Динамика билеты / 23Кинетическая энергия материальных систем

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии отдельных точек и тел, входящих в систему.

Кинетическая энергия точки массой , движущейся со скоростью ,

.                                                (3.1)

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формулам:

● при поступательном движении

,                                             (3.2)

где  – масса тела;  – скорость какой-либо точки тела (при поступательном движении тела скорости всех точек одинаковы);

● при вращении вокруг неподвижной оси

.                                             (3.3)

где  – момент инерции тела относительно оси вращения; – угловая скорость тела;

Углова́я ско́рость — векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скоростьвращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени: Рад\сек

Моме́нт ине́рции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

,

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

● при плоскопараллельном движении

,                                         (3.4)

где  – масса тела;  – скорость центра масс;  – момент инерции относительно оси , проходящей через центр масс  перпендикулярно плоскости движения;  – угловая скорость тела.

В системе с одной степенью свободы скорости разных точек и угловые скорости тел в формулах (3.1)–(3.4) выражаются через одну какую-либо скорость. Для этого надо учитывать известные кинематические зависимости между скоростями в движущихся системах.

Вычислим кинетическую энергию системы, изображенной на рис. 3.1, выразив скорости всех тел через скорость центра масс  тела 2. Тела 1 и 2 представляют собой однородные круглые цилиндры массой  и радиусом ; цилиндр 1 вращается вокруг оси , а цилиндр 2катится без проскальзывания по рельсу.

Рис. 3.1

 

Кинетическая энергия тела 1 определяется по формуле (3.3), а тела 2 – по формуле (3.4). Учтем, что  .

В результате имеем:

.