Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02_случайные величины / 05_плотность распределения

.doc
Скачиваний:
20
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.51 Mб
Скачать

§5. Плотность распределения f(x)

(иногда ее называют еще плотность вероятности

или дифференциальная функция распределения )

(используется только для непрерывных случайных величин)

В физике плотностью вещества называют количество вещества, заключенное в единице объема.

Когда мы работаем с непрерывной случайной величиной, ее возможные значения непрерывным образом заполняют некоторый интервал. Вся вероятность, в сумме равная 1, поделена (распределена) между возможными значениями, она как бы непрерывно "размазана" по оси Ох, причем, вообще говоря, неравномерно. Где-то ее больше, где-то меньше, какие-то значения появляются чаще, другие реже.

Плотность распределения как раз и показывает, где вероятности больше, где ее меньше, как она распределена на оси Ох.

Подсчитаем количество вероятности, приходящееся на единицу длины оси Оx предполагая, что функция распределения F(x) нам известна.

Для этого выделим на оси элементарный интервал длиной ( х ) или ( dx ) и подсчитаем количество вероятности, приходящееся на этот интервал. Используем формулу, полученную в предыдущем параграфе:

На единицу длины приходится количество вероятности, равное

Чтобы результат не зависел от длины отрезка ( x ), переходят к пределу при x 0. Получаем:

Свойства плотности распределения:

  1. область определения: вся числовая ось, x R

(Там, где есть возможные значения случайной величины, плотность отлична от нуля. Там, где возможных значений нет, она равна нулю.)

  1. плотность неотрицательна: f ( x ) 0 .

(во-первых, это вероятность, во-вторых, это производная неотрицательной функции F(x) )

  1. Главная формула, необходимая для прогнозирования поведения случайной величинывероятность попадания в заданный интервал.

Р азобьем интервал ; ) на элементарные отрезки длиной dx . Вероятность попадания в каждый из них – это элемент вероятности dP .

Чтобы получить всю вероятность, лежащую на интервале ; ), нужно эти элементарные вероятности просуммировать. В непрерывном случае эта сумма превращается в интеграл.

  1. Основное свойство плотности распределения.

Если просуммировать все вероятности, то обязательно получим 1. (см. основное свойство ряда распределения).

Разобьем интервал ; ) на элементарные отрезки длиной dx . Вероятность попадания в каждый из них – это элемент вероятности dP .

  1. чайной величинывероятность попадания в заданный интервал.

  1. Функция распределения F(x).

По определению, плотность f(x) – это производная от функции распределения F(x). Значит, чтобы от плотности распределения вернуться обратно к функции распределения, нужно взять интеграл. Только интеграл довольно своеобразный.

По определению, функция распределения F(x) – это вероятность попадания случайной величины в область, лежащую слева от аргумента x , т.е. в интервал (–; x ). Но какой интервал, такой и интеграл:

На графике плотности F(x) – это вся площадь слева от точки x.

Когда аргумент x пробегает значения от – до + , функция распределения F(x) накапливает площадь (она же вероятность), возрастая от 0 до 1.

( 20 )

Примеры использования приведенных выше формул, показывающие, как работать с плотностью распределения, смотри дальше, в отдельном параграфе в конце этого раздела.