Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Динамика билеты / 6Вторая задача динамики

.docx
Скачиваний:
54
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
125.56 Кб
Скачать

       или         

      или                где  – проекции ускорения  на естественные оси координат;  – дуговая координата точки;  – скорость точки;  – радиус кривизны траектории;  – проекции силы  на естественные оси координат.               

Второй или обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение. Для решения задачи надо выполнить следующие операции.

● Построить расчетную схему. Для этого прежде всего надо выбрать систему координат. В случае произвольного движения точки в пространстве следует выбрать систему координат . Положение начала координат  указывается в условии задачи или выбирается в начальном положении движущейся материальной точки.

● Затем в принятой системе координат надо изобразить предполагаемую траекторию точки и отметить на ней начальное положение точки, изобразить начальную скорость . Следует отметить также произвольное положение точки , обозначить ее координаты ; изобразить все силы, действующие на материальную точку в этом произвольном положении. Если точка движется по плоскости, то следует выбирать систему координат . Для прямолинейного движения материальной точки достаточно выбрать одну координатную ось, которая совмещается с траекторией точки; при этом за положительное направление оси следует принять направление начальной скорости .

Уточнить начальные условия движения точки, т. е. из условия задчи при  определить  – координаты точки в начале движения;  – проекции начальной скорости на оси координат.

Составить дифференциальные уравнения движения точки в форме (1.2):

– это  дифференциальные уравнения второго порядка.

Определить законы движения вдоль координатных осей; т. е. найти вторые интегралы уравнений (1.2):

Постоянные интегрирования  находятся с использованием начальных условий обычными для теории дифференциальных уравнений способами.

Основные виды дифференциальных уравнений и их интегрирование даны в приложении.

В некоторых задачах, особенно при исследовании прямолинейного движения точки, требуется определить закон изменения скорости. В таких случаях достаточно найти только первые интегралы дифференциальных уравнений движения точки (см. задачу 1.2 (1)).

Задача 1.2 (1). Материальная точка массой  движется вдоль горизонтальной прямой под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону  и направленной вдоль этой прямой. Найти закон движения точки, если при  скорость точки равна нулю.

Решение

Расчетная схема дана на рис. 1.2. Примем за координатную ось  горизонтальную прямую, а положение точки при  – за начало координат .

 

 

Изобразим материальную точку в произвольном положении на расстоянии  от ее начального положения (рис. 1.2).

На точку действуют – сила тяжести, – реакция горизонтальной плоскости, – заданная сила.

Начальные условия: .

Составим дифференциальное уравнение движения в форме (1.2):

 или .

Это уравнение относится к виду (1) приложения.

Так как , то .

Разделив переменные, получим . Интеграл этого уравнения .

Используя начальные условия , найдем .

Теперь будем иметь .

Заменив  на  и разделив переменные, получим

.

Интегрирование последнего уравнения дает:

.

Используя начальные условия , найдем .

Окончательно будем иметь

.

Задача 1.3 (2).Точка  массой  движется по горизонтальной хорде  (рис. 1.3) окружности радиусом  под действием силы притяжения к центру  , сила пропорциональна расстоянию точки до центра , коэффициент пропорциональности .

Кратчайшее расстояние от центра окружности до хорды равно . Найти закон движения точки относительно середины хорды.

В начальный момент точка занимала крайнее положение  и была опущена без начальной скорости. Трением пренебречь.

 

 

Решение

Расчетная схема (рис. 1.3). Ось координат  направим по хорде, начало отсчета  в соответствии с условием задачи поместим в середине хорды. Изобразим материальную точку  в произвольный момент времени на расстоянии  от начала координат. На материальную точку действуют:  – сила тяжести;  – реакция направляющей;  – сила притяжения точки  к центру . Модуль этой силы по условию задачи равен .

Начальные условия: .

Составим дифференциальное уравнение движения точки в форме (1.2)

,

учитывая, что  , будем иметь 

или  .

Это линейное однородное уравнение второго порядка вида [формула (4) приложения]. Его характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения: .

Так как корни характеристического уравнения оказались мнимыми, то в соответствии с табл. 1 приложения запишем решение в виде:

.

Для определения постоянных интегрирования  и  необходимо иметь два уравнения: одно – записанное выше; второе уравнение получим, если продифференцируем по :

.

Подставив в оба уравнения начальные условия

, получим .

Тогда искомый закон движения материальной точки примет вид

.

 

Задача 1.4 (2). Материальная точка массой , которой сообщена начальная скорость , движется по горизонтальной прямой в среде. Сила сопротивления среды равна , где  – постоянный коэффициент. Найти закон движения точки. Какое расстояние пройдет точка, прежде чем ее скорость уменьшится в два раза? За какое время точка пройдет это расстояние?

