Динамика билеты / 8Несвободное движение. Связи. Уравнение связей. Принцип

Несвободное движение, то есть когда точка, благодаря наложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвижной поверхности или кривой.

В этом случае используют аксиому:

всякую несвободную материальную точку можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи N. Тогда основной закон динамики для несвободной материальной точки имеет вид:

 , (5) где  – действующие на точку активные силы.

Основная задача динамики несвободной точки состоит в определении закона движения точки и реакции наложенных связей. Считается, что вид связей, действующие активные силы и начальные условия заданы.

Несвободным называется движение точки, ограниченное какими-либо связями.

Пусть материальная точка движется по поверхности, имеющей вид

Ф(x, y, z)=0 (20)

На точку действуют:

F – заданная активная сила (или равнодействующая системы сил);

N – нормальная реакция поверхности;

T – сила трения, всегда направленная в сторону, противоположную вектору скорости.

Основное уравнение динамики имеет вид

. (21)

Проектируя (21) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения

 (22)

В уравнениях (22) необходимо определить положение сил N и T по отношению к координатным осям. Используя уравнение поверхности (20) на основании известных математических зависимостей имеем

_____________________________________________________________________________________

(23)	дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа I рода

где - градиент функции (20);

- частные производные от (20);

- скорость материальной точки.

При решении системы (23) к ней необходимо присоединить уравнение (20) и уравнение для силы трения, например, закон Кулона

T=fN,

где f – коэффициент трения скольжения.

После чего из пяти уравнений можно найти пяти неизвестных: x, y, z, N, T.

В тех случаях, когда точка движется по пространственной кривой, удобно пользоваться дифференциальными уравнениями несвободного движения в проекции на естественные оси. При этом в уравнения (4) войдут реакция поверхности N и сила трения T.

. (24)

Динамика относительного движения

Пусть материальная точка движется под действием силы F. Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz ( см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O₁x₁y₁z₁.

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

. (25)

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

, (26)

где a_абс – абсолютное ускорение;

a_отн – относительное ускорение;

a_пер – переносное ускорение;

a_кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

,

. (27)

Введем обозначения - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

. (28)

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

_____________________________________________________________________________________

СВЯЗИ

Тела, ограничивающие свободу перемещения других тел, называются по отношению к ним связями. 

Классификация связей

Связь называется удерживающей, если уравнение связи имеет вид равенства. Связи, задаваемые с помощью неравенств – неудерживающие

Если связь со временем не меняется, т.е. время не входит явным образом в уравнение связи, то связь стационарная (склерономная)

Если связь изменяется во времени заданным образом, то уравнение связи будет содержать явно время t . Такие связи нестационарные (реономные)

Идеальные связи

При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция нормальна к поверхности

Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих

Принцип освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.

Реакция связи Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

   1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора

Реакция N гладкой плоскости (поверхности) или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена к этой точке.

   

2. Гибкая нить (провода, канаты, цепи, ремни)

Реакция Т направлена вдоль нити к точке подвеса.

   

    

3. Невесомый стержень с шарнирами

Реакция N невесомого стержня направлена вдоль стержня. Обычно реакция Nизображается от тела по стержню, в предположении, что в равновесии стержень растянут.

 

   4. Неподвижный цилиндрическийшарнир или подшипник

Реакция R_A цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т. е. в плоскости Аху. Обычно ее раскладывают на две составляющие Х_А и Y_A по двум взаимноперпендикулярным направлениям.

   5. Шарнирно-подвижная опора (опора на катках)

Реакция R проходит через ось шарнира и направлена перпендикулярно к опорной плоскости.

    6. Жесткая заделка

Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих Х_А и Y_Aпрепятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента m_A, препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил.