3. Оптимізація

2.3.1. Загальні поняття та терміни

Математичні моделі технологічних систем вирішують одну задачу – з деякої групи довільно заданих значень вхідних параметрівх₁…х_М знаходять відповідну групу значень вихідних параметрів Y₁, Y₂,Y₃…Y_N . Повний комплект значень всіх параметрів характеризує деякий конкретний стан об’єкта. З технологічних міркувань значення параметрів об’єкта можуть коливатись в деяких межах без негативного впливу на процес (коливання дозволені технологічним регламентом).

Проте в самій математичній моделі не існує відповіді на питання – який стан об’єкта з усіх дозволених регламентом найкращий. Відповідь на нього можна одержати лише в рамках більш широкої задачі управління, аналізуючи мету функціонування об’єкта.

Критерій оптимізації. Для того, щоб кількісно оцінювати якість кожного стану об’єкта (в шкалі добре-погано), вводять ще один параметр – так звану цільову функцію або інакше – критерій оптимальності Ф. Зміст цього параметра і його математичне вираження формулюють в процесі створення програми управління. Важливо те, що формула для визначення критерія Ф ураховує не тільки параметри об’єкта, але також інші параметри, які характеризують мету його функціонування і до самого об’єкта відношення не мають. Наприклад для технологічних процесів виробництва продукції зручно використовувати економічні критерії – собівартість продукції або прибуток в розрахунку на одиницю кількості продукту (гривень/кг). Наприклад, якщо в розрахунку на один електрохімічний апарат, що працює з напругою U і струмом I за деякий час t виробляється кількість продукту m_ПР , а витрачається сировини і матеріалів m_С, заробітна плата персоналу складає за той же час Z гривень, тоді два вказаних критерії могли б мати в спрощеному вигляді (без урахування інших витрат на технологічні потреби) приблизно такий вигляд:

, (2.3.1)

, (2.3.2)

де S_С, S_ПР, S_Е – ціни на сировину, продукти, електроенергію. Знаки сум в формулах означають, що в технологічному процесі може використовуватись декілька типів сировини і матеріалів, і вироблятись декілька продуктів.

В ці формули входять ціни на речовини та енергію. Вони є характеристикою оточуючого середовища, а не об’єкта, і безпосередньо зв’язані з метою функціонування об’єкта – виробляти заданий продукт з найменшою собівартістю або з найбільш можливим прибутком. Обидва критерії таким чином оцінюють вплив навколишнього середовища на мету функціонування об’єкта – воно або погіршує цільову функцію Ф (витрати зростають, прибуток зменшується, мету досягти важко), тобто робить виробництво менш доцільним, або покращує (зменшує витрати, збільшує прибуток). Такі зовнішні параметри фактично можна розглядати як фактори «зовнішнього збурення», що неконтрольовано змінюються в часі.

Обидва критерії, незважаючи на протилежність свого змісту (собівартість має негативний зміст, прибуток – позитивний), однаково правильно оцінюють зміну якісного стану об’єкта при управлінських діях стан погіршується чи покращується, стан найгірший чи найкращий. Але через протилежність змісту мета функціонування об’єкта формулюється для негативного критерія як «мінімальна» собівартість продукту, а для позитивного як «максимальний» прибуток. Щоб позбутись цієї незручності, мету функціонування об’єкта для узагальнення формулюють як виробництво продукту при екстремальному значенні критерія оптимізації.

У багатьох випадках критерій Ф має екстремальне значення лише в деякому одному стані об’єкта (х₁…х_{М ,} Y₁, Y₂,Y₃…Y_N). Відхилення від цього стану в будь-який бік приводить до відхилення і від екстремуму критерія Ф, тобто його погіршенню (збільшення собівартості, зменшення прибутку). Це можна проілюструвати на прикладі формули (2.3.1). Якщо процес електролізу вести при дуже малому струмі І0, тоді знаменник і перші два доданки в чисельнику будуть також наближатись до нуля (не витрачаються сировина і енергія, не виробляється продукт), а в чисельнику постійним числом залишається лише заробітна плата Z. Тому при І0 критерій Ф необмежено зростає, Ф . І навпаки, якщо процес вести при надмірно великому струмовому навантаженні, чисельник буде необмежено зростати за рахунок перших двох доданків, а знаменник буде наближатись до постійної величини, яка визначається густиною граничного дифузійного струму (зменшується вихід за струмом). В цьому випадку також формально цільова функція має тенденцію необмеженого зростання , Ф . Таким чином очевидно, що в цілому залежність критерія Ф від струму навантаження повинна мати форму увігнутої лінії з мінімумом при деякому конкретному значенні струму.

Для технологічного об’єкта можна формулювати декілька різних критеріїв оптимізації. Наприклад, крім двох наведених вище можна скористуватись чисто технічними критеріями – мінімальні витрати електроенергії на одиницю продукту, мінімальні витрати сировини на одиницю продукту, максимальна питома енергія або максимальна питома потужність хімічного джерела струму. Характерно, що кожному критерію відповідатиме окремий оптимальний стан об’єкта. Наприклад, хімічне джерело струму має максимальну енергію UIt при дуже малих навантаженнях, І0, а потужність UI при цьому наближається до нуля. Максимум же потужності спостерігається найчастіше при великому струмі, наближеному до струму короткого замикання.

Таким чином, критеріїв можна формулювати багато, але для конкретної оптимізації критерій оптимальності повинен бути обраним лише один.

Резюмуючи сказане , можна точніше сформулювати деякі поняття оптимізації.

Оптимізація – дії управляючої системи, спрямовані на те, щоб перевести об’єкт управління в оптимальний стан. Дія полягає в тому, щоб розрахувати і видати команду про встановлення на оптимальному рівні значень групи вхідних (безпосередньо регульованих) параметрів х₁, х₂,…. Образно кажучи, оптимізація об’єкта – це встановлення регуляторів в найкращих положеннях.

Більш вузький зміст терміна «оптимізація», який часто можна зустріти в літературі – сам математичний алгоритм пошуку оптимального стану. Розділ прикладної математики, де розглядають алгоритми оптимізації, має назву «нелінійне програмування».

Використання алгоритму оптимізації для визначення оптимального стану об’єкта є лише частиною дії управляючої системи.

Оптимальний стан – такий стан об’єкта, при якому критерій оптимальності Ф досягає екстремуму (максимального значення позитивного критерію, мінімального – негативного).

Оптимізовані (оптимізуємі) параметри – деякі вхідні регульовані параметри х₁…х_М , які приймають участь в процесі пошуку оптимального стану. Звичайно регульованих параметрів на технологічних об’єктах декілька, але оптимізують їх не всі, а лише деякі з них, саме ті, вплив яких на якість технологічного процесу найважливіший. Кількість оптимізованих параметрів F  N називають числом ступенів свободи оптимізаційної задачі. Число F визначає і математичний тип задачі – одновимірні (F =1 -один оптимізуємий параметр), двовимірні (F =2 –два оптимізуємих параметри), тривимірні і т.д.

Координати оптимуму - числові значення оптимізованих вхідних параметрів х₁….