Тема 14 розрахунок тонкостінних оболонок і товстостінних циліндрів

14.1. Поняття про безмоментну теорію розрахунку тонкостінних оболонок

В інженерній практиці широке застосування знаходять такі конструкції, як цистерни, водонапірні резервуари, газгольдери, повітряні і газові балони, куполи будинків, апарати хімічного машинобудування, частини корпусів турбін і реактивних двигунів та ін. Усі ці конструкції з погляду їх розрахунку на міцність і жорсткість можуть бути віднесені до тонкостінних оболонок (посудин) (Рис.14.1,а).

Рис.14.1

Характерною рисою більшості тонкостінних оболонок є те, що за формою вони представляють тіла обертання, тобто їх поверхня може бути утворена обертанням деякій кривої навколо осіОО. Переріз оболонки площиною, що містить вісь ОО, називається меридіональним перерізом, а перерізи, перпендикулярні до меридіональних перерізів, називаються коловими перерізами. Колові перерізи зазвичай мають вигляд конуса. Показана на рис. 14.1,б нижня частина оболонки відділена від верхньої коловим перерізом. Поверхню, що поділяє товщину стінок оболонки навпіл, називається серединною поверхнею. Вважається, що оболонка є тонкостінною, якщо відношення найменшого головного радіуса кривизни в даній точці поверхні до товщини стінки оболонки перевищує число 10 .

Розглянемо випадок, коли на оболонку діє осесиметричне навантаження, тобто таке навантаження, яке не змінюється в коловому напрямку і може змінюватися лише уздовж меридіана. Виділимо з тіла оболонки двома коловими і двома меридіональними перерізами елемент (Рис.14.1,а). Елемент зазнає розтягання у взаємно перпендикулярних напрямках і викривляється. Двосторонньому розтяганню елемента відповідає рівномірний розподіл нормальних напружень по товщині стінки і виникнення в стінці оболонки нормальних зусиль. Зміна кривизни елемента припускає наявність у стінці оболонки згинальних моментів. При згинанні в стінці оболонки виникають нормальні напруження, що змінюються по товщині стінки.

При дії осесиметричного навантаження впливом згинальних моментів можна знехтувати, тому що переважне значення мають нормальні сили. Це має місце тоді, коли форма стінок оболонки і навантаження на неї такі, що можлива рівновага між зовнішніми і внутрішніми зусиллями без появи згинальних моментів. Теорія розрахунку оболонок, побудована на припущенні, що нормальні напруження, які виникають в оболонці, постійні за товщиною і, отже, згинання оболонки відсутнє, називається безмоментною теорією оболонок. Безмоментна теорія добре працює, якщо оболонка не має різких переходів і жорстких защемлень і, крім того, не навантажена зосередженими силами і моментами. Крім того, ця теорія дає більш точні результати, чим менша товщина стінки оболонки, тобто чим ближче до істини припущення про рівномірний розподіл напружень по товщині стінки.

При наявності зосереджених сил і моментів, різких переходів і защемлень сильно ускладнюється розв’язок задачі. У місцях кріплення оболонки та у місцях різких змін форми виникають підвищені напруження, обумовлені впливом згинальних моментів. У цьому випадку застосовується так звана моментна теорія розрахунку оболонок. Слід зазначити, що питання загальної теорії оболонок виходять за рамки опору матеріалів і вивчається в спеціальних розділах будівельної механіки. У даному посібнику при розрахунку тонкостінних оболонок розглядається безмоментна теорія для випадків, коли задача визначення напружень, що діють у меридіональному й коловому перерізах, виявляється статично визначуваною.

14.2. Визначення напружень у симетричних оболонках за безмоментною теорією. Виведення рівняння Лапласа

Розглянемо осесиметричну тонкостінну оболонку, яка зазнає внутрішнього тиску від ваги рідини (Рис.14.1,а). Двома меридіональними і двома коловими перерізами виділимо зі стінки оболонки нескінченно малий елемент і розглянемо його рівновагу (Рис.14.2) [6].

Рис.14.2

У меридіональних і колових перерізах дотичні напруження відсутні через симетрію навантаження та відсутність взаємних зсувів перерізів. Отже, на виділений елемент будуть діяти тільки головні нормальні напруження: меридіональне напруження та колове напруження . На підставі безмоментної теорії будемо вважати, що по товщині стінки напруженняірозподілені рівномірно. Крім того, усі розміри оболонки будемо відносити до серединної поверхні її стінки.

Серединна поверхня стінки оболонки являє собою поверхню двоякої кривизни. Радіус кривизни меридіана в розглянутій точки позначимо , радіус кривизни серединної поверхні в коловому напрямку позначимо. По гранях елемента діють силиі. На внутрішню поверхню виділеного елемента діє тиск рідини, рівнодіюча якого дорівнює. Спроектуємо наведені вище сили на нормальдо поверхні:

. (а)

Зобразимо проекцію елемента на меридіональну площину (Рис.14.3) і на підставі цього рисунку запишемо у виразі (а) перший доданок. Другий доданок записується за аналогією.

Заміняючи в (а) синус його аргументом через малість кута і розділивши всі члени рівняння (а) на , одержимо:

(б).

З огляду на те, що кривизни меридіонального й колового перерізів елемента дорівнюють відповідно і, і підставляючи ці вирази в (б) знаходимо:

. (14.1)

Вираз (14.1) називається рівнянням Лапласа, названого так на честь французького вченого, який одержав його на початку XIX століття при вивченні поверхневого натягу в рідинах.

Рис.14.3

У рівняння (14.1) входять два невідомих напруження і. Меридіональне напруженнязнайдемо, складаючи рівняння рівноваги на вісьсил, що діють на відсічену частину оболонки (Рис.16.1,б). Площу колового перерізу стінок оболонки порахуємо за формулою. Напруженнячерез симетрію самої оболонки і навантаження відносно осірозподілені по площі рівномірно. Отже,

,

звідки

, (14.2)

де  вага частини оболонки і рідини, що знаходяться нижче перерізу, який розглядається;  тиск рідини, за законом Паскаля однаковий у всіх напрямках, дорівнює , де глибина перерізу, який розглядається, а  вага одиниці об'єму рідини. Якщо рідина зберігається в оболонці під деяким тиском , надлишковим у порівнянні з атмосферним тиском, то в цьому випадку.

Тепер, знаючи напруження , з рівняння Лапласа (14.1) можна знайти напруження.

При вирішенні практичних задач через те, що оболонка тонка, можна замість радіусів серединної поверхні іпідставляти радіуси зовнішньої і внутрішньої поверхонь.

Як уже відзначалося, колові і меридіональні напруження іє головними напруженнями. Що стосується третього головного напруження, напрямок дії якого нормальний до поверхні оболонки, то на одній з поверхонь оболонки (зовнішній або внутрішній в залежності від того, з якого боку діє тиск на оболонку) воно дорівнює , а на протилежній – нулю. В тонкостінних оболонках напруженняізавжди значно більші за. Це означає, що величиною третього головного напруження можна знехтувати у порівнянні зі, тобто вважати його рівним нулю.

Таким чином, будемо вважати, що матеріал оболонки знаходиться у плоскому напруженому стані. В цьому випадку для оцінки міцності в залежності від стану матеріалу варто користуватися відповідною теорією міцності. Наприклад, застосувавши четверту (енергетичну) теорію, умову міцності запишемо у вигляді:

. (14.3)

Розглянемо кілька прикладів розрахунку безмоментних оболонок [6].

Приклад 14.1. Сферична оболонка зазнає дії рівномірного внутрішнього тиску газу (Рис.14.4). Визначити напруження, які діють в стінці оболонки та оцінити міцність оболонки з використанням третьої теорії міцності. Власною вагою стінок оболонки і вагою газу знехтувати.

Розв’язок:

1. Через колову симетрію оболонки та осесиметричне навантаження напруження таоднакові у всіх точках оболонки. Підставляючи в (14.1),, а, одержимо:

. (14.4)

Рис.14.4

2. Виконуємо перевірку за третьою теорією міцності:

.

З огляду на те, що ,,, умова міцності набуває вигляду:

. (14.5)

Приклад 14.2. Циліндрична оболонка зазнає дії рівномірного внутрішнього тиску газу (Рис.14.5). Визначити колові і меридіональні напруження, що виникають в стінці оболонки, та оцінити його міцність з використанням четвертої теорії міцності. Власною вагою стінок оболонки і вагою газу знехтувати.

