EKh / Материалы по электра / INTG-a
.docПрограмА INTG
Інтегрування функції
-
Мета розрахунків
Підрахування значення інтеграла функції у=f(x), заданої числовим рядом – таблицею з рядків, на заданому інтервалі визначення хА…хВ .
Програма паралельно виконує апроксимацію вхідних даних поліномом (алгебраїчним багаточленом) заданого ступеню М
, (1)
Ця процедура дозволяє представити табличні експериментальні дані формулою (1), коефіцієнти якої і визначаються програмою.
Алгоритм.
Апроксимація експериментальних даних виконується програмою “APR” методом найменших квадратів. Програма “APR” входить як внутрішній елемент головної програми.
Інтеграл функції у=f(x),
, (2)
визначається одночасно двома способами – безпосередньо числовим інтегруванням по таблиці вхідних даних, і після її попередньої апроксимації поліномом .
Інтегрування заданого числового ряду провадиться методом трапецій на повному заданому інтервалі від значення “х” в першому рядку до значення в останньому рядку. Крок інтегрування може бути змінний, він визначається сусідніми парами значень абсциси “х” у вхідних даних:
. (3)
Інтегрування полінома провадиться методом трапецій з постійним кроком х =х/NП , де NП –кількість кроків дискретизації. Число NП визначається в самій програмі через задане значення кроку х, NП =(хВ-хА)/ х :
. (4)
де хВ та хА – відповідно значення аргумента “х” на правій та лівій межі області інтегрування по координаті “Ох”.
Для порівняння результатів інтегрування двома способами потрібно задати значення хВ та хА такі, які співпадають з початком і кінцем повного інтервалу у вхідних даних (перший та останній рядки в таблиці).
3. Форми вхідних даних
Вхідні дані вводять в файл INTG.DAT, який має форму
_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index
9 4 40 0.5 0.5 10 30 2
-------------------------------------
4 0.163
5 0.21
10 0.31
15 0.34
…… …………………
35 0.17
-
0.12
Пояснення позначень в заголовках наведені в таблиці:
N |
|
Кількість пар чисел (рядків експериментальних даних). Якщо вказано число N менше, ніж записана кількість рядків даних у файлі, буде використано тільки N рядків, всі наступні ігноруються. Якщо число N більше, ніж записана кількість рядків, це помилка і програма не виконується. Максимальне значення - N =50. |
M (MN) |
|
Кількість коефіцієнтів полінома. Ступінь полінома дорівнює М-1. Значення М повинно бути меншим за число N, інакше рішення буде неправильним. |
XMAX YMAX |
|
максимальні «круглі» значення на осях «х,у» ,які визначають масштаб графіка (значення на кінцях шкали). |
DX |
|
Крок числового інтегрування функції-полінома по координаті “Ох”. |
XA |
|
Ліва межа області інтегрування полінома на осі «Ох». |
XB |
|
Права межа області інтегрування полінома на осі «Ох». |
іndex |
|
Числовий індекс для виводу на екран графіка:
|
4. Форма вихідних даних
Вихідні дані виводяться в двох формах – як графіки на екрані, і в числовій формі в файл INTG.rez.
Графіки.
-
На всіх рисунках кружками позначені експериментальні точки (вхідні дані).
Рис.1. Графічна інформація програми INTG в трьох формах, які віповідають значенням числового індекса відповідно 1,2 та 3.
-
В верхній частині рисунка наведені два або чотири числа:
-
(Іndex=1) - значення повного інтегралу (на всій області визначення від х=0 до останнього значення “х” в таблиці), підрахованого лише за табличними точками та “середня лінія” – значення “у”, яке відповідає ординаті “у” прямокутника з площею S=yx, що дорівнює інтегралу.
-
(Іndex=2) - значення інтегралу на області визначення від х=ХА до х=ХВ ; підраховується інтегруванням полінома з заданим кроком DX та “середня лінія” –значення “у”, яке відповідає ординаті “у” прямокутника з площею S=y(ХВ-ХА).
-
(Іndex=3) – чотири числа, вказані в двох попередніх варіантах.
