слагаемых имеет такой определитель? Что можно сказать о знаках этих слагаемых?

Свойства определителей

2.9. Что происходит с определителем матрицы при ее транспонировании? Докажите соответствующее утверждение для определителей второго и третьего порядков. Приведите пример.

2.10. Чему равен определитель, если он содержит нулевую строку (столбец)? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.11. Как изменится определитель, если поменять местами две его строки (столбца)? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение для определителей второго порядка.

2.12. Чему равен определитель, содержащий две одинаковых строки (столбца)? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.13. Как можно преобразовать определитель, если элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.14. Как, не раскрывая определителя, умножить его на число? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.15. Как можно представить определитель, если каждый элемент какой-либо строки (столбца) равен сумме двух слагаемых? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.16. Чему равен определитель, у которого какие-либо две строки (столбца) пропорциональны? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.17. Изменится ли определитель, если какую-нибудь строку (столбец) заменить ее суммой с другой строкой (столбцом), умноженной на любое число? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение.

2.18. Поясните термин «линейная комбинация». Приведите пример определителя третьего порядка, у которого какая-либо строка является линейной комбинацией двух других строк.

2.19. Чему равен определитель, если какая-либо его строка (столбец) равна линейной комбинации других строк (столбцов)? Приведите пример. Докажите соответствующее утверждение. Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?

2.20. Как выражается определитель произведения квадратных матриц через определители матриц-множителей? Приведите пример.

Разложение определителя по элементам строки (столбца)

2.21. Что такое минор элемента определителя? Приведите примеры.

2.22. Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя? Приведите примеры.

2.23. Для определителя из задания 2.6 (а) найдите миноры и алгебраические дополнения элементов , , .

2.24. Сформулируйте теорему о разложении определителя по строке (столбцу).

2.25. Запишите в общем виде определитель третьего порядка. Разложите его: а) по первой строке; б) по третьему столбцу.

2.26. Вычислите определитель разложением: а) по первой строке; б) по второму столбцу. Какую строку (столбец) удобнее выбирать для разложения определителя? Какова закономерность изменения знаков слагаемых при разложении определителя?

Вычисление определителей

2.27. Охарактеризуйте трудоемкость процедуры вычисления определителя с использованием его определения.

2.28*. Оцените машинное время, требуемое для вычисления определителя 50-го порядка по определению (быстродействие компьютера – 1 млн. арифметических операций в секунду).

2.29. В чем заключается метод вычисления определителя понижением порядка?

2.30. Найти определители, используя понижение порядка:

а) ; б) ; в)* .

2.31. Выведите формулу для нахождения диагонального определителя

.

2.32. Найдите определитель .

2.33. Выведите формулу для нахождения треугольного определителя

.

Запишите нижний треугольный определитель. Применима ли к нему выведенная формула?

2.34. Найдите определители:

а) ; б) .

2.35. В чем заключается метод вычисления определителей приведением к треугольному виду? Опишите соответствующий алгоритм.

2.36. Найдите определители приведением их к треугольному виду:

а) ; б) ; в)* .

2.37*. Проверить, что определитель

делится на , , .

2.38*. Построить график функции

, где .

2.39*. Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями .

4