Рис.14.5

Розв’язок:

1. Меридіанами в циліндричній частині оболонки є утворюючі, для яких . З рівняння Лапласа (14.1) знаходимо колові напруження:

. (14.6)

2. За формулою (14.2) знаходимо меридіональне напруження, з огляду на те, що і:

. (14.7)

3. Для оцінки міцності приймаємо: ;;. Умова міцності за четвертою теорією має вигляд (14.3). Підставляючи в цю формулу вирази для колових і меридіональних напружень (а) і (б), одержуємо

. (14.8)

Приклад 14.3. Циліндричний резервуар з конічним днищем зазнає дії ваги рідини (Рис.14.6,б). Встановити закони зміни колових і меридіональних напружень у межах конічної і циліндричної частини резервуару, знайти максимальні напруження таі побудувати епюри розподілу напружень по висоті резервуару. Вагою стінок резервуару знехтувати.

Рис.14.6

Розв’язок:

1. Знаходимо тиск рідини на глибині :

. (а)

2. Визначаємо колові напруження з рівняння Лапласа, з огляду на те, що радіус кривизни меридіанів (утворюючих) :

. (б)

Для конічної частини оболонки

; . (в)

Підставляючи (в) у (б) одержимо закон зміни колових напружень у межах конічної частини резервуару:

. (14.9)

Для циліндричної частини, де закон розподілу колових напружень має вигляд:

. (14.10)

Епюра показана на рис.14.6,а. Для конічної частини ця епюра параболічна. Її математичний максимум має місце в середині загальної висоти при. Привін має умовне значення, примаксимум напружень попадає в межі конічної частини і має реальне значення:

. (14.11)

3. Визначаємо меридіональні напруження . Для конічної частини вага рідини в об’ємі конуса висотою дорівнює:

. (г)

Підставляючи (а), (в) і (г) у формулу для меридіональних напружень (14.2) , одержимо:

. (14.12)

Епюра показана на рис.14.6,в. Максимум епюри, обкресленої для конічної частини також за параболою, має місце при. Реальне значення він має при, коли попадає в межі конічної частини. Максимальне меридіональне напруження при цьому дорівнює:

. (14.13)

У циліндричній частині напруження по висоті не міняється і дорівнює напруженню у верхньої крайки в місці підвісу резервуару:

. (14.14)

У місцях, де поверхня резервуару має різкий злам, як, наприклад, у місці переходу від циліндричної частини до конічної, радіальна складова меридіональних напружень не врівноважена (Рис.14.7).

Рис.14.7

Ця складова по периметру кільця створює радіальне розподілене навантаження інтенсивністю , яке прагне зігнути крайки циліндричної оболонки усередину. Для усунення цього згинання ставлять ребро жорсткості (розпірне кільце) у вигляді кутника або швелера, що оперізує оболонку в місці перелому. Це кільце сприймає радіальне навантаження(Рис.14.8,а).

Выріжемо двома нескінченно близько розташованими радіальними перерізами з розпірного кільця його частину (Рис.14.8,б) і визначимо внутрішні зусилля, що у ньому виникають. Завдяки симетрії самого розпірного кільця і навантаження, розподіленого по його контуру, поперечна сила і згинальний момент у кільці не виникають. Залишається тільки поздовжня сила . Знайдемо її.

Рис.14.8

Складемо суму проекцій усіх сил, що діють на вирізаний елемент розпірного кільця, на вісь :

(а)

Замінимо синус кута кутом через його малістьі підставимо в (а). Одержимо:

,

звідки

. (14.15)

Таким чином, розпірне кільце працює на стискання. Умова міцності набуває вигляду:

, (14.16)

де  радіус серединної лінії кільця;  площа поперечного перерізу кільця.

Іноді замість розпірного кільця створюють місцеве стовщення оболонки. загинаючи краї днища резервуару усередину обичайки.

Якщо оболонка зазнає зовнішнього тиску, то меридіональні напруження будуть стискальними і радіальне зусилля стане від’ємним, тобто спрямованим назовні. Тоді кільце жорсткості буде працювати не на стискання, а на розтягання. При цьому умова міцності (14.16) залишиться такою самою.

Слід зазначити, що постановка кільця жорсткості цілком не усуває згинання стінок оболонки, тому що кільце жорсткості заважає розширенню кілець оболонки, що примикають до ребра. В результаті утворюючі оболонки поблизу кільця жорсткості викривляються. Явище це зветься крайовим ефектом. Воно може призвести до значного місцевого зростання напружень у стінці оболонки. Загальна теорія урахування крайового ефекту розглядається в спеціальних курсах за допомогою моментної теорії розрахунку оболонок.