Тема 7 общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений

7.1. Понятие о потенциальной энергии деформации. Закон сохранения энергии. Обобщенная сила и обобщенная координата

Кроме аналитических методов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существуют более общие методы, пригодные для определения перемещений в любых упругих конструкциях. Эти методы основаны на двух основных принципах механики: законе сохранения энергии и начале возможных перемещений.

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой. Потенциальной будем называть такой вид энергии, который накапливается в теле при его упругих деформациях. При нагружении стержня внешними силами часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень с помощью малых грузов (Рис.7.1), то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки будет опускаться и ее потенциальная энергия будет уменьшаться, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличиваться.

Рис.7.1

Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке. Такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Будем называть “статической” такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т.е. скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.

При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившийся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформаций через , а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок через. Тогда величинаизмеряется положительной работой этих нагрузок; с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформациисоответствует отрицательная работа внутренних, межчастичных сил, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

. (7.1)

Заменяя в этой формуле величины ичисленно равными им значениями работи, получаем иную формулировку этого закона:

или . (7.2)

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым “началом”или“принципом”возможных перемещений в применении к упругим системам. Равенство (7.2) выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Таким образом, принцип возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Из формулы (7.1) следует, что потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил, проделанной ими при этой деформации:

(7.3)

Прежде, чем перейти к вычислению работы внешних сил, а через нее к потенциальной энергии деформации, введем понятие обобщенной силы и обобщенной координаты.

В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин:

, (7.4)

в котором множитель зависит только от сил группы и называетсяобобщенной силой, а зависит от перемещений и называетсяобобщенным перемещением или обобщенной координатой.

Таким образом, под обобщенной силой следует понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), вызывающую соответствующее нагрузке перемещение. Обобщенной координатой будем называть перемещение, соответствующее этой силе.

“Соответствие” заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы. Для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы – прогиб, удлинение, для пары сил – это угол поворота сечения по направлению действия пары.

7.2. Работа внешних сил. Теорема Клапейрона

Вычислим работу некоторой обобщенной силы , приложенной к любой упругой линейно деформируемой системе (Рис.7.2,а). Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс.

Пусть в данный момент силе соответствует обобщенное перемещение. Бесконечно малое приращение силы на величинувызовет бесконечно малое приращение перемещения. Элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка, равна:

.

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой , вызвавшей обобщенное перемещение, имеет вид:

. (7.5)

Интеграл (7.5) представляет собой площадь диаграммы для данной конструкции (Рис.7.2,б).

Рис.7.2

В линейно деформируемых системах перемещения пропорциональны величине силы (закон Гука):

, (7.6)

где  перемещение, вызванное силой .

Дифференцируем выражение (7.6):

.

Подставляя полученное выражение в формулу (7.5), найдем:

.

Учитывая выражение (7.6), окончательно получим:

(7.7)

Полученное выражение известно под названием теоремы Клапейрона: действительная работа при статическом действии силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения.

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил работа деформации равна половине суммы произведения окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего обобщенного перемещения:

(7.8)