0

2.5. Однократное измерение

Подавляющее большинство измерений являются однократными. Можно сказать, что в обиходе, в торговле, во многих областях производственной деятельности выполняются только однократные измерения. В обычных условиях их точность вполне приемлема, а простота, высокая производительность (количество измерений в единицу времени) и низкая стоимость (по оценке трудозатрат) ставят их вне конкуренции. Многие люди до конца своей жизни остаются знакомыми только с однократными измерениями.

Результат однократного измерения описывается выражением . Сам по себе он ни о чём ещё не говорит, так как является случайным значением измеряемой величины. Необходимым условием проведения однократного измерения служит наличие априорной информации. К ней относится, например, информация о виде закона распределения вероятности показания и мере его рассеяния, которая извлекается из опыта предшествующих измерений. Если ее нет, то используется информация о том, на сколько значение измеряемой величины может отличаться от результата однократного измерения. Такая информация бывает представлена классом точности средства измерений (см. разд. 4.1). К априорной относится информация о значении аддитивной или мультипликативной поправки (для конкретности ограничимся рассмотрением аддитивной поправки ). Если оно не известно, то это учитывается ситуационной моделью, согласно которой с одинаковой вероятностью, например, значение поправки может быть, любым в пределах отдо. Без априорной информации выполнение однократного измерения бессмысленно.

Порядок действий при однократном измерении показан на рис. 27. Предварительно проводится тщательный анализ априорной информации. В ходе этого анализа уясняется физическая сущность изучаемого явления, уточняется его модель, определяются влияющие факторы и меры, направленные на уменьшение их влияния (термостатирование, экранирование, компенсация электрических и магнитных полей и др.), значения поправок, принимается решение в пользу той или иной методики измерения, выбирается средство измерений, изучаются его метрологические характеристики и опыт выполнения подобных измерений в прошлом. Важным итогом этой предварительной работы должна стать твердая уверенность в том, что точности однократного измерения достаточно для решения поставленной задачи. Если это условие выполняется, то после необходимых приготовлений, включающих установку и подготовку к работе средства измерений, исключение или компенсацию влияющих факторов, выполняется основная измерительная процедура — получение одного значения отсчета.

Отсчет, согласно основному постулату метрологии, является случайным числом. Ни одно из отдельных его значений не дает полного представления о таком числе. Поэтому уже на этапе получения отсчета возникает дефицит измерительной информации, который может быть восполнен только за счет априорных сведений.

Единственное значение отсчета дает одно единственное значение показаниясредства измерений, имеющее ту же размерность, что и измеряемая величина. В это значение показания вносится поправка. Если ее значение известно точно, то результат измеренияQ будет представлен единственным значением

.

Если значение поправки не известно, то при выбранной ситуационной модели результат однократного измерения Q_i с одинаковой вероятностью может быть любым в пределах от X_i + до X_i + , ибо в последнем выражении .

Конечной целью измерительного эксперимента является получение достоверной количественной информации о значении измеряемой величины Q. На пути к достижению этой цели получение результата однократного измерения служит промежуточным этапом. Дальнейшее зависит от того, какая используется априорная информация. Проанализируем несколько конкретных вариантов.

Вариант 1. Априорная информация: отсчет, а следовательно и показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением ; точное значение аддитивной поправки равно.

В этом случае результат измерения Q подчиняется нор­мальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением , но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки, внесение которой обеспечивает правильность измерения. Задавшись доверительной вероятностьюР, можно по верхней кривой на рис. 22 определить, на сколько результат однократного измеренияQ_i может отличаться от среднего значения результата измерения , равного значению измеряемой величины Q. Обозначив половину доверительного интервала через , найдем, что с выбранной вероятностью

.

Вариант 2. Априорная информация: отсчет, а следовательно, и показание подчиняются равномерному закону распределения вероятности с размахом ; точное значение аддитивной поправки равно.

Такой вариант встречается при люфте подвижной части измерительного механизма. Результат измерения Q подчиняется равномерному закону распределения вероятности с тем же размахом, но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значение поправки , внесением которой обеспечивается правильность измерения. Значение измеряемой величины Q, равное среднему значению результата измерения, находится в пределах

.

Вариант 3. Априорная информация: отсчет, а, следовательно, и показание подчиняются неизвестному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением ; точное значение аддитивной поправки равно.

В данном случае закон распределения вероятности результата измерения неизвестен, известно лишь его среднее квадратическое отклонение . Вероятность того, что результат однократного измерения Q_i, окажется за пределами доверительного интервала при любом законе распределения вероятности

.

Введем в рассмотрение функцию

1 при;

= при;

1 при

график, которой показан на рис. 28. Это позволит перейти к более компактной записи:

Результат интегрирования не уменьшится, если функцию заменить показанной на рис. 28 пунктиром квадратичной функцией ()² , которая при всех Q не меньше .

Тогда

.

Вероятность того, что результат однократного измерения q_i при любом законе распределения вероятности не отличается от среднего значения больше, чем на половину доверительного интервала,

.

Полученная формула носит название неравенства П.Л. Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу вероятности того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не окажется за пределами доверительного интервала. Эта граница соответствует на рис. 22 нижней кривой.

При симметричных законах распределения вероятности результата измерения неравенство П.Л. Чебышева имеет вид

.

Соответствующая граница проходит выше и левее. На рис. 22 она показана пунктиром.

Задавшись доверительной вероятностью Р, можно по нижней кривой на рис. 22 определить, на сколько результат однократного измерения Q_i, может отличаться от среднего значения результата измерения , равного значению измеряемой величины Q, при любом законе распределения вероятности. Обозначив, как и ранее, половину доверительного интервала через , найдем, что с не меньшей вероятностью

.

Вариант 4. Априорная информация: класс точности средства измерений таков, что значение измеряемой величины не может отличаться от результата однократного измерения больше, чем на ; точное значение аддитивной поправки равно.

Этот вариант ничем не отличается от второго. Значение измеряемой величины

.

Вариант 5. Априорная информация: отсчет, следовательно, и показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением ; значение аддитивной поправки находится в пределах отдо.

Ситуационной моделью, учитывающей неопределенность значения поправки, является равномерный закон распределения вероятности на интервале отдо. Закон распределения вероятности результата измеренияQ представляет собой композицию законов распределения вероятности показания и ситуационной модели. Композиция, в которую входит ситуационная модель, не подчиняется вероятностно-статистическим закономерностям. Однако по аналогии с вариантом 1 в 1981 году Международный комитет мер и весов рекомендовал считать, что с высокой вероятностью среднее значение композиции, равное значению измеряемой величины, не отличается от результата однократного измерения больше, чем на , где, а коэффициентk, аналогичный коэффициенту t, устанавливается по соглашению. Обычно он принимается равным 2 ... 3.

Пример 14. Единственное значение отсчета в условиях, рассмотренных в примере 12, равно 1. Из опыта предшествовавших измерений известно, что отсчет подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением 210^-3. В каких пределах находится значение измеренного линейного размера?

Решение 1. Единственное значение показания равно 1 м. Показание подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением 210^-3 м.

2. Ситуационная модель, учитывающая дефицит информации о значении аддитивной температурной поправки, представлена графически на рис. 18, б. Ее числовые характеристики 5,5 мм;= 2,6 мм.

3. Аналог среднего квадратического отклонения результата измерения

=3,3 мм.

4. Принимая k= 2, и выбирая в качестве результата однократного измеренияl_i= 1000+5,5= 1005,5 мм, получи

l = 998,9. . . 1012,1 мм.