Тема 4 потенціальна енергія деформації. Теорії міцності

4.1. Потенціальна енергія при об'ємному напруженому стані. Питома потенціальна енергія змінення форми

Потенціальною енергією деформації називається енергія, що накопичується в тілі при його пружніх деформаціях. Під дією зовнішнього статичного навантаження тіло деформується, точки прикладення зовнішніх сил переміщуються і потенціальна енергія положення зовнішніх навантажень зменшується на величину, що дорівнює роботі зовнішніх сил на викликаних ними переміщеннях. Енергія, загублена зовнішніми силами, не зникає, а перетворюється, в основному, у потенціальну енергію деформації тіла. Інша, незначна частина енергії розсіюється, головним чином, у вигляді тепла за рахунок різних процесів, що відбуваються в матеріалі при його деформації.

Обчислимо повну потенціальну енергію, що накопичується в елементарному паралелепіпеді при його пружній деформації. В якості об'єкта розглянемо елемент, наведений на рис.4.1.

Рис.4.1

Потенціальна енергія деформації накопичується у зворотній формі – у процесі розвантаження тіла вона знову перетворюється в енергію зовнішніх сил або кінетичну енергію. Повна потенціальна енергія, що накопичується в елементарному паралелепіпеді, дорівнює:

(4.1)

Величину потенціальної енергії, що накопичується в одиниці об'єму матеріалу, прийнято називати питомою потенціальною енергією:

. (4.2)

Підставляючи в (4.2) вираз для відносної деформації з (3.73), одержуємо:

(4.3)

Вираз (4.3) записано для питомої потенціальної енергії для випадку, коли відомі значення головних напружень і деформацій. У тому випадку, якщо відомі неголовні нормальні напруженняі, дотичні напруження, відповідні лінійні подовження,і кутові деформації, повна потенціальна енергія, що накопичується в елементарному паралелепіпеді, дорівнює:

(4.4)

Питома потенціальна енергія має вигляд:

(4.5)

або

. (4.6)

Іноді питому потенціальну енергію зручно виразити через деформації:

, (4.7)

де ; об'ємна деформація;  об'ємний модуль пружності (3.85).

При деформації елемента змінюється як його об’єм, так і форма (з куба він перетворюється на паралелепіпед) (Рис.4.1). У зв'язку з цим можна вважати, що повна питома потенціальна енергія деформації складається з питомої потенціальної енергії зміни об’єму і питомої потенціальної енергії зміни форми:

(4.8)

Спочатку обчислимо питому потенціальну енергію зміни об’єму. Для цього зробимо припущення про те, що в різних елементах (Рис.4.2) при дії різних головних напружень величина буде однаковою, якщо у елементів буде однаковою зміна об’єму [3].

Рис.4.2

На рис.4.2,а зображений елемент зі стороною, що дорівнює одиниці (одиничний елемент), навантажений різними за величиною головними напруженнями. На рис.4.2,б наведений допоміжний одиничний елемент, на гранях якого діють однакові головні напруження . Для цього елемента відносна зміна об’єму дорівнюватиме:

, (4.9)

а повна питома енергія деформації визначається за формулою (4.3):

. (4.10)

Додатковий елемент (Рис.4.2,б) при деформації змінює тільки об’єм, форма його залишається кубічною. Отже, = 0, з чого випливає, що:

. (4.11)

Величину визначимо з умови рівності відносних змін об’ємів обох елементів :

. (4.12)

Звідки

.

Оскільки в обох елементах зміни об’ємів однакові, на підставі прийнятого припущення можна стверджувати, що

або

. (4.13)

Тепер з формули (4.8) можна знайти питому потенціальну енергію зміни форми:

. (4.14)

Підставляючи у (4.14) значення таз формул (4.3) і (4.13), після елементарних перетворень остаточно одержуємо:

(4.15)

або

. (4.16)

Слід зазначити, що питома потенціальна енергія деформації грає значну роль при оцінці міцності конструкцій і деталей машин, які зазнають складного напруженого стану.

Приклад 4.1. Визначити відносні лінійні деформації в головних напрямках, відносну зміну об’єму елементарного паралелепіпеда (Рис.4.3), величину повної питомої потенціальної енергії деформації, питому потенціальну енергію зміни об’єму і питому потенціальну енергію зміни форми. Матеріал паралелепіпеда – сталь з модулем пружності першого роду МПа і коефіцієнтом Пуассона.

Рис.4.3

Розв’язок:

1. Скористаємося результатами розв’язку прикладу 3.3 з теми №3. Головні напруження при вихідних нормальних і дотичних напруженнях, чисельні значення яких наведені на рис.4.3, у прикладі 3.3 були отримані такими: МПа,МПа. У цьому ж прикладі були визначені напрямки головних напружень.

2. У розглянутому елементарному паралелепіпеді має місце плоский напружений стан. З огляду на те, що головне напруження , за формулою (3.73) знайдемо відносні лінійні подовження:

,

,

.

3. Відносну зміну об’єму паралелепіпеда в результаті деформації знайдемо, скориставшись формулою (3.81):

.

4. В якості перевірки обчислимо відносну зміну об’єму елементарного паралелепіпеда за формулою (3.82), з огляду на те, що головне напруження :

.

Вийшло те саме число.

5. Визначаємо повну питому потенціальну енергію деформації, використовуючи вираз (3.3), з огляду на рівність нулю :

=139195,84 Н/м².

6. Визначаємо питому потенціальну енергію зміни об’єму за формулою (4.13) за умови, що :

Н/м².

7. Визначаємо питому потенціальну енергію зміни форми за формулою (4.16), з огляду на те, що :

= 138662,5 Н/м².

8. Виконуємо перевірку за формулою (4.8):

Н/м².

Порівнюючи отриману суму з величиною повної питомої потенціальної енергії деформації, обчисленої в п.5 розглянутого прикладу, маємо зробити висновок, що значення для енергії практично збігаються.