Динамика билеты / 13Момент количества движения материальной точки

моме́нт коли́чества движе́ния м²·кг·с⁻¹

(кинетический момент, момент импульса, угловой момент), мера механического движения тела или системытел относительно какого-либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения Kматериальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента силы, еслизаменить в них вектор силы на вектор количества движения mv, т. е. 

K = [r·mv]

где r  расстояние до осивращения. cумма моментов количества движения всех точек системы относительно центра (оси)называется главным моментом количества движения системы (кинетическим моментом) относительноэтого центра (оси). 

При вращательном движении твёрдого тела главный момент количества движенияотносительно оси вращения z тела выражается произведением момента инерции I_z на угловую скорость ωтела, т. е.

 K_z = I_zω.

Моме́нт ине́рции кг·м² — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вр ащательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

,

где:

m_i — масса i-й точки,

r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

____________________________________________________________________________________

моментом импульса 

Векторное произведение радиуса-вектора  материальной точки на ее импульс:  называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)

. Вектор  иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы  и  и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от  к  происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов  всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения)  системы относительно точки О:

Векторы  и  взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

(5.9)

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.