- •Тема 1 вступ в опір матеріалів
- •1.1. Три задачі опору матеріалів
- •1.2. Розрахункова схема. Три групи схематизації
- •1. Схематизація геометрії об'єкта
- •2. Схематизація фізичних властивостей матеріалу
- •3. Схематизація навантажень
- •1.3. Метод перерізів. Внутрішні силові фактори
- •1.5. Тести до теми №1 “Вступ в опір матеріалів”
Тема 1 вступ в опір матеріалів
1.1. Три задачі опору матеріалів
Опір матеріалів є загальноінженерною дисципліною, що вирішує три задачі:
1. Викладення методів розрахунку конструкцій на міцність. Міцність здатність елементів конструкцій і деталей машин чинити опір зовнішнім навантаженням, не руйнуючись.
2. Викладення методів розрахунку елементів конструкцій і деталей машин на жорсткість. Жорсткість здатність елементів конструкцій і деталей машин чинити опір зовнішнім навантаженням без суттєвих деформацій. Деформація зміна форми і розмірів конструкції при дії навантаження.
3. Викладення методів розрахунку стиснутих елементів конструкцій і деталей машин на стійкість. Стійкість здатність конструкції та її елементів зберігати певну початкову форму пружної рівноваги.
1.2. Розрахункова схема. Три групи схематизації
Розрахунковою схемою конструкції є реальний об'єкт, позбавлений несуттєвих особливостей з погляду опору матеріалів. До числа суттєвих факторів розрахункової схеми відносять: геометрію об'єкта, його форму і розміри; фізичні характеристики матеріалу; навантаження, що прикладаються до об'єкта.
Відповідно до наявності основних факторів розрахункової схеми розрізняють три групи схематизації:
1. Схематизація геометрії об'єкта
За своєю геометрією всі об'єкти можуть бути розділені на наступні типи:
а) Брус (Рис.1.1,а) і стержень (Рис.1.1,б) ( елементи кронструкції, у яких два поперчних розміри істотно менші за третій (довжину).
Рис.1.1
б) Пластинка (Рис. 1.2,а) і оболонка (Рис.1.2,б) ( елемент конструкції, у якого два розміри істотно менші за третій (товщину);
Рис.1.2
в) Масив (Рис.1.3) або тривимірне тіло (усі три розміри елемента конструкції порівняні за величиною).
Рис.1.3
2. Схематизація фізичних властивостей матеріалу
В опорі матеріалів приймають наступні гіпотези:
а) гіпотеза суцільності матеріалу;
б) гіпотеза однорідності матеріалу;
в) гіпотеза про абсолютну пружність матеріалу (гіпотеза лінійної деформівності);
г) гіпотеза про ізотропність матеріалу;
д) гіпотеза про природну ненапруженість.
3. Схематизація навантажень
Відповідно до цієї групи схематизації розрізняють такі навантаження:
а) зосереджена сила;
б) зосереджена пара сил;
в) розподілене навантаження заданої інтенсивності;
г) розподілений момент заданої інтенсивності.
1.3. Метод перерізів. Внутрішні силові фактори
На відміну від теоретичної механіки опір матеріалів оперує з деформованими тілами. Отже, однією з задач опору матеріалів є визначення внутрішніх сил, що виникають в конструкції, навантаженої зовнішніми силами.
Для визначення внутрішніх зусиль в опорі матеріалів застосовують метод перерізів. Розглянемо довільне тіло, що зазнає дії зовнішніх сил у вигляді активних і реактивних сил і знаходиться у стані рівноваги (Рис.1.4).
Рис.1.4
Розсічемо думкою це тіло перерізом перпендикулярним до поздовжньої осі тіла і розглянемо кожну з частин тіла окремо (Рис.1.5).
Рис.1.5
В перерізі ми виявимо безліч довільно спрямованих у просторі сил взаємодії між частками тіла. Безпосередньо урахувати всі ці сили при визначенні внутрішніх силових факторів, що діють в перерізі, неможливо. Тому скористаємося теоремою про зведення просторової системи сил до довільного центру. Виберемо в якості такого центру центр ваги перерізу і замінимо всі сили, що діють в перерізі головним вектором, прикладеним в центрі зведення , і головним моментом системи сил відносно цього центру. Головний вектор і головний момент системи сил, що діють на ліву частину тіла, позначимо відповідно і (Рис.1.6). Головний вектор і головний момент системи сил, що діють на праву частину тіла, позначимо через і . Кожна з цих пар сил щодо частини тіла, до якої вони прикладені, є силами зовнішніми і одночасно для всього тіла в цілому ці сили є силами внутрішніми. За третім законом Ньютона про дію і рівну протидію , .
Рис.1.6
Зведемо тепер до головного вектора і головного моменту зовнішні сили, що діють на кожну з частин тіла, і позначимо їх так: і головний вектор і головний момент зовнішніх сил, що прикладені до лівої частини тіла; і головний вектор і головний момент зовнішніх сил, що діють на праву частину тіла (Рис.1.6). Центром зведення вважатимемо центр ваги перерізу.
Під дією зовнішніх і внутрішніх сил кожна з частин тіла буде перебувати у стані рівноваги. Умови рівноваги виглядатимуть для лівої частини тіла так: , ; для правої частини тіла: , . Зважаючи на те, що , , маємо: ; . І навпаки: ; .
Таким чином, скориставшись методом перерізів, отримуємо наступне правило для визначення головного вектора і головного моменту всіх сил, що діють у перерізі: головний вектор і головний момент усіх внутрішніх сил, що діють у розглянутому перерізі на частину тіла, що залишилася, дорівнюють відповідно головному векторові і головному моментові всіх зовнішніх сил, що прикладені до відкинутої частини тіла.
Головний вектор і головний момент усіх внутрішніх сил можна розкласти на складові. Складовими головного вектора є: поздовжня сила проекція головного вектора на вісь ; проекції поперечної сили на осі , що лежать у площині поперечного перерізу (Рис.1.7). Складовими головного моменту усіх внутрішніх сил є: згинальні моменти відносно осей , крутний момент проекція головного моменту на вісь (Рис.1.7).
Рис.1.7
Таким чином, усього існує шість внутрішніх силових факторів, для визначення яких у теоретичній механіці (Розділ “Статика”) існують шість рівнянь рівноваги.
Серед усіляких видів деформації розрізняють чотири види простої деформації:
1.Осьове розтягання та стискання (Рис.1.8) з усіх внутрішніх силових факторів відмінною від нуля є тільки поздовжня сила ( ).
Рис.1.8
2. Зсув (Рис.1.9) з усіх внутрішніх силових факторів відмінними від нуля є проекції поперечної сили ( або ).
Рис.1.9
3. Кручення (Рис.1.10) з усіх внутрішніх силових факторів відмінним від нуля є тільки крутний момент ( ).
Рис.1.10
4. Плоске поперечне згинання (Рис.1.11) з усіх внутрішніх силових факторів відмінними від нуля є проекція поперечної сили і проекція згинального моменту .
Рис.1.11
1.4.Напруження у точці. Інтегральні залежності між внутрішніми силовими факторами і напруженнями у точці
Напруженням у точці називається міра інтенсивності внутрішніх сил:
, (1.1)
де повне напруження у точці; частина головного вектора , що припадає на площу поперечного перерізу .
Вектор повного напруження у точці можна розкласти на складові: нормальне напруження проекцію повного вектора напруження на нормаль до перерізу; дотичне напруження проекцію повного вектора напруження на площину поперечного перерізу. Тут проекції вектора дотичного напруження відповідно на осі і .
Між внутрішніми силовими факторами і напруженнями існують інтегральні залежності (Рис.1.12):
; (1.2)
; (1.3)
; (1.4)
; (1.5)
; (1.6)
. (1.7)
Рис.1.12
Наведені інтегральні залежності встановлюють лише якісний зв'язок між напруженнями і внутрішніми зусиллями. Визначити напруження, що входять у вирази (1.2)(1.7), можна лише у тому випадку, якщо буде відомий закон розподілу напружень по площі поперечного перерізу.