Тема 3 осевое растяжение и сжатие

3.1. Определение продольной силы

При осевом растяжении и сжатии возникает единственный внутренний силовой фактор  продольная сила . Для определения величины продольной силы применяется метод сечений. Рассекая стержень сечением (Рис.3.1,а) и рассматривая равновесие отсеченной части (Рис.3.1,б), приходим к следующему правилу:величина продольной силы численно равняется алгебраической сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

а) б)

Рис.3.1

Знак продольной силы будет положительным, если продольная сила действует от сечения (Рис.3.2,а), и отрицательным, если продольная сила действует к сечению.

а) б)

Рис.3.2

Проиллюстрируем это правило на примере.

Пример 3.1. Определить величину продольной силы на каждом из участков стержня, изображенного на Рис.3.3,а стержня. Построить диаграмму распределения продольных усилий по длине стержня. Влиянием собственного веса стержня пренебречь.

Решение:

1. Следуя изложенному выше правилу, продольную силу на участке №1 найдем, просуммировав проекции на продольную ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от сеченияI-I:

40кН.

Рис.3.3

2. На втором участке величина продольной силы равняется:

40+20=20кН.

3. На третьем участке стержня продольная сила будет равна:

40+20+30=10кН.

В каждом из рассматриваемых случаев знак продольного усилия определяется направлением внешней силы: от сечения  “+”, к сечению  “”.

На рис.3.3,б приведена диаграмма распределения продольной силы по длине стержня.

3.2. Нормальные напряжения при осевом растяжении и сжатии

При осевом растяжении и сжатии продольная сила и нормальные напряжения связаны следующей интегральной зависимостью:

(3.1)

Чтобы определить с помощью этой формулы нормальные напряжения , необходимо знать закон распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения при осевом растяжении и сжатии. Такой закон устанавливается гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли):сечения плоские до деформации остаются плоскими в процессе деформации.

Из этой гипотезы следует, что нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях стержня при осевом растяжении и сжатии, являются величиной постоянной (). Решая интеграл (3.1) при постоянном значении нормальных напряжений, получаем следующее выражение для продольной силы:

. (3.2)

Откуда:

. (3.3)

Напряжения определяются в системе единиц SI в (Па).

Рассмотрим пример определения напряжений в поперечнях сечениях стержня, представленного на рис.3.3.

Пример 3.2. Найти величину нормальных напряжений на каждом участке стержня, приведенного на рис.3.3,а, если площадь поперечного сечения по всей длине стержня постоянна и равняется см². Построить диаграмму распределения нормальных напряжений по длине стержня. Влиянием собственного веса стержня пренебречь.

Решение:

1. Воспользуемся выражением (3.3) и определим напряжение на первом участке стержня:

100 МПа.

2. На втором участке нормальные напряжения найдем из выражения:

50 МПа.

3. На третьем участке:

25МПа.

4. На рис.3.3,в приведена диаграмма распределения нормальных напряжений по длине стержня.