Тема 3 основи теорії напруженого і деформованого стану
3.1. Поняття про напружений стан у точці. Головні площадки і головні напруження. Види напруженого стану у точці
Напруження у точці є мірою інтенсивності внутрішніх сил і є результатом взаємодії часток тіла при його навантаженні. Впливаючи на тіло, зовнішні сили викликають внутрішній опір часток, а, отже, напруження, що перешкоджають зсувові часток.
Прийнята на початку курсу гіпотеза про суцільність матеріалу стверджує, що частки в тілі розташовані щільно, кожна частка тіла в будь-якій завгодно малій околиці має нескінченну безліч часток, що оточують її в усіх напрямках (Рис.3.1).
Рис.3.1
Приймемо
в якості досліджуваної частку під
позначкою А. Під дією зовнішніх навантажень
між часткою А та сусідніми з нею частками
виникають різні взаємодії. Наприклад,
частки №2 і №5 намагаються відірватися
від частки А, частки №3 і №6, давлять на
частку А, частка №1 просто зміщується
стосовно частки А, не намагаючись
відірватися від неї або наблизитися.
Таким чином, у точці А тіла можуть
одночасно виникати по різних напрямках
як нормальні, так і дотичні напруження.
Зміна величини або напрямку зовнішніх
навантажень може призвести до зовсім
іншої взаємодії часток. Виникаючі в
загальному випадку напруження будуть
різними як за величиною, так і за
напрямками. Лише в дуже рідких випадках
напруження будуть однакові в усіх
напрямках. Щоб встановити напруження,
які діють у точці А, виділимо навколо
точки А елементарно малий і довільно
орієнтований прямокутний паралелепіпед
і розглянемо напруження, які діють на
його гранях. Повні напруження, що діють
на гранях паралелепіпеда, розкладемо
на складові за напрямками осей
.
На кожній з граней (Рис.3.2) діють нормальні
напруження
,
а також по дві складові дотичних напружень
.
Подвійний індекс у дотичних напружень
треба розуміти так: перший індекс
показує, паралельно якій з осей діє
напруження, другий індекс
найменування осі, паралельно якій
спрямована нормаль до площадки, на
котрій діє вектор дотичного напруження.
Рис.3.2
Таким
чином, у кожній точці тіла в загальному
випадку можуть діяти дев'ять компонентів
напружень. Величина цих компонентів
буде різною в залежності від орієнтації
площадок стосовно осей
.
Сукупність напружень, що діють по
всіляких площадках, проведених через
одну точку, характеризуєнапружений
стан тіла
в цій точці.
Як уже відзначалося вище, при зміні орієнтації граней виділеного елемента напруження, що діють на його гранях, будуть змінюватися. При цьому можна знайти таке положення граней виділеного паралелепіпеда, на яких будуть діяти тільки нормальні напруження. Грані (площадки), на яких не діють дотичні напруження, називаються головними площадками, а нормальні напруження, що діють на цих площадках – головними напруженнями. Напрямки, паралельні головним напруженням, називаються головними напрямками напруженого стану в даній точці.
Головні
напруження прийнято позначати
.
При цьому максимальним в алгебраїчному
змісті є напруження
,
мінімальним – напруження
.
В залежності від того, зазнає виділений паралелепіпед розтягання (або стискання) в одному, двох або трьох взаємно перпендикулярних напрямках, розрізняють три типи напруженого стану: одновісний або лінійний (Рис3.3,а), двовісний або плоский (Рис.3.3,б), тривісний або об'ємний (Рис.3.3,в). Лінійний напружений стан виникає, наприклад, в волокнах бруса при центральному розтяганні або стисканні, плоский напружений стан найбільш часто зустрічається в задачах опору матеріалів. Його характерною ознакою є відсутність будь-яких напружень на двох паралельних гранях паралелепіпеда.
Крім розглянутих вище трьох типів напруженого стану розрізняють однорідний та неоднорідний напружений стани. При однорідному напруженому стані напруження однакові в кожній точці якого-небудь перерізу і всіх паралельних йому перерізах. У випадку однорідного напруженого стану розміри виділюваних навколо точки елементів не грають ніякої ролі, тому що напруження однакові у всіх точках однієї (кожної) грані, і, отже, рівномірно розподілені по кожній грані.
Рис.3.3
При неоднорідному напруженому стані елемент треба вважати нескінченно малим. Тоді припущення про рівномірний розподіл напружень на гранях буде виконуватися з точністю до малих другого порядку. Отже, незалежно від того, чи буде у всьому тілі однорідний або неоднорідний напружений стан, виділені нескінченно малі елементи будуть завжди перебувати у однорідному напруженому стані.
Встановимо правило знаків для нормальних і дотичних напружень. Нормальне розтягальне напруження будемо вважати додатним, стискальне – від’ємним. Дотичне напруження буде додатним, якщо воно прагне повернути нескінченно малий елемент тіла за годинниковою стрілкою (Рис.3.4).
Рис.3.4
Сформульоване правило знаків застосовують головним чином при плоскому напруженому стані, але воно може бути використано і для інших видів напруженого стану.