Решение

Расчетная схема дана на рис. 1.3. Ось координат совместим с траекторией материальной точки, за положительное примем направление начальной скорости . Начало отсчета  возьмем в начальном положении материальной точки .

 

Изобразим материальную точку в произвольном положении , отметим ее координату .

На материальную точку действуют:  – сила тяжести;  – реакция горизонтальной плоскости;  – сила сопротивления движению.

Начальные условия:

 .

Составим дифференциальное уравнение движения в форме (1.2):

,

так как , то .

 

Это уравнение вида [формула (2) приложения]. Так как  , получим:

.

Разделим переменные

.

Возьмем интеграл от обеих частей равенства  – .

Используя начальное условие , получим .

Следовательно, , а закон изменения скорости точки имеет вид .

Теперь, заменив  на  и разделив переменные, получим

.

Интегрируя это уравнение, найдем

.

Определим теперь время, по истечении которого скорость уменьшится в два раза. Для этого в закон изменения скорости точки следует подставить значение и найти .

Расстояние .

Замечание. Для определения расстояния, пройденного точкой до того момента, когда скорость уменьшится в два раза, нет необходимости находить зависимость . Достаточно получить зависимость . Для чего используем соотношение

.

Тогда исходное дифференциальное уравнение  примет вид  или .

Беря определенные интегралы от обеих частей этого уравнения

,

получим .

 

Задача 1.5 (3). Частица массой , несущая заряд отрицательного электричества, влетает с вертикальной скоростью  в однородное электрическое поле постоянного напряжения, вектор напряженности которого имеет горизонтальное направление. Найти уравнение движения частицы в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и силы поля . Ось  направить противоположно вектору напряжения , ось  – вертикально вверх, за начало координат принято начальное положение частицы .

Решение

Расчетная схема дана на рис.1.5. Система координат  соответствует условию задачи. Изобразим предполагаемую траекторию частицы , учитывая, что скорость  направлена по касательной к траектории в начальном положении точки. На траектории укажем произвольное положение  точки. Отметим ее координаты  и .

 

 

На частицу действуют –сила тяжести частицы,  – сила поля. 

Начальные условия: .

Составим дифференциальные уравнения в форме (1.2)

.

В полученной системе дифференциальные уравнения независимы друг от друга, поэтому будем их интегрировать поочередно. Отметим, что оба уравнения относятся к уравнениям вида (1) приложения.

,

;

при ,

поэтому ,

тогда ,

,

при ,

поэтому .

Окончательно будем иметь

.

,

 

;

 

при 

поэтому ,

 

тогда ,

,

при 

поэтому .

Окончательно будем иметь

.

 

Задача 1.6 (4). Тяжелая точка массы  движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и силы отталкивания от неподвижного центра, пропорциональной расстоянию до этого центра. Коэффициент пропорциональности . Найти уравнения движения и траекторию точки, если в момент . Ось  нап­равить горизонтально, а ось  – вертикально вниз.

 

Решение

Расчетная схема дана на рис. 1.6. Система координат  соот­ветст­вует условию задачи. Отметим на­чальное положение точки . Изобразим предполагаемую траек­то­рию . На траектории укажем про­из­вольное положение точки . Отметим ее координаты .

На материальную точку действуют – сила тяжести;  – сила отталкивания от неподвижного центра.

Начальные условия: .

Составляем дифференциальные уравнения в форме (1.2)

,

.

 

Отметим, что .

С учетом этого дифференциальные уравнения принимают вид:

,                                                 (а)

.                                                (б)

Уравнение (а) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами типа [формула (4) приложения]. Его характеристическое уравнение имеет вид  , корни которого равны .

Согласно табл. 1 приложения общее решение этого дифференциального уравнения запишем в виде

,                                            (в)

дополнительно запишем

.                                         (г)

Подставим в уравнения (в) и (г) , получим систему двух уравнений, решив которую, будем иметь:

.

Теперь уравнение (в) примет вид

.

Дифференциальное уравнение (б) относится к типу [формула (5) приложения]. Его общее решение находится в форме , где  – общее решение однородного уравнения , а  – частное решение уравнения (б).

Отметим, что дифференциальное уравнение  аналогично уравнению , поэтому .

Правая часть дифференциального уравнения (б) постоянна, потому частное решение (табл. 2 приложения). Подставляя это решение в уравнение (б), найдем .

Общее решение уравнения (б) имеет вид

;                                          (д)

.                                               (е)

Подставив в уравнение (д) и (е)  , получим систему двух уравнений, решая которую, будем иметь:

.

Теперь уравнение (д) примет вид