Тема 9 основы теории напряженного и деформированного состояния

9.1. Понятие о напряженном состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженного состояния в точке

Напряжения в точке являются мерой интенсивности внутренних сил и являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Воздействуя на тело, внешние силы вызывают внутреннее сопротивление частиц, а, следовательно, напряжения, препятствующие смещению частиц.

Принятая в начале курса гипотеза о сплошности материала утверждает что частицы в теле расположены плотно, каждая частица тела в сколь-угодно малой окрестности имеет несконечное множество частиц, окружающих ее по всем направлениям (Рис.9.1).

Рис.9.1

Примем в качестве исследуемой частицу под номером 1. Под действием внешних нагрузок между частицей А и ее соседними с нею частицами возникают различные взаимодействия. Например, частицы №2 и №5 пытаются оторваться от частицы А, частицы №3 и №6, давят на частицу А, частица №1 просто смещается по отношению к частице А, не пытаясь оторваться от нее или приблизиться. Таким образом, в точке А тела могут одновременно возникать по разным направлениям как нормальные, так и касательные напряжения. Изменение величины или направления внешних нагрузок может привести к совершенно другому взаимодействию частиц. Возникающие в общем случае напряжения будут различными как по величине, так и по направлению. Лишь в очень редких случаях напряжения будут одинаковы по всем направлениям. Чтобы установить напряжения, действующие в точке А, мысленно выделим вокруг точки А элементарно малый и произвольно ориентированный прямоугольный параллелепипед и рассмотрим напряжения, действующие по его граням. Полные напряжения, действуюшщие на гранях параллелпипеда, разложим на составляющие по направлению осей . На каждой из граней (Рис.9.2) действует нормальное напряжение , а также по две составляющие касательного напряжения. Двойной индекс касательных напряжений следует понимать так: первый индекс показывает, параллельно какой из осей действует вектор касательного напряжения, второй  какой из осей параллельна нормаль к площадке, в которой действует рассматриваемое касательное напряжение.

Рис.9.2

Таким образом, в каждой точке тела в общем случае могут действовать девять компонентов напряжений. Величина этих компонентов будет различной в зависимости от ориентации площадок по отношению к осям . Совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через одну точку, характеризуетнапряженное состояние тела в этой точке.

Как уже отмечалось выше, при изменении ориентации граней выделенного элемента действующие на его гранях напряжения будут изменяться. При этом можно найти такое положение граней выделенного параллелепипеда, на которых будут действовать только нормальные напряжения. Грани (площадки), по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. Направления, параллельные главным напряжениям, называются главными направлениями напряженного состояния в данной точке.

Главные напряжения принять обозначать . При этом максимальным в алгебраическом смысле слова является напряжение, минимальным – напряжение.

В зависимости от того, испытывает выделенный параллелепипед растяжение (или сжатие) в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях, различают три типа напряженного состояния: одноосное или линейное (Рис.9.3,а), двухосное или плоское (Рис.9.3,б), трехосное или объемное (Рис.9.3,в). Линейное напряженное состояние, например, испытывают точки бруса при центральном растяжении или сжатии, плоское напряженное состояние наиболее часто встречается в задачах сопротивления материалов. Его характерным признаком является отсутствие каких-либо напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда.

Рис.9.3

Кроме рассмотренных выше трех типов напряженного состояния различают однородное и неоднородное напряженные состояния. При однородном напряженном состоянии напряжения одинаковы в каждой точке какого-либо сечения и всех параллельных ему сечений. В случае однородного напряженного состояния размеры выделяемых вокруг точки элементов не играют никакой роли, так как напряжения одинаковы во всех точках одной (любой) грани, и, следовательно, равномерно распределены по каждой грани.

При неоднородном напряженном состоянии элемент следует полагать бесконечно малым. Тогда предположение о равномерном распределении напряжений по граням будет выполняться с точностью до малых второго порядка. Следовательно, независимо от того, будет ли во всем теле однородное или неоднородное напряженое состояние, выделенные элементы будут всегда находиться в однородном напряженном состоянии.

Установим правило знаков для нормальных и касательных напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее – отрицательным. Касательное напряжение будет положительным, если оно стремится повернуть бесконечно малый элемент тела по часовой стрелке, и наоборот (Рис.9.4).

Рис.9.4

Сформулированное правило знаков применяют главным образом при плоском напряженном состоянии, но оно может быть использовано и для других видов напряженного состояния.

9.2. Линейное напряженное состояние

Линейное напряженное состояние испытывают некоторые точки стержня, работающего на изгиб или сложное сопротивление, но в большинстве случаев этот вид напряженного состояния испытывают точки стержня, работающего на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение (Рис.9.5,а). Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Рассечем стержень сечением , составляющим уголс поперечным сечением, перпендикулярным к оси стержня. Этот же самый угол составляют между собой и нормали к поперчному и наклонному сечениям. За положительное направление отсчета углапримем направление против часовой стрелки. Нормаль ОА, направленную наружу по отношению к отсеченной части стержня, будем называть внешней нормалью к сечению. Площадь сеченияобозначим, площадь сеченияобозначим.

Отбросим мысленно верхнюю часть стержня и заменим действие ее на нижнюю часть напряжениями (Рис.9.5б).

Рис.9.5

Принимая гипотезу плоских сечений, будем считать, что напряжения равномерно распределены по площади:

. (9.1)

Учитывая, что и подставляяв (9.1), получим:

, (9.2)

где  нормальное напряжение по площадке , перпендикулярной к растягивающей силе.

Проектируя на нормальи на плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке:

;

или

, (9.3)

. (9.4)

Как видно из формул (9.3)(9.4), при напряжения,; принапряженияиравны нулю (Рис.9.6).

Рис.9.6

Таким образом, при простом растяжении и сжатии в каждой точке тела главные площадки перпендикулярны и параллелны его оси, а главные напряжения в нем соответственно равны:

;  при растяжении,

;  при сжатии.

Максимальные касательные напряжения действуют в площадках, наклоненных к главным площадкам под углом . При этом

(9.5)

Пример 9.1. Определить нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках для элементов, показанных на рис.9.7.

Решение:

1. Для элемента на рис.9.7,а:МПа; ;.

Откуда: МПа;МПа.

2. Для элемента на рис.9.7,б: МПа; ;.

Откуда: МПа;МПа.

3. Для элемента на рис.9.7,в: ; МПа; .

Откуда: МПа;МПа.