-
зліва в середині рисунка – два числа: кількість експериментальних точок в таблиці і кількість коефіцієнтів полінома М.
-
Графіки :
-
в першому варіанті (index =1) - ламана лінія, яка з”єднує експериментальні точки, введені в файлі INTG.DAT;
-
в другому варіанті (index =2) – графік апроксимаційного полінома і штрихові вертикальні лінії з кроком DX в області інтегрування XA…XB.
-
В третьому варіанті (index =3) наводяться обидві інформаційні групи разом.
-
В усіх випадках виводиться середня лінія (пунктир).
Файл результатів INTG.rez , в окремих варіантах дещо відрізняється.
В першому варіанті (index =1) дані інтегрування виводяться тільки для вхідної таблиці, в другому (index =2) варіанті - дані інтегрування апроксимаційного полінома на заданому інтервалі, а в третьому варіанті (index =3) - обидві групи даних.
Вариант по индексу 1
_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index
9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 1
E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....
k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045
интеграл трапециями по введенным точкам
___N______X__________Y:Exper__Y-Appr____ИНТ-ШАГ__ИНТЕГРАЛ
1 4.0000 0.1630 0.1725
2 5.0000 0.2100 0.2025 0.1865 0.1865
3 10.0000 0.3100 0.3041 1.3000 1.4865
… ……. ……………….. ……………………………….
7 30.0000 0.2200 0.2174 1.2250 7.4615
8 35.0000 0.1700 0.1606 0.9750 8.4365
9 40.0000 0.1200 0.1251 0.7250 9.1615
Вариант по индексу 2
_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index
9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 2
E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....
k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045
интеграл трапециями по аппроксимации
______N_____X________Y-appr____ИНТ-ШАГ___ИНТЕГРАЛ
точек аппрокс NG1= 39
1 10.0000 0.3041 0.0000
2 10.5000 0.3103 0.1536 0.1536
3 11.0000 0.3158 0.1565 0.3101
…………………………. ………………………….
39 29.0000 0.2298 0.1164 5.8361
40 29.5000 0.2236 0.1133 5.9495
41 30.0000 0.2174 0.1102 6.0597
1-Рядок вхідних констант (копія першого рядка вхідного файла).
2-Значення коефіцієнтів полінома E() , позначених як k0, k1, k2, ….kM- Для подальшого практичного (окремого) використання досить обмежитись першими трьома значущими цифрами коефіцієнтів полінома.
Вариант по индексу 3
_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index
9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 1
E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....
k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045
интеграл трапециями по введенным точкам
___N______X__________Y:Exper__Y-Appr____ИНТ-ШАГ__ИНТЕГРАЛ
1 4.0000 0.1630 0.1725
2 5.0000 0.2100 0.2025 0.1865 0.1865
3 10.0000 0.3100 0.3041 1.3000 1.4865
… ……. ……………….. ……………………………….
7 30.0000 0.2200 0.2174 1.2250 7.4615
8 35.0000 0.1700 0.1606 0.9750 8.4365
9 40.0000 0.1200 0.1251 0.7250 9.1615
интеграл трапециями по аппроксимации
______N_____X________Y-appr____ИНТ-ШАГ___ИНТЕГРАЛ
точек аппрокс NG1= 39
1 10.0000 0.3041 0.0000
2 10.5000 0.3103 0.1536 0.1536
3 11.0000 0.3158 0.1565 0.3101
…………………………. ………………………….
39 29.0000 0.2298 0.1164 5.8361
40 29.5000 0.2236 0.1133 5.9495
41 30.0000 0.2174 0.1102 6.0597
3-Порівняльна таблиця даних для всіх експериментальних точок : номер «», значення «х», табличне Y:Exper та апроксимоване Y-Appr значення «у» , площа трапеції на черговому крокові (вираз 3 або 4 ) ИНТ-ШАГ, поточне значення інтеграла ИНТЕГРАЛ.
-
Примітки та зауваження
5.1. Якщо перший рядок вхідних даних починається з нульових значень, замість нулів «х» та «у» потрібно вводити малі (близькі до нуля) числа.